Logaritmy: Vlastnosti, Logaritmické rovnice, Podmienky, Kopce, Problémy

Logaritmus je matematická operácia, pri ktorej je operáciou inverzie (alebo inverzie) exponenta alebo sily. Základňa alebo principál v tomto logaritmickom vzorci má obvykle formu písmena a.

Alebo existuje aj zmienka, ak je tento logaritmus inverzný alebo inverzný k moci (exponent) použitej v určiť exponent základného čísla.

V angličtine sa logaritmus nazýva logaritmus.

Takže v podstate štúdiom logaritmov môžeme nájsť mocnosť čísla, ktorého sila je známa.

Logaritmus

Keď viete, čo je logaritmus, musíte tiež poznať všeobecnú podobu tohto logaritmu.

Tu je všeobecná forma logaritmu:

Všeobecná forma logaritmu:

Akⁿ = x potom ^alogx = n

Informácie:

a: je základ, ktorý má nasledujúce podmienky: a> 0 a a 1.

x: je číslo, ktoré algoritmus hľadá (numerus), podmienky sú: x> 1

n: je sila logaritmu.

Teraz je čas, aby ste sa pozreli na nižšie uvedené vzorové otázky, aby ste lepšie pochopili vyššie uvedený popis:

1. Keď 3² = 9, potom sa v logaritmickej podobe zmení na ³log 9 = 2
2. Keď 2³ = 8, potom sa v logaritmickej podobe zmení na ²log 8 = 3
3. Keď 5³ = 125, potom sa v logaritmickej podobe zmení na ⁵log 125 = 3

Ako sa máš? Teraz začínam chápať správny?

Nuž, zvyčajne tu, stále budete často mätúci pri určovaní, ktoré číslo je základňa a ktoré číslo je číselná hodnota.

Logaritmus je matematická operácia, kde je inverzná hodnota exponenta alebo sily.

Základný vzorec logaritmu: b^c = a sa píše ako ^blog a = c (b sa nazýva základný logaritmus).

Nieje to?

Upokojte sa, chlapci, kľúčom, ktorý si musíte len pamätať, je, či základné číslo to je základňa, umiestnené v hornej časti pred značkou „log“. A číslovýsledok poradia nazýva sa ako numerus, umiestnené v spodnej časti za slovom „denník“. Ľahké správny?

Logaritmické rovnice

Logaritmická rovnicaa je rovnica, v ktorej je premenná základom logaritmu.

Tento logaritmus možno tiež definovať ako matematickú operáciu, ktorou je inverzná (alebo inverzná) hodnota exponenta alebo mocniny.

Príklad Číslo 

Tu uvedieme niekoľko príkladov logaritmických čísel, vrátane nasledujúcich:

Ďalej majú logaritmy tiež niektoré vlastnosti, ktoré Požadovaný aby ste pochopili, tu. Prečo povinné?

Je to preto, lebo tieto charakteristiky sa neskôr stanú vašim ustanovením pri ľahkej práci na logaritmických problémoch.

Bez porozumenia vlastnostiam logaritmov nebudete môcť pracovať na problémoch s logaritmom, vieš!

Potom čokoľvek peklo Aké sú vlastnosti logaritmu? Poď, všimnite si recenzie uvedené nižšie.

Logaritmické vlastnosti

Nasleduje niekoľko vlastností logaritmov, ktorým musíte rozumieť, vrátane:

Okrem niektorých vyššie uvedených vlastností existujú aj niektoré vlastnosti logaritmických rovníc vrátane:

Vlastnosti logaritmických rovníc

Logaritmická rovnica má tiež niektoré špeciálne vlastnosti, sú to tieto vlastnosti:

1. Logaritmické vlastnosti násobenia 

Logaritmická vlastnosť násobenia je výsledkom pridania ďalších dvoch logaritmov, v ktorých je hodnota dvoch číslic faktorom počiatočnej číselnej hodnoty.

^adenníky p. q = ^aprihlásiť p + ^alog q

Existuje niekoľko podmienok pre túto jednu vlastnosť, a to: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

2. Logaritmické násobenie

Násobenie logaritmov je vlastnosť logaritmu a, ktorú je možné vynásobiť logaritmom b, ak sa číselná hodnota logaritmu a rovná základnému počtu logaritmu b.

Výsledkom násobenia je nový logaritmus so základným číslom rovným logaritmu a. A má rovnakú číselnú hodnotu ako logaritmus b.

^alog b x ^blogc = ^adenník c

Existuje niekoľko podmienok pre túto jednu vlastnosť, a to: a> 0, a \ ne 1.

3. Povaha rozdelenia 

Logaritmická vlastnosť rozdelenia je výsledkom odpočítania ďalších dvoch logaritmov, kde hodnota dvoch číslic je zlomkom alebo delením pôvodnej číselnej hodnoty logaritmu.

^alog p / q: ^aprihlásiť p - ^alog q

Existuje niekoľko podmienok pre túto jednu vlastnosť, a to: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

4. Naopak, porovnateľné vlastnosti

Nepriamo úmerná vlastnosť logaritmu je vlastnosť s inými logaritmami, ktoré majú základné číslo a numerus zameniteľné.

^alogb = 1 /^bprihlásiť sa a

Existuje niekoľko podmienok pre túto jednu vlastnosť, a to: a> 0, a \ ne 1.

5. Opačné znamenie 

Logaritmická vlastnosť opačného znamienka je vlastnosť s logaritmom, ktorej numerus je inverzný zlomok pôvodnej číselnej hodnoty logaritmu.

^alog p / q = - ^alog p / q

Existuje niekoľko podmienok pre túto jednu vlastnosť, a to: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

6. Povaha hodnosti 

Logaritmická vlastnosť mocnin je vlastnosť, ktorej číselná hodnota je exponent. A môže byť použitý ako nový logaritmus vydaním multiplikátora.

^alog b^p = str. ^alog b

Existuje niekoľko podmienok pre túto jednu vlastnosť, a to: a> 0, a \ ne 1, b> 0

7. Sila logaritmických hlavných čísel 

Sila logaritmickej bázy je vlastnosť, kde hodnota základného čísla je a exponent (mocnina), ktorý sa dá použiť ako nový logaritmus odstránením mocniny k číslu rozdeľovač.

a^plogb = 1 / str^alog b

Existuje niekoľko podmienok pre túto jednu vlastnosť, a to: a> 0, a \ ne 1.

8. Logaritmické hlavné čísla porovnateľné s číselnými mocnosťami 

Vlastnosť základného čísla úmerná sile numerusu je vlastnosť, ktorej číselná hodnota je a exponent (sila) hodnoty základného čísla, ktorá má rovnakú výslednú hodnotu ako hodnota sily numerusu že.

^aprihlásiť sa a^p = str

Existuje niekoľko podmienok pre tento jeden znak, a to: a> 0 a \ ne 1.

9. Poradie 

Sila logaritmov je jednou z vlastností čísel, ktorých mocniny sú vo forme logaritmov. Výsledkom hodnoty výkonu je hodnota, pri ktorej numerus pochádza z logaritmu.

a ^alog m = m

Existuje niekoľko podmienok pre túto jednu vlastnosť, a to: a> 0, a \ ne 1, m> 0.

10. Zmena logaritmickej základne 

Charakter zmeny základu tohto logaritmu možno rozdeliť aj na porovnanie dvoch logaritmov.

^plog q = ^aprihlásiť p /^a log q

Existuje niekoľko podmienok pre túto jednu vlastnosť, a to: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0

Vzorec logaritmickej rovnice

Na základe vyššie uvedeného popisu je logaritmus matematická operácia, ktorá je inverznou hodnotou exponenta alebo mocniny.

Príklad logaritmu exponenciálneho tvaru medzi lian: a^b = c, ak bude vyjadrené logaritmickým zápisom, bude ^alogc = b.

Vyhlásenie je nasledovné:

• a je základňa alebo číslo základne.
• b je výsledok alebo rozsah logaritmov.
• c je číslo alebo doména logaritmu.

S poznámkami:

Je potrebné, aby ste pochopili, skôr ako budeme ďalej diskutovať o vzorci logaritmu, ak existuje zápis ^alog b znamená to isté ako log_a b.

Vzorec pre logaritmickú rovnicu okrem iného je:

Vzorec logaritmickej rovnice:

Ak máme ^alogf (x) = ^alog g (x), potom f (x) = g (x).
S niektorými podmienkami, ako sú: a> 0, a 1, f (x)> 0, g (x)> 0.

Logaritmické nerovnosti:

Ak máme log f (x)> ^alog g (x) potom máme dva stavy, a to:

Po prvé, keď a> 0 znamená: f (x)> g (x)
Po druhé, v čase 0

Vzorové otázky a diskusia

V nasledujúcom texte uvedieme niekoľko príkladov otázok, ako aj ich diskusiu. Počúvajte pozorne, áno.

Vzorové otázky 1-3

1. ²guľatina 4 + ²log 8 =

2. ²denník 32 =

3. Keď je to známe ²log 8 = m a ²log 7 = n, potom nájdite hodnotu ¹⁶denníky 14!

Odpoveď:

Úloha 1.

Prvý krok, ktorý musíme urobiť, je skontrolovať základ.

Dve vyššie uvedené logaritmy majú zjavne rovnakú základnú hodnotu, ktorá je 2.

Preto môžeme na nájdenie výsledku použiť druhú vlastnosť logaritmu.

tak, ²guľatina 4 + ²log 8 = ²log (4 × 8) = ²záznamy 32 = 5. Pamätajte! Účelom logaritmu je nájsť mocninu.

Takže, čo 2 k sile 32? Odpoveď nie je iná ako 5. Ľahké nie?

Otázka 2.

Prejdime k otázke číslo 2.

V otázke číslo 2 to nemôžeme urobiť hneď, pretože pri hľadaní hodnoty sily 8, ktorá bude mať za následok 32, určite zažijete zmätok. Potom ako?

Ak sa na problém pozrieme pozornejšie, 8 je výsledkom sily 2³ a tiež 32, ktoré je výsledkom sily 2⁵.

Preto môžeme logaritmickú formu zmeniť na:

⁸denník 32 = ²³denník 2

= 5/3 ²denník 2 (použite číslo nehnuteľnosti 6)

= 5/3(1) = 5/3

Problém 3.

Ako sa máte chalani? Už ste sa začali vzrušovať?

Nuž, v diskusii k otázke číslo 3 vás to ešte viac nadchne!

Musíte vedieť, že model z otázky číslo 3 sa často nachádza v otázkach týkajúcich sa národných skúšok alebo otázok týkajúcich sa výberu univerzity vieš.

Na prvý pohľad to vyzerá dosť komplikovane, to áno, ale ak už konceptu rozumiete, bude tento problém veľmi ľahký.

Ak nájdete problémový model, ako je tento, môžete zistiť jeho hodnotu pomocou logaritmickej vlastnosti čísla 4.

Proces teda bude:

²log 8 = m a ²log 7 = n, ¹⁶guľatina 14?

¹⁶denník 14 = ²denník 14 / ²denník 16

Poznámka:

Pri výbere základne sa môžeme pozrieť priamo na číslo, ktoré sa v probléme vyskytuje najčastejšie. Vieme teda, že číslo 2 sa objaví dvakrát, 8 až 1-krát a 7 až 1-krát.

Číslo, ktoré sa objavuje najviac, nie je nič iné ako 2, preto si ako základ vyberieme 2. Mám to?

= ²guľatina (7 x 2) / ²guľatina (8 x 2)

Potom my opísať numerus.

Skúsme to zmeniť do podoby, ktorá je už v probléme. Čo tým myslíte?

tu chlapci, o známej otázke ²denník 8 a tiež ²denníky 7. Pretože čísla sú 8 aj 7, rozdelíme 14 na 7 × 2 a 16 na 8 × 2, aby sme videli konečný výsledok.

= ²denník 7 + ²denník 2 / ²denník 8+ ²denník 2 (použite číslo nehnuteľnosti 2)

= n + 1 / m + 1

Ďalšia príkladná otázka.

Problém 1. (EBTANAS '98)

Je známe ³log 5 = x a ³log 7 = r. Vypočítajte hodnotu ³záznamy 245 ^1/2! (EBTANAS '98)

Odpoveď:

³záznamy 245 ^½ = ³guľatina (5 x 49) ^½

³záznamy 245 ^½ = ³guľatina ((5) ^½ x (49) ^½)

³záznamy 245 ^½ = ³guľatina (5) ^½ + ³guľatina (7²) ^½

³záznamy 245 ^½ = ½( ³denník 5+ ³guľatina 7)

³záznamy 245 ^½ = (x + y)

Takže hodnota ³záznamy 245 ^½ tj. (x + y).

Otázka 2. (UMPTN '97)

Ak b = a⁴, hodnoty a a b sú kladné, potom hodnota ^adenník b - ^bprihlásiť tj…?

Odpoveď:

Je známe, či b = a⁴, potom ho môžeme do výpočtu dosadiť takto:

^adenník b - ^bloga = ^aprihlásiť sa a⁴ - a⁴ prihlásiť sa a

^adenník b - ^bloga = 4 (^aloga) - 1/4 ( ^adenníky a)

^adenník b - ^bloga = 4 - 1/4

^adenník b - ^bloga = 3^3/4

Takže hodnota ^adenník b - ^bprihlásiť v otázke číslo 2 je 3^3/4.

Problém 3. (UMPTN '97)

Ak ^aguľatina (1- ³log 1/27) = 2, potom vypočítajte hodnotu a.

Odpoveď:

Ak urobíme z hodnoty 2 logaritmus, kde je základné číslo logaritmu a ^aprihlásiť sa a²= 2, potom dostaneme:

^aguľatina (1- ³log 1/27) = 2

^aguľatina (1- ³protokoly 1/27) = ^aprihlásiť sa a²

Číselnou hodnotou dvoch logaritmov môže byť rovnica, a to:

1- ³log 1/27 = a²

³denníky 3 - ³log 1/27 = a²

³denníky 3 - ³denník 3^(-3) = a²

³guľatina 3/3^-3 = a²

³denník 3⁴ = a²

4 = a²

Takže dostaneme hodnotu a = 2.

Úloha 4.

Ak je známe, že 2log 8 = a a 2log 4 = b. Potom vypočítajte hodnotu 6log 14

a. 1 /2
b. (1+2) / (2+1)
c. (a + 1) / (b + 2)
d. (1 + a) / (1 + b)

Odpoveď:

Pre 2 log 8 = a

= (log 8 / log 2) = a
= denník 8 = denník 2

Pre 2 log 4 = b

= (log 4 / log 2) = b
= log 4 = b log 2

Takže 16 log 8 = (log 16) / (log68)
= (protokol 2,8) / (protokol 2,4)
= (denník 2 + denník 8) / (denník 2 + denník 4)
= (log 2 + a log a) / (log 2 + b log b)
= log2 (1+ a) / log 2 (1+ b)
= (1 + a) / (1 + b)

Takže hodnota 6 log 14 v príklade vyššie je (1 + a) / (1 + b). (D)

Otázka 5.

Hodnota (3 log 5 - 3 log 15 + 3 log 9) je?

a. 2
b. 1
c. 4
d. 5

Odpoveď:

(3 log 5 - 3 log 15 + 3 log 9
= 3 denníky (5. 9) / 15
= 3 log 45/15
= 3log 3
=1

Takže hodnota 3log 5 - 3log 15 + 3log 9 je 1. (B)

Otázka 6.

Vypočítajte hodnotu v nižšie uvedenom probléme s logaritmom:

1. (2 log 4) + (2 log 8)
2. (2log 2√2) + (2log 4√2)

Odpoveď:

1. (2log 4 + 2log 8) = (2log 4) x 8 = 2log 3 do sily 2 = 5

2. (2log 2√2 + 2log 4√2) = (2log 2√2) x (4√2) = 2log 16 = 4

Takže hodnota každého vyššie uvedeného logaritmického problému je 5 a 4.

Otázka 7.

Vypočítajte hodnotu v nižšie uvedenom probléme s logaritmom:

1. 2 log 5 x 5 log 64
2. 2 záznamy 25 x 5 záznamov 3 x 3 záznamy 32

Odpoveď:

1. (2log 5) x (5log 64) = 2log 64 = 2log 26 = 6

2. (2log 25) x (5log 3) x (3log 32) = (2log 52) x (5log 3) x (3log 25)
= 2. (2 log 5) x (5 log 3) x 5. (3 denníky 2)
= 2 x 5 x (2 log 5) x (5 log 3) x (3 log 2)
= 10 x (2 log 2) = 10 x 1 = 10

Hodnota otázky uvedenej vyššie je teda 6 a 10.

Otázka 8.

Vypočítajte hodnotu log 25 + log 5 + log 80 je ...

Odpoveď:

guľatina 25 + guľatina 5 + guľatina 80
= guľatina (25 x 5 x 80)
= protokoly 10 000
= denník 104
= 4

Úloha 9.

Je známe, že log 3 = 0,332 a log 2 = 0,225. Potom log 18 otázky je ...

a. 0,889
b. 0,556
c. 0,677
d. 0,876

Odpoveď:

Známe:

• Log 3 = 0,332
• Log 2 = 0,225

Otázka:

• log 18 =….?

Odpoveď:

Denníky 18 = denníky 9. denník 2
Log 18 = (log 3. log 3). denník 2
Záznamy 18 = 2. (0,332) + (0,225)
Log 18 = 0,664 + 0,225
Log 18 = 0,889

Hodnota protokolu 18 v otázke vyššie je teda 0,889. (A)

Otázka 10.

Preveďte nasledujúce exponenty do logaritmickej formy:

1.  24 = 16
2.  58 = 675
3.  27 = 48

Odpoveď:

* Transformujte exponenty do logaritmickej formy nasledovne:

Ak je hodnota ba = c, potom hodnota pre blog c = a.

1.  24 = 16 → 2 log 16 = 4
2.  58 = 675 → 5log 675 = 8
3.  27 = 48 → 2 log 48 = 7

Teda krátka recenzia, ktorú môžeme tentokrát povedať. Dúfajme, že vyššie uvedená recenzia bude slúžiť ako váš študijný materiál.