Trije spremenljivi sistem linearnih enačb: značilnosti, komponente
Trije spremenljivi linearni enačbeni sistem: značilnosti, komponente, rešitvene metode in primeri problemov – Kaj pomeni sistem enačb s tremi spremenljivkami? O Knowledge.co.id bo razpravljal o tem in seveda tudi o stvareh, ki ga obkrožajo. Oglejmo si razpravo v spodnjem članku, da jo bomo bolje razumeli.
Kazalo
-
Trije spremenljivi linearni enačbeni sistem: značilnosti, komponente, rešitvene metode in primeri problemov
- Značilnosti sistema treh spremenljivih linearnih enačb
-
Sestavni deli sistema s tremi spremenljivkami linearne enačbe
- Pleme
- Spremenljiv
- Koeficient
- Stalno
-
Metoda reševanja sistema linearnih enačb treh spremenljivk
- Kombinirana ali mešana metoda
- Primer težav
- Deliti to:
- Sorodne objave:
Trije spremenljivi linearni enačbeni sistem: značilnosti, komponente, rešitvene metode in primeri problemov
Sistem enačb s tremi spremenljivkami ali običajno skrajšan kot SPLTV je zbirka linearnih enačb, ki imajo tri spremenljivke. Za linearno enačbo je značilna največja moč spremenljivke v enačbi je ena. Poleg tega je znak, ki povezuje enačbo, enakovreden znak.
V arhitekturi obstajajo matematični izračuni za gradnjo stavb, od katerih je eden sistem linearnih enačb. Sistem linearnih enačb je koristen za določanje koordinat presečišča. Natančne koordinate so bistvene za izdelavo stavbe, ki ustreza skici. V tem članku bomo razpravljali o sistemu tri spremenljivk linearnih enačb (SPLTV).
Sistem s tri spremenljivkami linearne enačbe - je razširjena oblika sistema z dvema spremenljivkama linearne enačbe (SPLDV). Ki je v tri spremenljivkah linearnih enačb sestavljen iz treh enačb, od katerih ima vsaka tri spremenljivke (npr. X, y in z).
Sistem linearnih enačb s tremi spremenljivkami je sestavljen iz več linearnih enačb s tremi spremenljivkami. Splošna oblika linearne enačbe s tremi spremenljivkami je naslednja.
sekira + za + cz = d
a, b, c in d so realna števila, vendar a, b in c ne morejo biti vse 0. Enačba ima veliko rešitev. Eno rešitev lahko dobimo tako, da predpostavimo katero koli vrednost v dveh spremenljivkah, da določimo vrednost tretje spremenljivke.
Značilnosti sistema treh spremenljivih linearnih enačb
Enačba se imenuje sistem s tremi spremenljivkami linearnih enačb, če ima naslednje značilnosti:
- Uporaba enakovredne relacije (=)
- Ima tri spremenljivke
- Tri spremenljivke imajo stopnjo ena (v moči ena)
Sestavni deli sistema s tremi spremenljivkami linearne enačbe
Vsebuje tri komponente ali elemente, ki so vedno povezani s sistemom linearne enačbe s tremi spremenljivkami.
Tri komponente so: izrazi, spremenljivke, koeficienti in konstante. V nadaljevanju je razlaga vsake komponente SPLTV.
Pleme
Izraz je del algebrske oblike, ki jo sestavljajo spremenljivke, koeficienti in konstante. Vsak izraz je ločen z ločili seštevanja ali odštevanja.
Primer:
6x - y + 4z + 7 = 0, potem so pogoji enačbe 6x, -y, 4z in 7.
Spremenljiv
Spremenljivka je spremenljivka ali nadomestna številka, ki jo običajno označujemo z uporabo črk, kot so x, y in z.
Primer:
Yulisa ima 2 jabolki, 5 mango in 6 pomaranč. Če jo zapišemo v enačbi, potem:
Primer: jabolko = x, mango = y in oranžno = z, zato je enačba 2x + 5y + 6z.
Koeficient
Koeficient je število, ki izraža število številnih podobnih spremenljivk.
Koeficienti se imenujejo tudi številke pred spremenljivko, ker je pred spremenljivko zapis enačbe koeficienta.
Primer:
Gilang ima 2 jabolki, 5 mango in 6 pomaranč. Če jo zapišemo v enačbi, potem:
Primer: jabolko = x, mango = y in oranžno = z, zato je enačba 2x + 5y + 6z.
Iz teh enačb je razvidno, da so 2, 5 in 6 koeficienti, kjer je 2 koeficient x, 5 koeficient y in 6 koeficient z.
Stalno
Konstanta je število, ki mu ne sledi spremenljivka, zato bo imela nespremenljivo ali konstantno vrednost ne glede na vrednost spremenljivke ali spremenljivke.
Primer:
2x + 5y + 6z + 7 = 0, iz enačbe je konstanta 7. Ker je 7 vrednost fiksna in nanjo ne vpliva nobena spremenljivka.
Metoda reševanja sistema linearnih enačb treh spremenljivk
Vrednost (x, y, z) je nabor rešitev za linearni sistem enačb s tremi spremenljivkami, če vrednost (x, y, z) izpolnjuje tri enačbe v SPLTV. Nabor rešitev SPLTV je mogoče določiti na dva načina, in sicer nadomestni in izločilni.
- Metoda zamenjave
Nadomestna metoda je metoda reševanja sistema linearnih enačb z nadomestitvijo vrednosti ene od spremenljivk iz ene enačbe v drugo. Ta metoda se izvaja, dokler ne dobimo vseh spremenljivk v sistemu linearnih enačb s tremi spremenljivkami.
Nadomestno metodo je lažje uporabiti na SPLTV, ki vsebuje enačbo s koeficientom 0 ali 1. Sledijo koraki za reševanje nadomestne metode.
- Poiščite enačbo, ki ima najpreprostejšo obliko. Enačbe z najpreprostejšo obliko imajo koeficiente 1 ali 0.
- Eno od spremenljivk izrazite z drugimi dvema spremenljivkama. Na primer, spremenljivka x je izražena v spremenljivki y ali z.
- Nadomestne vrednosti spremenljivk, pridobljene v drugem koraku, nadomestite z drugimi enačbami v SPLTV, tako da dobite sistem linearnih enačb z dvema spremenljivkama (SPLDV).
- Določite raztopino SPLDV, pridobljeno v tretjem koraku.
- Določite vrednost vseh neznanih spremenljivk.
Poskusimo z naslednjimi primeri vprašanj. Spodaj določite nabor rešitev za sistem tri spremenljivk linearnih enačb.
x + y + z = -6… (1)
x - 2y + z = 3… (2)
-2x + y + z = 9… (3)
Najprej lahko enačbo (1) pretvorimo v, z = -x - y - 6 v enačbo (4). Nato lahko enačbo (4) nadomestimo v enačbo (2), kot sledi.
x - 2y + z = 3
x - 2y + (-x - y - 6) = 3
x - 2y - x - y - 6 = 3
-3y = 9
y = -3
Po tem lahko enačbo (4) nadomestimo v enačbo (3), kot sledi.
-2x + y + (-x - y - 6) = 9
-2x + y - x - y - 6 = 9
-3x = 15
x = -5
Imamo vrednosti za x = -5 in y = -3. Lahko ga priključimo v enačbo (4), da dobimo naslednjo vrednost z.
Preberite tudi:Formula za izračun površine cevi brez pokrovčka
z = -x - y - 6
z = - (- 5) - (-3) - 6
z = 5 + 3 - 6
z = 2
Tako dobimo nabor rešitev (x, y, z) = (-5, -3, 2)
- Metoda izločanja
Metoda eliminacije je metoda reševanja sistema linearnih enačb z odstranitvijo ene od spremenljivk v dveh enačbah. Ta metoda se izvaja, dokler ne ostane ena spremenljivka.
Metodo izločanja lahko uporabimo v vseh sistemih tri spremenljivk linearnih enačb. Toda ta metoda zahteva dolge korake, ker lahko vsak korak izloči samo eno spremenljivko. Za določitev nabora rešitev SPLTV je potrebna najmanj 3-kratna metoda izločanja. Ta metoda je enostavnejša, če jo kombiniramo z metodo zamenjave.
Koraki dokončanja z uporabo metode odstranjevanja so naslednji.
- Upoštevajte tri enačbe v SPLTV. Če obstajata dve enačbi, ki imata enak koeficient na isti spremenljivki, odštej ali dodaj dve enačbi, tako da ima spremenljivka koeficient 0.
- Če ni spremenljivk z enakim koeficientom, pomnožite obe enačbi s številom, zaradi katerega so koeficienti spremenljivke enaki. Odštejte ali dodajte dve enačbi, tako da ima spremenljivka koeficient 0.
- Ponovite 2. korak za ostale pare enačb. Spremenljivka, izpuščena v tem koraku, mora biti enaka spremenljivki, izpuščeni v 2. koraku.
- Po pridobitvi dveh novih enačb v prejšnjem koraku določite nabor rešitev za dve enačbi z uporabo metode rešitve za dvo spremenljivi linearni sistem enačb (SPLDV).
- Vrednosti dveh spremenljivk, dobljenih v koraku 4, nadomestite v eni od enačb SPLTV, tako da dobite vrednost tretje spremenljivke.
Metodo odstranjevanja bomo poskušali uporabiti v naslednjem problemu. Določite nabor rešitev SPLTV!
2x + 3y - z = 20… (1)
3x + 2y + z = 20… (2)
X + 4y + 2z = 15… (3)
SPLTV lahko določimo kot rešitev, tako da izločimo spremenljivko z. Najprej seštejte enačbi (1) in (2), da dobite:
2x + 3y - z = 20
3x + 2y + z = 20 +
5x + 5y = 40
x + y = 8… (4)
Nato pomnožite 2 v enačbi (2) in pomnožite 1 v enačbi (1), da dobite:
3x + 2y + z = 20 | x2 6x + 4y + 2z = 40
x + 4y + 2z = 15 | x1 x + 4y + 2z = 15 –
5x = 25
x = 5
Ko poznate vrednost x, jo nadomestite v enačbo (4), kot sledi.
x + y = 8
5 + y = 8
y = 3
V enačbi (2) nadomestite vrednosti x in y, kot sledi.
3x + 2y + z = 20
3 (5) + 2 (3) + z = 20
15 + 6 + z = 20
z = -1
Tako da je nastavljena rešitev za SPLTV (x, y, z) (5, 3, -1).
Kombinirana ali mešana metoda
Rešitev za sistem linearnih enačb s kombinirano ali mešano metodo je rešitev s kombiniranjem dveh metod hkrati.
Zadevni metodi sta metoda izločanja in substitucija.
To metodo lahko uporabimo tako, da najprej uporabimo substitucijsko metodo ali najprej odstranimo.
Tokrat bomo poskusili kombinirano ali mešano metodo z dvema tehnikama, in sicer:
Najprej odstranite in nato uporabite nadomestni način.
Najprej nadomestite in nato uporabite metodo izločanja.
Postopek je skoraj enak kot pri poravnavi SPLTV z uporabo metode eliminacije in metode nadomestitve.
Da boste razumeli več o tem, kako rešiti SPLTV s to kombinacijo ali mešanico, tukaj ponujamo nekaj primerov vprašanj in njihove razprave.
Primer težav
1. problem
Spodaj nastavljeno rešitev SPLTV določite z nadomestno metodo:
x - 2y + z = 6
3x + y - 2z = 4
7x - 6y - z = 10
Odgovor:
Prvi korak je najprej določiti najpreprostejšo enačbo.
Od treh enačb je prva enačba najpreprostejša. Iz prve enačbe navedite spremenljivko x kot funkcijo y in z, kot sledi:
x - 2y + z = 6
x = 2y - z + 6
V drugo enačbo nadomestite spremenljivko ali spremenljivko x
3x + y - 2z = 4
3 (2y - z + 6) + y - 2z = 4
6y - 3z + 18 + y - 2z = 4
7y - 5z + 18 = 4
7y - 5z = 4 - 18
7y - 5z = –14 …………… Eq. (1)
V tretjo enačbo nadomestimo spremenljivko x
7x - 6y - z = 10
7 (2y - z + 6) - 6y - z = 10
14y - 7z + 42 - 6y - z = 10
8y - 8z + 42 = 10
8y - 8z = 10 - 42
8y - 8z = –32
y - z = –4 ……………… enačba (2)
Enačbi (1) in (2) tvorita SPLDV y in z:
7y - 5z = –14
y - z = –4
Nato z uporabo metode nadomestitve rešite zgornji SPLDV. Izberite eno najpreprostejših enačb. V tem primeru je druga enačba najpreprostejša enačba.
Iz druge enačbe dobimo:
y - z = –4
y = z - 4
V prvo enačbo nadomestite spremenljivko y
7y - 5z = –14
7 (z - 4) - 5z = –14
7z - 28 - 5z = –14
2z = –14 + 28
2z = 14
z = 14/2
z = 7
Vrednost z = 7 nadomestite v enega od SPLDV, na primer y - z = –4, tako da dobimo:
y - z = –4
y - 7 = –4
y = –4 + 7
y = 3
Nato vrednosti y = 3 in z = 7 nadomestite v eno od SPLTV, na primer x - 2y + z = 6, tako da dobimo:
x - 2y + z = 6
x - 2 (3) + 7 = 6
x - 6 + 7 = 6
x + 1 = 6
x = 6 - 1
x = 5
Tako dobimo x = 5, y = 3 in z = 7. Tako, da je rešitev problema SPLTV {(5, 3, 7)}.
Da bi zagotovili pravilnost dobljenih vrednosti x, y in z, lahko to ugotovimo tako, da vrednosti x, y in z nadomestimo v zgornjih treh SPLTV-jih. Med ostalimi:
Enačba I:
x - 2y + z = 6
⇒ 5 – 2(3) + 7 = 6
⇒ 5 – 6 + 7 = 6
6 = 6 (resnično)
Enačba II:
3x + y - 2z = 4
⇒ 3(5) + 3 – 2(7) = 4
⇒ 15 + 3 – 14 = 4
Preberite tudi:Geometrijske vrste: Definicija, formule, lastnosti in primeri problemov
4 = 4 (resnično)
Enačba III:
7x - 6y - z = 10
⇒ 7(5) – 6(3) – 7 = 10
⇒ 35 – 18 – 7 = 10
10 = 10 (resnično)
Iz zgornjih podatkov lahko ugotovimo, da so vrednosti x, y in z, ki jih dobimo, pravilne in so izpolnile sistem linearnih enačb treh spremenljivk.
2. vprašanje
Glede na sistem linearnih enačb:
(i) x -3y + z = 8
(ii) 2x = 3y-z = 1
(iii) 3x -2y -2z = 7
Vrednost x + y + z je
A.-1
B. 2
C. 3
D. 4
Diskusija:
Iz enačbe (i) x - 3y + z = 8 → x = 3y - z + 8…. (iv)
Nadomestitev enačbe (iv) v enačbo (ii):
2x + 3y - z = 1
2 (3y - z + 8) + 3y - z = 1
6y - 2z + 16 + 3y - z = 1
9y - 3z + 16 = 1
3z = 9y + 15
z = 3y + 5…. (v)
Nadomestite enačbo (iv) v enačbo (iii):
3x - 2y - 2z = 7
3 (3y - z + 8) - 2y - 2z = 7
9y - 3z + 24 - 2y - 2z = 7
7y - 5z + 24 = 7
5z = 7y + 24 - 7
5z = 7y + 17…. (vi)
Nadomestite enačbo (v) v enačbo (vi):
5z = 7y + 17
5 (3y + 5) = 7y + 17
15y + 25 = 7y + 17
15 y - 7 y = -25 + 17
8y = -8 → y = - 1 …. (vii)
V enačbi (vi) nadomestite vrednost y = - 1, da dobite vrednost z.
5z = 7y + 17
5z = 7 (- 1) + 17
5z = - 7 + 17
5z = 10 → z = 2 … (Viii)
V enačbi (i) nadomestite vrednost y = - 1 in z = 2, da dobite vrednost x.
x - 3y + z = 8
x - 3 (- 1) + 2 = 8
x + 3 + 2 = 8
x + 5 = 8
x = 8 - 5 → x = 3
Dobljene so vrednosti treh spremenljivk, ki ustrezajo sistemu enačb, in sicer x = 3, y = - 1 in z = 2.
Torej, vrednost x + y + z = 3 + (-1) + 2 = 4.
Odgovor: D
Glede na sistem linearnih enačb
(i) = x - 3y +
Diskusija:
Iz enačbe (i) x - 3y + z = 8 → x = 3y - z + 8…. (iv)
Nadomestitev enačbe (iv) v enačbo (ii):
2x + 3y - z = 1
2 (3y - z + 8) + 3y - z = 1
6y - 2z + 16 + 3y - z = 1
9y - 3z + 16 = 1
3z = 9y + 15
z = 3y + 5…. (v)
Nadomestite enačbo (iv) v enačbo (iii):
3x - 2y - 2z = 7
3 (3y - z + 8) - 2y - 2z = 7
9y - 3z + 24 - 2y - 2z = 7
7y - 5z + 24 = 7
5z = 7y + 24 - 7
5z = 7y + 17…. (vi)
Nadomestite enačbo (v) v enačbo (vi):
5z = 7y + 17
5 (3y + 5) = 7y + 17
15y + 25 = 7y + 17
15 y - 7 y = -25 + 17
8y = -8 → y = - 1…. (vii)
V enačbi (vi) nadomestite vrednost y = - 1, da dobite vrednost z.
5z = 7y + 17
5z = 7 (- 1) + 17
5z = - 7 + 17
5z = 10 → z = 2… (viii)
V enačbi (i) nadomestite vrednost y = - 1 in z = 2, da dobite vrednost x.
x - 3y + z = 8
x - 3 (- 1) + 2 = 8
x + 3 + 2 = 8
x + 5 = 8
x = 8 - 5 → x = 3
Dobljene so vrednosti treh spremenljivk, ki ustrezajo sistemu enačb, in sicer x = 3, y = - 1 in z = 2.
Torej, vrednost x + y + z = 3 + (-1) + 2 = 4.
Odgovor: D
3. problem
S kombinirano metodo določite nabor rešitev sistema s tri spremenljivkami linearne enačbe spodaj.
x + 3y + 2z = 16
2x + 4y - 2z = 12
x + y + 4z = 20
Odgovor:
Metoda zamenjave (SPLTV)
Prvi korak je določitev najpreprostejše enačbe. Iz zgornjih treh enačb lahko vidimo, da je tretja enačba najpreprostejša enačba.
Iz tretje enačbe navedite spremenljivko z kot funkcijo y in z, kot sledi:
x + y + 4z = 20
x = 20 - y - 4z ………… enačba (1)
Nato enačbo (1) zgoraj nadomestite v prvo SPLTV.
x + 3y + 2z = 16
(20 - y - 4z) + 3y + 2z = 16
2y - 2z + 20 = 16
2y - 2z = 16 - 20
2y - 2z = –4
y - z = –2 …………. Pers. (2)
Nato enačbo (1) zgoraj nadomestite v drugo SPLTV.
2x + 4y - 2z = 12
2 (20 - y - 4z) + 4y - 2z = 12
40 - 2y - 8z + 4y - 2z = 12
2y - 10z + 40 = 12
2y - 10z = 12 - 40
2y - 10z = –28 ………… enačba (3)
Iz enačbe (2) in enačbe (3) dobimo SPLDV y in z, kot sledi:
y - z = –2
2y - 10z = –28
Metoda izločanja (SPLDV)
Če želite odstraniti ali odstraniti y, pomnožite prvi SPLDV z 2, tako da je koeficient y obeh enačb enak.
Nato ločimo dve enačbi, tako da dobimo vrednost z na naslednji način:
y - z = -2 | × 2 | → 2y - 2z = -4
2y - 10z = -28 | × 1 | → 2y - 10z = -28
__________ –
8z = 24
z = 3
Za odpravo z pomnožite prvi SPLDV z 10, tako da je koeficient z v obeh enačbah enak.
Nato odštejemo obe enačbi, tako da dobimo vrednost y, kot sledi:
y - z = -2 | × 10 | → 10y - 10z = -20
2y - 10z = -28 | × 1 | → 2y - 10z = -28
__________ –
8y = 8
z = 1
Do te točke dobimo vrednosti y = 1 in z = 3.
Zadnji korak je določitev vrednosti x. Način za določitev vrednosti x je z vnosom vrednosti y in z v enega od SPLTV. Na primer x + 3y + 2z = 16, tako da bomo dobili:
x + 3y + 2z = 16
x + 3 (1) + 2 (3) = 16
x + 3 + 6 = 16
x + 9 = 16
x = 16 - 9
x = 7
Tako dobimo vrednosti x = 7, y = 1 in z = 3, tako da je nabor rešitev SPLTV iz zgornjega problema {(7, 1, 3)}.
To je pregled od O Knowledge.co.id približnoTrije spremenljivi sistem linearnih enačb, Upajmo, da bo lahko prispeval k vašemu uvidu in znanju. Hvala za obisk in ne pozabite prebrati drugih člankov