Inercijski trenutek: opredelitev, koncepti, formule, primeri in tabele

Trenutek vztrajnosti materiala

Pri poučevanju fizike v srednji šoli (SMU) in na pripravljalni ravni se učenci ali učitelji pogosto pritožujejo, ker težko je razložiti vztrajnostni trenutek trdnih predmetov, kot so palice, valji, tanke kroglice (kroglice za ping pong) in trdne kroglice brez uporabe račun. Ni literature, ki bi vse te vztrajnostne trenutke popolnoma izpeljala.

Učbeniki, kot je Fizika, Halliday Resnick⁽¹⁾, Fizika R. Serway⁽²⁾ zmanjšajte vztrajnostni moment nekaterih predmetov z uporabo integralov, medtem ko srednješolci oz Študenti pripravljalne stopnje v resnici ne poznajo izračunov z uporabo integralov in diferencial. Waldemar Gorzkowski⁽³⁾ kdaj spuščen formula za vztrajnostni moment za tanke krogle in votle krogle, ne pa za trikotnike, štirikotnike in šesterokotnike.

---

V tem prispevku izhajamo moment vztrajnostne formule brez uporabe računa za predmete, ki se začnejo od palic, trikotnikov, štirikotnikov, šesterokotnikov, valjev, tankih krogel in polnih krogel, katerih rezultati so zapisani v tabeli 1. Ta članek je razdeljen na 7 poglavij, vsako poglavje obravnava izpeljavo formule za vsakega od zgornjih predmetov.

Kako potem odgovoriti na spodnja vprašanja:

• Pojasnite, kaj pomeni trenutek vztrajnosti?
• Kaj pomeni vztrajnost?

Samo poglejte celotno razpravo spodaj:

---

Opredelitev vztrajnostnega momenta je

Newtonov prvi zakon pravi "Predmet v gibanju se ponavadi premika, objekt v mirovanju pa ponavadi ostane v mirovanju". No, Inercija je težnja predmeta, da ohrani svoje stanje (ostane miren ali se premika). Inercija je znana tudi kot vztrajnost predmeta. Zato je Newtonov 1. zakon znan tudi kot vztrajnostni zakon ali vztrajnostni zakon. Na primer, predmeti, ki jih je težko premikati, naj bi imeli veliko vztrajnost. Zemlja, ki je vedno v stanju vrtenja, naj bi imela rotacijsko vztrajnost.

Trenutek ali trenutek sloga je produkt sile in trenutka roke. Torej vztrajnostni trenutekje merilo nagnjenosti ali vztrajnosti predmeta, da se vrti na svoji osi.

Na velikost vztrajnostnega trenutka predmeta vpliva več dejavnikov, kot so:

• masa predmeta
• Oblika predmetov (geometrija)
• Postavite os vrtenja
• Oddaljenost od osi vrtenja predmeta (momentni krak).

---

Tabela I: vztrajnostni trenutki različnih teles, ki se vrtijo okoli osi skozi svoje masno središče. Predmet Vztrajnostni trenutek Informacije steblo jazstrm = £ ml2 l = dolžina palice Enakostranski trikotnik J 1 2. jazpopoldan = - ma popoldan 12 a = dolžina stranice trikotnika Redni štirikotnik jazpm = 6 ma2 a = stranska dolžina štirikotnika Navaden šesterokotnik jaz 5 2 jazpopoldan = - ma popoldan 12 a = dolžina stranice šesterokotnika Trden valj Ipm =1 gospod2 popoldan2 R = polmer valja. Tanka krogla 2 2 Ipm = 3 mR2 R = polmer krogle Trdna žoga Ipm = 3 mR2 R = polmer krogle

---

• Inercijski trenutek delcev

Pred razpravo o trenutku vztrajnosti togih teles benda, je najprej preučil vztrajnostni moment delca. v tem primeru delca ne mislite na zelo majhen predmet. Za besedo delec pravzaprav ni določene omejitve velikosti. Uporaba izraza delec je torej le za lažjo razpravo o gibanju, kjer je položaj predmeta opisan kot položaj točke. Ta koncept delcev uporabljamo pri razpravi o gibanju predmetov v temah kinematike (naravnost, parabolično gibanje, krožno gibanje) in dinamiki (Newtonovi zakoni). Predmeti se torej štejejo za delce.

---

Koncept delcev se razlikuje od koncepta togega telesa. Na primer pri ravnanju in paraboličnem gibanju predmete mislimo kot delce, saj ima vsak del predmeta pri premikanju enako hitrost (to je linearna hitrost). Ko se avtomobil premika, imata na primer sprednji in zadnji del avtomobila enako hitrost. Torej lahko o avtomobilih razmišljamo kot o delcih ali pikah.

---

Ko predmet izvaja rotacijsko gibanje, je linearna hitrost vsakega dela predmeta drugačna. Del predmeta, ki je blizu osi vrtenja, se premika počasneje (linearna hitrost je majhna), medtem ko se del predmeta, ki je na robu, premika hitreje (linearna hitrost je večja). Torej, ne moremo si zamisliti predmeta kot delca, ker je linearna hitrost vsakega dela predmeta drugačna, ko se vrti. Kotna hitrost vseh delov predmeta je enaka. To je bilo pojasnjeno v rotacijski kinematiki.

---

Torej bomo ob tej priložnosti najprej pregledali moment vztrajnosti delca, ki izvaja rotacijsko gibanje. Namenjen nam je, da nam pomaga razumeti koncept vztrajnostnega trenutka. Po razpravi o momentu vztrajnosti delcev se bomo seznanili z vztrajnostnim trenutkom togega telesa. Togi predmeti so različnih oblik in velikosti. Torej, da bi nam pomagali razumeti vztrajnostni moment predmetov z različnimi oblikami in velikostmi, najprej razumemo vztrajnostni trenutek delca. Vendar pa lahko vsak predmet obravnavamo kot sestavljen iz delcev.

Zdaj pa razmislimo o delcu, ki izvaja rotacijsko gibanje. Lahko uporablja samo slike

Slika Delček, ki zahteva rotacijsko gibanje

Na primer, delec mase m dobi silo F, tako da se vrti okoli osi O. Delček je oddaljenost vrtilne osi r. Sprva delci mirujejo (hitrost = 0). Po uporabi sile F se delec premika z določeno linearno hitrostjo. Najprej delec miruje, nato se premakne

linearna sprememba hitrosti) po uporabi sile. V tem primeru objekt doživi tangencialni pospešek. Tangencialni pospešek = linearni pospešek delca, ko se vrti.

---

Razmerje med silo (F), maso (m) in tangencialnim pospeškom (pri) lahko izrazimo z Newtonovo drugo enačbo zakona:

F = ma_porjavela

Ker je delec v rotacijskem gibanju, mora imeti kotni pospešek. Razmerje med tangencialnim pospeškom in kotnim pospeškom je izraženo z enačbo:

a_porjavela = r.α

Zdaj v zgornjo enačbo vključimo tangencial:

F = ma_porjavela → a_porjavela = rα

F = gospodα

Levo in desno stran pomnožimo z r:

rF = r(gospodα )

rF = gospod 2

Bodite pozorni na levo stran. rF = navor za silo, katere smer je pravokotna na os (v primerjavi s sliko zgoraj). To enačbo lahko zapišemo kot:

τ = (gospod ² )α

gospod² je vztrajnostni moment delca mase m, ki vrti razdaljo r od vrtilne osi. Ta enačba določa tudi razmerje med navorom, vztrajnostnim momentom in kotnim pospeškom delcev, ki izvajajo rotacijsko gibanje. Cool izraz, to je Newtonova druga enačba zakona za vrtljiv delček.

Torej je vztrajnostni moment delca zmnožek mase delca (m) in kvadrata pravokotna razdaljas od osi vrtenja do delca (r²). Zaradi enostavnosti primerjajte s sliko zgoraj. Matematično je vztrajnostni moment delca formuliran na naslednji način:

jaz = gospod ²

Opis: I = vztrajnostni trenutek

m = masa delcev

r = oddaljenost delca od vrtilne osi

---

• Trenutek vztrajnosti togega telesa Benda

Na splošno lahko vztrajnostni moment katerega koli togega telesa izrazimo na naslednji način:

Togo telo si lahko predstavljamo kot sestavljeno iz številnih delcev, razpršenih po telesu. Vsak od teh delcev ima maso in ima seveda razdaljo r od osi vrtenja. torej je vztrajnostni moment katerega koli predmeta vsota skupnih vztrajnostnih trenutkov vsakega delca, ki sestavlja predmet.

To je le splošna enačba. Da pa določimo vztrajnostni moment togega telesa, moramo upoštevati togo telo, ko se vrti. Čeprav sta oblika in velikost obeh predmetov enaki, če se oba predmeta vrtijo na različnih oseh, so tudi trenutki vztrajnosti različni.

---

Tabela vztrajnostnih momentov togih teles:

Kje v tabeli: I = vztrajnostni trenutek

L = dolžina predmeta

M = masa predmeta

---

• Trenutek vztrajnosti trdnih snovi Benda

Trdni predmeti so opisani s funkcijo masne gostote (r)

---

• Trenutek vztrajnosti trdne palice

Predpostavimo palico mase m in dolgo l zasukal okoli osi skozi svoje masno središče (slika 1). V tej palici sta dve spremenljivki, in sicer masa in dolžina palice. Če upoštevamo moment vztrajnosti te palice (ipm) je odvisen od teh dveh spremenljivk, nato pa z dimenzijsko analizo lahko ugotovimo, da je vztrajnostni moment palica je sorazmerna z maso palice in sorazmerna s kvadratom dolžine palice, ali matematično je lahko napisano:

---

Trenutek vztrajnosti enakostraničnega polnega trikotnika

Predpostavimo enakostraničen polnoten trikotnik s stransko dolžino a in maso m zasukal proti

os skozi središče mase A.

---

Vztrajnostni moment trdnega štirikotnika

Predpostavimo, da se trdni štirikotnik s stranico dolžine a in maso m vrti okoli središča mase A (slika 4).

Sl. 4. Štirikotnik se je zasukal okoli osi, ki poteka skozi središče mase A.

Kot v prejšnjem izračunu tudi vztrajnostni moment štirikotnika okoli osi skozi njegovo masno središče zapišemo kot (z dimenzijsko analizo):

jaz_popoldan = ^cma² (kvadrat) (14)

tukaj je c konstanta, m je masa štirikotnika, a pa stran štirikotnika.

Nato je treba ta štirikotnik razdeliti na 4 pravokotne kose s stransko dolžino G a in maso vsakega pravokotnika G m (slika 5).

Sl. 5. Štirikotnik, ki je razdeljen na 4 enake dele.

Z enačbo (14) lahko zapišemo vztrajnostni moment vsakega odseka pravokotnika okoli osi skozi lastno središče mase:

---

Vztrajnostni moment šesterokotnika

Predpostavimo trden šesterokotnik s stransko dolžino a in maso m vrtela okoli središča mase A (slika 6).

---

 Vztrajnostni moment valja

Cilindrični vztrajnostni moment lahko izračunamo z izračunom vztrajnostnega trenutka pravokotnega predmeta n potem vzemite mejo n blizu neskončnosti. Ali z uporabo naslednje metode.

Predpostavimo trden valj polmera R. Ta valjčni vztrajnostni moment (z dimenzijsko analizo) lahko zapišemo kot

---

Tanek vztrajnostni trenutek

Ideja za izpeljavo te formule je izhajala iz Waldemarja Gorzkowskega⁽⁵⁾_. Število mas štejemo za skupno maso m, enakomerno porazdeljeni na tanko kroglo polmera R. Predpostavimo, da je središče mase kroglice v koordinatnem središču in da je krogla zasukana okoli osi z. Predpostavimo maso m_jaz je na koordinatah (x_jaz, y_jaz, z_jaz). Iz definicije vztrajnostnega trenutka, velikosti trenutka

Vztrajnost te mase okoli osi z je jaz_jaz = m_jaz (x_jaz² + y_jaz² ). Če je masa m_jaz enakomerno porazdeljeni po celotni površini krogle, potem je vztrajnostni trenutek krogle,

jaz = ∑ mjaz rjaz

2

= ∑mjaz ( xjaz2 + yjaz2 )

(27)

---

Trdni moment vztrajnosti bola

Predpostavimo trdno kroglico polmera R. Ta sferični vztrajnostni moment (z dimenzijsko analizo) lahko zapišemo kot

jaz popoldan= cmR2

(32)

---

• Teorem o vzporedni osi

---

Uporaba trenutka vztrajnosti

• Trenutek vztrajnosti pri ledenih smučarjih

Vztrajnostni trenutek je lastnost predmeta, da ohrani svoj položaj zaradi rotacijskega gibanja. Vztrajnostni moment je merilo odpornosti / vztrajnosti predmeta na spremembe rotacijskega gibanja. Vztrajnostni moment je odvisen od porazdelitve mase predmeta glede na os vrtenja predmeta. Ker je navor ledu majhen, je kotni moment smučarja skoraj konstanten. Ko potegne roko navznoter proti telesu, se vztrajnostni trenutek njegovega telesa glede navpične osi skozi njegovo telo zmanjša. Ker mora kotni moment L = Iω ostati konstanten, ko I upada, se kotna hitrost povečuje; to pomeni, da se vrti hitreje.

---

• Uporaba vztrajnostnega momenta na strojnih elementih

Uporaba vztrajnostnega momenta na elemente motorja, imenovane „vztrajnik“ v motorjih z notranjim zgorevanjem (npr. Dizelski motorji, 4-taktni motorji). Te vrste strojev v glavnem pretvarjajo mehansko energijo sistema, ki temelji na prevajanju (na batu), v rotacijski sistem, ki se prenaša na kolo vozila. Na primer na 4-taktnem motorju je ta moment vztrajnosti (na elementu vztrajnika) potreben za shranjevanje nekaj mehanske energije za izvajanje delovnih korakov motorja v procesu:

- sesanje,
- Stiskanje in
- Odstranjevanje.

---

Medtem ko je ekspanzijski korak dejanski delovni korak na batu, in sicer postopek zgorevanja. Opisujemo ga kot korak vbrizgavanja energije. V tem ekspanzijskem procesu se energija iz kemične energije ogljikovodikovega materiala (BBM) pretvori v translacijsko mehansko energijo na batu, ki jo lahko formulirano kot delta (W) = delta (PV), nato z uporabo ročične gredi, ki se v obliki vrtenja prenaša na vse dele stroj. Majhen del svoje energije se shrani v vztrajnik, večina pa se uporabi kot pogon navora na objektu, v skladu z namenom tega stroja v aplikaciji.

Za vozila na osi, če za obdelovalna orodja, da na osi jermenic ali zobnikov itd.

---

• Uporaba vztrajnostnega momenta pri čeljustnem drobilniku

Drobilnik čeljusti se pogosto uporablja v rudarski industriji, kovinski industriji, gradbeništvu, gradnji avtocest, železniški gradnji in kemični industriji.
Načelo delovanja stroja za drobljenje čeljusti.

Drobilnik čeljusti deluje, zanašajoč se na moč motorja. Skozi motorno kolo poganja ekscentrično gred trikotni jermen in režno kolo, da se čeljustna plošča premika v ritmu. Zato lahko material v drobilni votlini, ki ga sestavljajo čeljustna plošča, premična čeljustna plošča in stranska deska, zdrobi in izpusti skozi izpustno odprtino.

---

Formula trenutka vztrajnosti

Zgornja slika prikazuje točkovni delček z maso (m) vrti okoli svoje osi (sb) s prsti R. Zmnožek mas delcev (m) s kvadratom razdalje delca do osi vrtenja (polmera) bo ustvaril moment vztrajnosti.

Tako da lahko velikost vztrajnostnega momenta (I) predmeta z maso, ki ima vrtilno točko na znani osi, oblikujemo na naslednji način:

I = m. R2

jaz= vztrajnostni moment (Kg m2)

m= masa delca ali predmeta (kg)

R= razdalja med delci ali elementi mase predmeta okoli osi vrtenja (m)

Za trdne predmete z geometrijo, ki ni preprosta / zapletena, se velikost vztrajnostnega momenta izračuna kot porazdelitev mase predmeta, pomnožene z razdaljo rotacijske osi. Za mere v mednarodnem standardu (SI) so kg.m2. Za več podrobnosti glejte naslednjo sliko.

Za predmete, sestavljene iz več delcev, je vztrajnostni trenutek vsota vseh vztrajnostnih trenutkov vsakega delca. Če ima predmet zapleteno obliko ali je sestavljen iz različnih oblik, potem Velikost vztrajnostnega momenta je vsota vztrajnostnih trenutkov vsakega od njegovih delov, ki je formulirana kot naslednje.

Predmeti, ki imajo pravilno obliko in se vrtijo okoli določene osi, imajo določeno formulo vztrajnostnega momenta, kot je prikazano v naslednji tabeli:

---

Primeri vztrajnostnih trenutkov v vsakdanjem življenju

Ste se že kdaj vozili z motorjem z veliko hitrostjo, nato pa nenadoma zavirali? No, ko motor, s katerim se vozite, gre hitro, nato pa nenadoma zavira, takrat motor običajno teži k temu, da ohrani svoje gibanje.

Ali ta težnja velja tudi za predmete v mirovanju? Na primer, na mizo položite kos papirja HVS, nato pa na papir HVS položite radirko. Hitro izvlecite papir HVS. Kaj se je zgodilo? radirka ostane na mizi. To pomeni, da je narava predmetov nagnjena k ohranjanju mirujočega stanja.

---

Primeri vztrajnostnih problemov in razprava o formulah

Primer 1. vprašanja

Oglejte si spodnjo sliko!

Vprašanje

Na zgornji sliki so štirje delci, povezani s palico zanemarljive mase. Delci imajo različno težo, razdalja med delci pa je R. Določite vztrajnostni moment sistema delcev, če:

• Sistem se vrti okoli osi A
• Sistem se vrti okoli osi B

Diskusija

Ker je sistem sestavljen iz štirih delcev z različno težo, je vztrajnostni trenutek sistema vsota vsakega delca okoli njegove osi.

• Če je sistem zasukan okoli osi A

Znano iz vprašanja:

m1 = m in R1 = 0
m2 = 2m in R2 = R
m3 = 3m in R3 = 2R
m4 = 4m in R4 = 3R

Torej dobite:

• Če je sistem zasukan okoli osi B

Znano iz vprašanja:

m1 = m in R1 = 0
m2 = 2m in R2 = R
m3 = 3m in R3 = 2R
m4 = 4m in R4 = 3R

Potem pa pojdi

Primer 2. vprašanja

Na zgornji sliki je trden predmet v obliki stožca, pritrjen na enem koncu valja in zasukan z osjo vrtenja v središču valja. Določite vztrajnostni moment predmeta, če je masa valja enaka masi stožca, ki je 2 kg, dolžina valja je 0,8 metra, polmer valja pa 0,1 metra.

Diskusija

V zgornjem problemu za poenostavitev izračuna se vztrajnostni moment vsakega geometrijskega predmeta izračuna ločeno.

Znano iz vprašanja

ms = 2 kg in Rs = 0,1 m;
m2 = 2 kg in Rk = 0,1 m;

Torej je vztrajnostni trenutek predmeta

---

• Zaključek

Vztrajnostni moment delca je zmnožek mase delca (m) in kvadrata pravokotna razdaljas od osi vrtenja do delca (r²). Vztrajnostni moment katerega koli predmeta je vsota skupnih vztrajnostnih trenutkov vsakega delca, ki sestavlja predmet. To je le splošna enačba, vendar moramo za določitev vztrajnostnega trenutka togega telesa upoštevati togo telo, ko se vrti. Čeprav sta oblika in velikost obeh predmetov enaki, če se oba predmeta vrtijo na različnih oseh, so tudi trenutki vztrajnosti različni.

---

Vztrajnostni moment trdnega predmeta je opisan s funkcijo gostote mase (r), območje je razdeljeno na majhne elemente in vsako območje pomnoženo s kvadratom momentnega kraka.

• Predlog

Predlogi za bralce, in sicer bralci lahko izkoristijo informacije iz tega prispevka, tudi ta članek je še vedno široko dostopen pomanjkljivosti, tako da lahko bralci dodajo vse, kar bi lahko bilo vključeno v ta članek, tako da jih je mogoče premagati izpolnjeno.

O tem je članek Trenutek vztrajnosti: popolna definicija, koncepti, formule in primeri upam, da bo lahko koristno.

---

Preberite tudi

• Popolna definicija sile v fiziki
• Opredelitev zračnega tlaka, formule, merilni instrumenti in primeri težav