Racionalne funkcije: Razumevanje, grafi, primeri diskusijskih problemov

Tako kot je racionalno število razmerje dveh celih števil, je tudi racionalno delovanje razmerje dveh polinov.

Racionalna funkcija

Racionalna funkcija
Racionalna funkcija je funkcija, ki ima splošno obliko

Kjer sta p in d polinoma in d (x) 0. Domena V (x) so vsa realna števila, razen ničelnega generatorja d.

Najenostavnejša racionalna funkcija je funkcija y = 1/x in delovanje y = 1/x².

Kjer imata oba števec konstante in imenovalec polinoma z enim izrazom. Obe funkciji imata domeno vseh realnih števil, razen x ≠ 0.

Funkcija y = 1/x

Ta funkcija je znana tudi kot inverzna funkcija, ker vsakič, ko vzamemo katero koli x (razen nič) bo vrnil svojo inverzno vrednost kot vrednost funkcije.

Kar pomeni x velika vrednost bo ustvarila majhno vrednost funkcije in obratno. Tabele in grafi teh funkcij so prikazani na spodnji sliki.

Zgornje tabele in grafi kažejo nekaj zanimivih stvari.

Najprej graf opravi preizkus navpične črte. Kar pomeni, da bo vsaka navpična črta v kartezični koordinatni ravnini graf sekala na največ eni točki.

tako da, y = 1/x je funkcija.

Drugič, ker delitev ni opredeljena, torej, ko je delilec nič, nič ne bo imela partnerja, kar povzroči premor v x = 0.

To je v skladu z domeno funkcije, in sicer vse x realna števila, razen 0.

Tretjič, funkcija je čudna funkcija, ena od njenih vej se nahaja v kvadrantu I.

Medtem ko so drugi v kvadrantu III.

Potem zadnji, v kvadrantu I, ko x do neskončnosti, vrednost y proti ničli in blizu nje.

Simbolično lahko zapišemo kot x → ∞, y → 0. Grafično se bo krivulja grafa funkcije približalax Kdaj x blizu neskončnosti.

Ne samo to, tudi to lahko opazimo kdaj x se približa ničli z desne, nato vrednost y se bo približalo zelo velikemu pozitivnemu realnemu številu (neskončno pozitivnemu): x → 0⁺, y → ∞.

Za zapis bo zgoraj prikazan znak + ali - smer pristopa. To je s pozitivne strani (+) ali z negativne strani (–).

Primer 1

Opis lastnosti robov grafov racionalnih funkcij

Za y = 1/x v kvadrantu III,

1. Opiši lastnosti koncev grafa funkcije.
2. Opišite, kaj se bo zgodilo kdaj x blizu ničle.

Diskusija Podobno kot narava grafa v kvadrantu I bomo tudi dobili

1. Kdaj x približuje negativni neskončnosti, vrednost y bo blizu nič. Če je simbolizirano, bo: x → –∞, y → 0.
2. Kdaj x se z leve približa ničli, vrednost y se bo približal negativni neskončnosti. To izjavo lahko zapišemo tudi s simbolom x → 0^–, y → –∞.

Funkcija y = 1/x²

Iz zgornje razprave vidimo, da se graf te funkcije zaustavi, ko x = 0.

Ker pa je kvadrat katerega koli negativnega števila pozitivno število, bodo veje grafa te funkcije ležale nad osjo k.x.

Opazite, da funkcija y = 1/x² je enakomerna funkcija.

Tako dobro, kot y = 1/x, rezultat x kar se približa pozitivni neskončnosti, bo povzročilo y kar je blizu ničli. Če napišemo simbol, bo: x → ∞, y → 0.

To kaže na naravo asimptote v vodoravni smeri. In izjavili bomo y = 0 je vodoravna asimptota funkcije y = 1/x in y = 1 /x². Na splošno

Vodoravna asimptota
Glede na konstanto k je črta y = k vodoravna asimptota funkcije V (x), če se x neomejeno povečuje, se bo V (x) približal k: x → –∞, V (x) → k ali x →, V (x) → k.

Na sliki (a) spodaj je prikazana vodoravna asimptota y = 1, ki prikazuje graf f(x) kot prevod grafa y = 1/x za 1 enoto.

Slika (b) prikazuje vodoravno asimptotno črto na y = –2, ki prikazuje graf g(x) kot premik grafa y = 1/x² navzdol za 2 enoti.

2. primer

Opis lastnosti robov grafov racionalnih funkcij

Na podlagi slike (b) zgoraj uporabite matematični zapis za:

1. Opišite lastnosti konice grafa zgoraj.
2. Opišite, kaj se trenutno dogaja x blizu ničle.

Diskusija

1. Kdaj x → –∞, g(x) → –2. Kdaj x → ∞, y → –2.
2. Kdaj x → 0^–, g(x) → ∞. Kdaj x → 0⁺, y → ∞.

Iz zgornjega primera 2b je razvidno, da kdaj x blizu ničle, g se bo izkazalo za zelo veliko in bo naraščalo v nedogled.

To kaže na naravo asimptote v navpični smeri.

In potem bomo poklicali linijo x = 0 je navpična asimptota za g (x = 0 je tudi navpična asimptota za f). Na splošno

Navpična asimptota
Glede na konstanto h je črta x = h navpična asimptota za funkcijo V, ko se x približuje h, se bo V (x) neomejeno povečeval ali zmanjševal: ko je x → h⁺, V (x) → ± ∞ ali kadar je x → h^–, V (x) → ± ∞.

Prepoznavanje vodoravne in navpične asimptote je zelo koristno.

Vzroči grafiko y = 1/x in y = 1/x² se lahko preoblikuje tako, da ga drsite navpično ali vodoravno. Funkcija,

je premična oblika iz funkcije y = 1/x. Kar zadeva funkcijo,

je premična oblika iz funkcije y = 1/x². Nato si oglejte spodnji primer:

3. primer

Pisanje enačb racionalnih funkcij

Določite funkcijo, ki jo daje graf na spodnji sliki, nato z grafom zapišite enačbo za funkcijo. Recimo |a| = 1.

Diskusija Iz zgornjega grafa lahko vidimo, da je graf premik od funkcije y = 1/x v desno za 2 enoti. In pomaknil navzdol za 1 enoto.

Tako da sta vodoravni in navpični asimptoti zgornjega grafa y = –1 in x = 2. Zato je enačba zgornjega grafa:

ki je oblika funkcije premika y = 1/x.

Tako kratek pregled racionalne funkcije, ki ga lahko predstavimo. Upamo, da lahko zgornji pregled racionalne funkcije uporabimo kot študijsko gradivo.