Jedna variabilná lineárna nerovnosť

Jedna variabilná lineárna nerovnosť - Jedna premenná lineárna nerovnosť je otvorená veta, ktorá má iba jednu premennú, má stupeň jeden a obsahuje vzťah ( > alebo < ).

Napríklad si pozrite niektoré vety, ako je tá dole:

1. X> 9
2. 3x - 3 <8
3. 3b > b + 6
4. 5n - 3 < 3n + 2

Niektoré z otvorených viet vyššie používajú spojovníky ako , > alebo <. Čo naznačuje, že veta je nerovnosť.

Každá nerovnosť má iba jednu premennú, a to x, a a n. Táto nerovnosť sa nazýva nerovnosť jednej premennej. Premenná (premenná) vyššie uvedenej nerovnosti na mocnosť jednej alebo tiež označovaná ako stupeň jedna sa nazýva lineárna nerovnosť.

Jedna premenná lineárna nerovnosť je otvorená veta, ktorá má iba jednu premennú a jeden stupeň a existuje vzťah ( alebo £).

Všeobecnú formu PtLSV v premennej môžeme vyjadriť takto:

ax + b <0, ax + b> 0 alebo ax + b > 0 alebo sekera + b < 0, s a < 0, a a b sú reálne čísla.

Ďalej uvádzame niekoľko príkladov PtLSV používajúcich premennú x, vrátane:

1. 3x - 2 <0
2. 3x - 2 <0
3. 5x - 1> 8
4. 3x + 1 > 2x - 4
5. 10 < 2 (x + 1)

Vlastnosti jednej variabilnej lineárnej nerovnosti

Podobne ako v lineárnej rovnici s jednou premennou, je možné nájsť riešenie lineárnej nerovnosti s jednou premennou pomocou substitúcie.

Môžete to však urobiť aj tak, že odčítate, sčítate, vynásobíte alebo vydelíte obe strany nerovnosti rovnakým počtom.

Nerovnosť v matematike je veta alebo matematický výrok, ktorý ukazuje porovnanie veľkostí dvoch alebo viacerých objektov.

Rovnako ako v A

Nerovnosť A

1. A + C
2. A - C
3. A x C 0 pre všetky x
4. A x C> B x C, ak C <0 pre všetky x
5. A / C 0 pre všetky x
6. A / C> B / C, ak C <0 pre všetky x

Je potrebné poznamenať, že niektoré z vyššie uvedených vlastností platia aj pre symbol „>„alebo“<”.

Príklady otázok o PtLSV a ich riešenie

Ďalej uvedieme príklad problému, ako ho vyriešiť a tiež odpoveď na problém s jednou premennou lineárnou nerovnosťou. Tu je celá recenzia.

1. Sčítanie a odčítanie jednej variabilnej lineárnej nerovnosti (PtLSV)

Venujte pozornosť nerovnostiam uvedeným nižšie:

x + 3 <8, kde x je premenná z celého čísla.

Pre:

x = 1, teda 1 + 3 <8, je pravda
x = 2, takže 2 + 3 <8, je pravda
x = 3, takže 3 + 3 <8, je pravda
x = 4, teda 4 + 3 <8, je nepravdivé

Nahradenie x za 1,2 a 3 tak, že nerovnosť x + 3 <8 platí, sa nazýva riešenie nerovnosti.

2. Násobenie alebo delenie jednej variabilnej lineárnej nerovnosti (PtLSV)

Zoznámte sa s nasledujúcimi nerovnosťami:

Pre prirodzené x čísla menšie ako 10 je riešenie x = 7, x = 8 alebo x = 9

Na základe vyššie uvedeného popisu môžeme konštatovať, že:

 „Každá nerovnosť zostáva rovnocenná so znamienkom nerovnosti nezmeneným, aj keď sú obe strany vynásobené rovnakým kladným číslom.“

Príklad problémov:

Teraz zvážte nasledujúce nerovnosti:

a. –X> - 5, kde x je prirodzené číslo menšie ako 8. Nahraďte x, ktoré spĺňa x = 1, x = 2, x = 3 alebo x = 4.

Ďalším spôsobom, ako vyriešiť vyššie uvedený problém nerovnosti, je vynásobiť obe strany rovnakým záporným číslom.

* –X> –5

–1 (–x)> - 1 (–5), (obe strany sa vynásobia –1 a znak nerovnosti zostáva)

x> 5

Riešenie je s x = 6 alebo x = 7.

* –X> –5

–1 (–x) na

x <5

Riešením je x = 1, x = 2, x = 3 alebo x = 4.

Na základe tohto riešenia sa ukazuje, že nerovnosti, ktoré majú rovnaké riešenie, sú:

–X> –5 a –1 (–x)

teda –x> –5 <=> –1 (–x)

b. –4x <–8, kde x je prirodzené číslo menšie ako 4. Vhodná náhrada za x je x = 2 alebo x = 3. Riešením je teda x = 2 alebo x = 3.

Na základe vyššie uvedeného vysvetlenia môžeme dospieť k záveru, že:

„Nerovnosť, keď sa obe strany vynásobia rovnakým záporným číslom, sa potom znak nerovnosti zmení“

Príklad:

3. O príbehu 

Otázka 1.

Súčet dvoch čísel nie je väčší ako 120. Ak je druhé číslo o 10 viac ako prvé číslo, potom určte limitnú hodnotu pre prvé číslo.

Odpoveď:

Z vyššie uvedeného problému vidíme, že existujú dve neznáme veličiny. To je prvé číslo a tiež druhé číslo.

Ďalej teda urobíme tieto dve veličiny ako premennú.

Ako príklad:

Prvé číslo zavoláme x, zatiaľ čo 

Druhé číslo voláme y.

Z tohto problému tiež vieme, že druhé číslo je „o 10 viac ako prvé číslo“, potom bude platiť nasledujúci vzťah:

y = x + 10

V prípade problému je tiež známe, že súčet týchto dvoch čísel „nie je vyšší ako“ 120.

Veta „už nie“ naznačuje, že nerovnosť je menšia ako rovná (≤). Forma nerovnosti, ktorá zodpovedá problému, je teda taká, že nerovnosti sú menšie alebo rovné.

Potom zostrojíme nerovnosti takto:

⇒ x + r ≤ 120

Pretože y = x + 10, nerovnosť sa stáva:

⇒ x + x + 10 ≤ 120

⇒ 2x + 10 ≤ 120

⇒ 2x + 10 – 10 ≤ 120 – 10

⇒ 2x ≤ 110

⇒ X ≤ 55

tak, limitná hodnota pre prvé číslo nie je vyššia ako 55.

Príbehová otázka 2.

Model nosníkového rámu z drôtu s dĺžkou (x + 5) cm, šírkou (x – 2) cm a výška x cm.

• Určte matematický model požadovanej rovnice dĺžky drôtu v x.
• Ak dĺžka použitého drôtu nie je väčšia ako 132 cm, potom určte veľkosť maximálnej hodnoty lúča.

Odpoveď:

Aby sme ľahšie porozumeli vyššie uvedenému problému, pouvažujte nad ilustráciou bloku uvedeného nižšie:

• Určte matematický model úlohy vyššie.

Napríklad K predstavuje celkovú dĺžku drôtu potrebnú na vytvorenie rámu nosníka, potom je celková požadovaná dĺžka drôtu súčtom všetkých hrán.

Dĺžka K je teda nasledovná.

K = 4p (dĺžka) + 4l (šírka) + 4t (výška)

K = 4 (x + 5) + 4 (x – 2) + 4x

K = 4x + 20 + 4x – 8 + 4x

K = 12x + 12

Získame teda matematický model príbehovej úlohy číslo dva pre celkovú dĺžku drôtu, ktorá je K = 12x + 12.

• Z vyššie uvedeného problému určite maximálnu veľkosť bloku.

Dĺžka drôtu nesmie presiahnuť dĺžku 132 cm, takže model nerovnosti môžeme napísať nasledovne:

K ≤ 132

12x + 12 ≤ 132

Potom vyriešime lineárnu nerovnosť jednej premennej pomocou riešenia, ako je toto:

12x + 12 ≤ 132

⇒ 12x ≤ 132 – 12

⇒ 12x ≤ 120

⇒ X ≤ 10

Z riešenia x ≤ 10, potom je maximálna hodnota x 10. Veľkosť lúča pre dĺžku, šírku a výšku je teda nasledovná:

Dĺžka = x + 5 ⇔ 10 + 5 = 15 cm

Šírka = x – 2 ⇔ 10 – 2 = 8 cm

Výška = x ⇔ 10 cm

Takže dostaneme maximum pre blok je (15 × 8 × 10) cm.

Príbehové otázky 3.

Súčet dvoch čísel je menej ako 80. Druhé číslo je trojnásobok prvého čísla.

Určte hranice dvoch čísel.

Odpoveď:

Predpokladajme, že prvé číslo zavoláme ako x, potom sa druhé číslo rovná 3x.

Súčet týchto dvoch čísel je menej ako 80. Matematický model je preto nasledovný:

x + 3x <80 ⇔ 4x <80

Riešenie pre tento matematický model je 4x <80 ⇔ x <20.

Preto limit prvého čísla nie je väčší ako 20, zatiaľ čo druhé číslo nie je väčšie ako 60.

Príbehové otázky 4.

Povrch obdĺžnikového stola má dĺžku 16 x cm a šírku 10 x cm.

Ak plocha nie je menšia ako 40 dm2, potom určte minimálnu veľkosť povrchu tabuľky.

Odpoveď:

Dĺžka povrchu stola je:

• (p) = 16x
• šírka (l) = 10 x
• plocha = L.

Matematický model oblasti obdĺžnika je nasledovný:

L = p × l

L = 16x × 10x

D = 160x2

Z problému sa uvádza, že plocha nie je menšia ako 40 dm2 = 4 000 cm2 takže môžeme nerovnosť napísať nasledovne:

D = 160x2≥ 4.000

160x2≥ 4.000

Potom nerovnosť vyriešime nasledujúcim riešením:

160x2≥ 4.000

⇒ X2≥ 25

⇒ X ≥ ±5

Pretože veľkosť nemôže byť záporná, potom minimálna hodnota pre x = 5 cm, takže dostaneme:

p = 16x cm = 16 (5) cm = 80 cm

l = 10x cm = 10 (5) cm = 50 cm

Minimálna veľkosť povrchu stola je teda (80 × 50) cm.

Príbehové otázky 5.

Bicykel cestuje po ceste s rovnicou s (t) = t2– 10t + 39.

Ak je x v metroch a t je v sekundách, určte časový interval tak, aby bicykel prešiel najmenej 15 metrov.

Odpoveď:

Bicykel môže prejsť vzdialenosť najmenej 15 metrov, čo znamená s (t) ≥ 15.

Matematický model je teda t2– 10t + 39 ≥ 15. Tento model môžeme vyriešiť nasledujúcim spôsobom:

t2– 10t + 39 ≥ 15

⇒ t2– 10t + 39 – 15 ≥ 0

⇒ t2– 10t + 24 ≥ 0

⇒ (t – 6) (t – 4) ≥ 0

⇒ t ≤ 4 alebo t ≥ 6

Časový interval pre prejdenie bicykla na vzdialenosť najmenej 15 metrov je teda t ≤ 4 sekundy alebo t ≥ 6 sekúnd.

Príbehové otázky 6.

Pán Irvan má skriňové auto na prepravu tovaru s nosnosťou najviac 500 kg.

Hmotnosť Pak Irvana je 60 kg a bude so sebou nosiť krabice s tovarom, ktoré majú 20 kg. Potom:

• Určte maximálny počet boxov, ktoré môže prepraviť pán Irvan pri jednej preprave!
• Ak sa pán Irvan chystá prepraviť 115 miest, aspoň koľkokrát budú boxy schopné prepraviť všetky?

Odpoveď:

Z úlohy dostaneme niekoľko matematických modelov nasledovne:

1. Napríklad x predstavuje počet miest, ktoré môže auto prepraviť jedným smerom.
2. Každá škatuľa váži 20 kg, takže x škatúľ váži 20x kg.
3. Celková hmotnosť jedným spôsobom je hmotnosť krabice plus hmotnosť pána Irvana, ktorá je 20x + 60.
4. Nosnosť vozidla nie je väčšia ako, potom použijeme značku „≤”.
5. Nosnosť nie je väčšia ako 500 kg, takže z ustanovenia (3) dostaneme nasledujúci model nerovnosti =
   20x + 60 ≤ 500

• Určuje maximálny počet boxov, ktoré je možné prepraviť naraz.

Určenie počtu štvorcov je rovnaké ako určenie hodnoty x, a to vyriešením nerovností uvedených nižšie:

20x + 60 ≤ 500

⇒ 20x ≤ 500 – 60

⇒ 20x ≤ 440

⇒ X ≤ 22

Z tohto riešenia dostaneme maximálnu hodnotu x, ktorá je 22. Zakaždým teda môže prepravovať najviac 22 boxov.