Priamky a uhly: Materiály, problémy a diskusia triedy 7

Úsečky a uhly sú jedným z materiálov v matematike, ktoré sa naučíme v 7. ročníku na strednej škole. No, tentokrát sa dozvieme rôzne veci spojené s úsečkami a uhlami.

Vychádzajúc zo vzťahu medzi dvoma líniami, typmi uhlov, vlastnosťami uhlov a tiež jednotkami použitými pre uhly.

Prečítajte si pozornejšie nasledujúce recenzie.

Riadok

Čiara je usporiadanie bodiek (môže byť nekonečné), ktoré sú vedľa seba a pozdĺžne zoradené v dvoch smeroch (vpravo / vľavo, hore / dole).

Pozícia dvoch línií

Paralelná čiara

Dve paralelné čiary to znamená, ak je čiara v rovine a nikdy sa nestretne alebo nepretína, ak je čiara predĺžená do nekonečna.

Symbol pre rovnobežné čiary je (//)

O dvoch priamkach sa hovorí, že sú rovnobežné, ak sú dve čiary v rovnakej rovine, alebo ak sa ich predĺženie nikdy nepretína.

Pokiaľ ide o niektoré vlastnosti rovnobežných čiar, okrem iných:

• Pri prechode bodu mimo čiaru je možné vytvoriť presne jednu ďalšiu čiaru, ktorá je rovnobežná s čiarou.
• Ak existuje čiara, ktorá pretína jednu z dvoch rovnobežných čiar, potom táto čiara pretne druhú čiaru.
• Ak je jedna čiara rovnobežná s ďalšou čiarou, potom budú tieto dve čiary tiež navzájom rovnobežné

Križujúce sa čiary

Dve priamky sa budú nazývať križujúce sa, ak majú dve priamky priesečník alebo sa bežne nazývajú spoločný bod.

prekrytie čiary

Dve priamky sa údajne zhodujú, ak majú najmenej dva priesečníky.

Napríklad: hodinová ručička, keď ukazuje 12 hodín. Potom sa dve hodinové ručičky navzájom zhodujú.

Priechodné čiary

Dá sa povedať, že sa dve čiary krížia navzájom, ak tieto dve čiary nie sú rovnobežné a ležia v rovnakej rovine.

Ak chcete pochopiť rôzne polohy riadkov vyššie, pozrite sa na obrázok nižšie:

Roh

Uhol je niečo, čo vznikne spojením dvoch lúčov alebo dvoch priamych línií.

Tento uhol je oblasť tvorená lúčom, ktorý sa otáča v spodnej časti lúča. Uhly sú označené symbolom „∠“.

Definícia uhla

V matematike možno uhol definovať ako oblasť tvorenú prítomnosťou dvoch lúčov, ktorých východiskové body sú spojené alebo sa zhodujú.

Roh V geometrii ide o mieru rotácie úsečky z jedného východiskového bodu do druhého.

Okrem toho v bežnom dvojrozmernom tvare možno uhol definovať aj ako priestor medzi dvoma pretínajúcimi sa priamkovými segmentmi. -sc: wikipedia

Diely pod uhlom

Uhly majú tri dôležité časti, medzi ktoré patria:

Uhol nohy

Toto je línia lúčov, ktoré tvoria uhol.

Rohový bod

Je to začiatočný bod alebo priesečník, kde sa línia lúčov zhoduje.

Rohová plocha

Oblasť alebo priestor medzi dvoma nohami rohu.

Ďalšie informácie nájdete na nasledujúcom obrázku:

Druhy uhlov

Na vyjadrenie veľkosti uhla používame stupne (°), minúty (‘) a tiež sekundy („), kde:

Pozícia Dve čiary

Tu sú okrem iného polohy týchto dvoch línií:

• Dve alebo viac priamok sa považuje za rovnobežné, ak ležia v rovnakej rovine a nikdy sa nestretnú ani nepretínajú, ak je čiara predĺžená do nekonečna konečný.
• Dve čiary sa vraj pretínajú, ak ležia na rovine a majú jeden priesečník.
• Hovorí sa, že dve čiary sa navzájom zhodujú, ak je čiara v priamke, takže je viditeľná iba jedna čiara.
• Hovorí sa, že sa pretínajú dve čiary, ak nie sú v rovnakej rovine, a nebudú sa pretínať, ak sa predĺžia.

Vzťah medzi uhlami

Štvorcový uhol

Ak existujú dva uhly, ktoré sa zhodujú a tvoria pravý uhol, potom bude jeden uhol komplementárny uhol pre ostatné uhly, takže dva uhly sa nazývajú komplementárne uhly (doplnok).

Tu je obrázok pre uhlový uhol:

Súčet dvoch komplementárnych uhlov je 90 °. Jeden uhol je doplnkom druhého uhla.

Rovný uhol

Ak existujú dva uhly, ktoré sa navzájom zhodujú a tvoria priamy uhol, potom jeden uhol bude doplnkovým uhlom k druhému uhlu. Dva uhly teda možno nazvať ako komplementárne uhly.

Tu je obrázok pre priame uhly:

Súčet dvoch komplementárnych uhlov je 180 °. Jeden uhol je doplnkom druhého uhla.

Vzťah medzi uhlami, keď sú dve čiary rovnobežné

Strih o ďalší riadok

Dobre sa pozrite na obrázok nižšie:

Opačný uhol (rovnaká veľkosť)

Je to uhol, ktorý má rovnakú polohu a rovnakú veľkosť. Na vyššie uvedenom obrázku sú opačné uhly:

A = E
B = F
C = G
D = H

Opačné vnútorné uhly (rovnaká veľkosť)

Je uhol, ktorý je z vnútornej strany a jeho poloha je proti sebe. Na vyššie uvedenom obrázku sú opačné vnútorné uhly:

C = E
D = F

Opačné vonkajšie uhly (rovnaká veľkosť)

Je uhol, ktorý leží na vonkajšej strane a je proti sebe, napríklad:

A = G
B = H

Opačné a opačné uhly

• Ak sú dve rovnobežné čiary prerušené ďalšou čiarou, vzniknú štyri páry protiľahlých uhlov, ktoré majú rovnakú veľkosť.
• Ak sú dve čiary prerezané inou čiarou, potom sú rozmery vytvorených protiľahlých vonkajších uhlov rovnaké.
• Ak sú dve rovnobežné čiary prerezané inou čiarou, potom majú vytvorené opačné vnútorné uhly rovnakú veľkosť.
• Ak sú dve rovnobežné čiary prerezané inou čiarou, potom je súčet vnútorných uhlov 180 °.

Vnútorný uhol

Je to uhol, ktorý je na vnútornej strane a jeho poloha je na rovnakej strane. Keď sa spočítajú, uhly, ktoré sú na tej istej strane, budú zvierať uhol 180 °. Ako príklad:

D + E = 180 °
C + F = 180 °

Jednostranný vonkajší roh

Je uhol, ktorý leží na vonkajšej strane a jeho poloha leží na tej istej strane. Keď sa spočítajú, uhly, ktoré sú na tej istej strane, budú zvierať uhol 180 °. Ako príklad:

B + G = 180 °
A + H = 180 °

Opačné uhly (rovnaká veľkosť)

Je uhol, ktorého polohy sú proti sebe, na obrázku vyššie sú opačné uhly:

A = C
B = D
E = G
F = H

Dvojica opačných uhlov nastane, keď sa dve priamky pretnú tak, že dve Uhly, ktoré sú protiľahlé k priesečníku, sa nazývajú opačné uhly.
Dva protiľahlé uhly sú rovnaké.

Uhlová jednotka

V stupňoch predstavuje hodnota 1 stupeň uhol, ktorý sa otáča o 1/360 otáčky. Čo znamená 1 ° = 1/360 otáčky.

Na zadanie uhla, ktorý je menší ako stupne (°), môžeme použiť symboly minúty („) a druhej (“).

Venujte zvýšenú pozornosť vzťahu stupňov, minút a sekúnd uvedených nižšie:

1 stupeň (1 °) = 60 minút (60 ′)

1 minúta (1 ') = 1/60 °

1 minúta (1 ′) = 60 sekúnd (60 ”)

1 stupeň (1 °) = 3600 sekúnd (3600 ”)

1 sekunda (1 ”) = 1/3600 °

Miera uhla v radiánoch

1 ° = p / 180 radiánov

alebo

1 radián = 180 ° / str

Ak hodnota p = 3,14159 takže:

1 ° = p / 180 radiánov = 3,14159 / 180 = 0,017453

alebo

1 radián = 180 ° / p = 180 ° / 3,14159 = 57,296 °

Vzorové otázky a diskusia

Tu dáme niekoľko otázok týkajúcich sa úsečiek a uhlov, vrátane:

Úloha 1.

Tri riadky, každá k, la am v usporiadaní, ako je uvedené nižšie.

Priamka k je rovnobežná s priamkou l a priamka m pretína priamku k a l.

Takže určite:

a) opačné uhly
b) opačné uhly
c) opačné uhly v
d) zvonka opačné uhly
e) vnútorné uhly na tej istej strane
f) jednostranné vonkajšie uhly
g) priame uhly

Odpoveď:

a) opačné uhly sú:

A1 s B1
A4 s B4
A2 s B2
B3 s B3

b) opačné uhly sú:

A1 s A3
A2 s A4
B1 s B3
B2 s B4

c) vnútorné opačné uhly (opačné dovnútra), a to:

A3 s B1
A4 s B2

d) vonkajšie opačné uhly sú:

A2 s B4
A1 s B3

e) vnútorné uhly sú:

A3 s B2
A4 s B1

f) jednostranné vonkajšie uhly, a to:

A2 s B3
A1 s B4

g) priame uhly sú:

A1 s A2
A1 s A4
A2 s A3
A3 s A4
B1 s B2
B1 s B4
B2 s B3
B3 s B4

Otázka 2.

Dané tri priamky a to k, l a m a tiež uhly, ktoré sú v prostredí. k a l sú rovnobežné, zatiaľ čo priamka m pretína priamku k a l.

Ak P = 125 °, potom určte ďalších sedem uhlov okolo neho!

Odpoveď:

R = P = 125 ° (Pretože R je oproti P)
T = P = 125 ° (Pretože T zodpovedá P)
V = R = 125 ° (Pretože V je oproti R) ∠Q = 180 ° P = 180 ° - 125 ° = 55 ° (Pretože Q je P vyrovnávač)
S = Q = 55 ° (Pretože S je oproti Q)
U = Q = 55 ° (Pretože U je vo vzťahu k Q)
W = U = 55 ° (Pretože W je oproti U)

Problém 3.

Pozrite sa na obrázok nižšie, ak je EF rovnobežná s DG a trojuholník ABC je rovnoramenný trojuholník s mierou uhla C je 40 °.

Potom zadajte:

a) Veľkosť uhla DBE
b) Miera uhla BEF
c) Uhlová CAG

Odpoveď:

a) Veľkosť uhla DBE

Prvým krokom je najprv nájsť mieru uhla ABC. ABC je rovnoramenný trojuholník, takže veľkosť ABC = BAC. Tri uhly v a trojuholník, ak spočítame, je 180 °, teda ABC = (180 40): 2 = 70 °, takže BAC je tiež 70 °, BDBE = ABC = 70 °, pretože sú oproti späť.

b) Miera uhla BEF

BEF = ABC = 70 °, pretože sú oproti, alebo BEF = DBE = 70 °, pretože sú oproti.

c) Uhlová CAG

CAG = 180 BAC = 180 70 = 110 °, pretože CAG a BAC sú priamky.

Úloha 4. (Balík OSN 2012/2013 54)

Pozri sa na obrázok nižšie!

Veľkosť uhlovej žehličky SQR je ...

1. 101°
2. 100°
3. 95°
4. 92°

Odpoveď:

Pozor ** táto otázka je jednou z trikových otázok, mnohí si myslia, že ak sa ich otázka pýta SQR, aj keď to, čo sa požadovalo, bolo PQS.

Aby ste odpovedali na túto otázku, musíte najskôr hľadať hodnotu x.

V tomto prípade ∠PQS a ∠SQR je doplnkový uhol, takže:

∠PQS + ∠SQR = 180 °(5x) ° + (4x + 9) ° = 180 °9x ° + 9 = 180 °9x ° = 171 °x ° = 19 °

Žehlička na vlasy ∠SQR = PQSŽehlička na vlasy ∠SQR = (5x) °Žehlička na vlasy ∠SQR = (5.19)°Žehlička na vlasy ∠SQR = 95° (Odpoveď C)

Otázka 5. (Balík OSN 2009/2010 10)

Pozrite sa na nasledujúci obrázok:

Miera uhla číslo 1 je 95 ° a miera uhla číslo 2 je 110 °. Miera uhla číslo 3 je ...

1. 5°
2. 15°
3. 25°
4. 35°

Odpoveď:

∠1 = ∠5 = 95 ° (opačné vnútorné uhly)2 + 6 = 180 ° (navzájom vyrovnané)110° + ∠6 = 180°∠6 = 70°∠5 + ∠6 + ∠3 = 180°95° + 70° + ∠3 = 180°165° + ∠3 = 180°∠3 = 15° (Odpoveď B)

Otázka 6. (Balík OSN 2010/2011 15)

Pozrite sa na obrázok nižšie:

Veľký ∠BCA je ...

1. 70°
2. 100°
3. 110°
4. 154°

Odpoveď:

ABC + CBD = 180 ° (priame)ABC + 112 ° = 180 °ABC = 68 °BCA + ABC + BAC = 180 °BCA + 68 ° + 42 ° = 180 °BCA + 110 = 180 °BCA = 70 ° (Odpoveď A)

Otázka 7. (Balík OSN 2010/2011 15)

Pozrite sa na obrázok nižšie:

Veľký ∠P3 je ...

1. 37°
2. 74°
3. 106°
4. 148°

Odpoveď:

P2 = 74° (opačné vonkajšie uhly)P2 + P3 = 180 ° (priame)74 ° + P3 = 180 °P3 = 106 ° (Odpoveď C)

Otázka 8. (UN 2012/2013 balík 1)

Pozrite sa na obrázok nižšie:

Miesto uhlovej rovnačky KLN je ...

1. 31°
2. 72°
3. 85°
4. 155°

Odpoveď:

Ak chcete odpovedať na túto otázku, prvým krokom, ktorý musíte nájsť, je hodnota x.

V tejto veci ∠KLN a ∠MLN je doplnkový uhol, takže:

∠KLN + ∠MLN = 180 °(3x + 15) ° + (2x + 10) ° = 180 °5x ° + 25 ° = 180 °5x ° = 155 °x ° = 31 °

Žehlička na vlasy ∠KLN = MLNŽehlička na vlasy ∠KLN = (2x + 10) °Žehlička na vlasy ∠KLN = (2.31 + 10)°Žehlička na vlasy ∠KLN = 72° (Odpoveď B)

Úloha 9. (UN 2012/2013 balík 2)

Pozrite sa na obrázok nižšie:

Veľký rybár ∠SQR je ...

1. 9°
2. 32°
3. 48°
4. 58°

Odpoveď:

Pozor ** táto otázka je tiež predmetom pasce, toľko ľudí si myslí, že si túto otázku kladie SQR, aj keď to, čo sa požadovalo, bolo PQS.

Ak chcete odpovedať na túto otázku, prvým krokom, ktorý musíte nájsť, je hodnota x.

V tejto veci ∠SQR a ∠PQS je pravý uhol, takže:

∠SQR + ∠PQS = 90 °(3x + 5) ° + (6x + 4) ° = 90 °9x ° + 9 ° = 90 °9x ° = 81 °x ° = 9 °

Uhol ∠SQR = PQSUhol ∠SQR = (6x + 4) °Uhol ∠SQR = (6.9 + 4)°Uhol ∠SQR = 58° (Odpoveď D)

Otázka 10. (Balík OSN č. 2012/2013 5)

Pozrite sa na obrázok nižšie:

Skvelá žehlička ∠AOC je ...

1. 32°
2. 72°
3. 96°
4. 108°

Odpoveď:

Ako odpoveď na otázku číslo 10 musíte najskôr nájsť hodnotu x.

V tejto veci ∠AOC a ∠BOC je doplnkový uhol, takže:

∠AOC + ∠BOC = 180 °(8x - 20) ° + (4x + 8) ° = 180 °12x ° - 12 ° = 180 °12x ° = 192 °x ° = 16 °

Žehlička na vlasy ∠AOC = BOCŽehlička na vlasy ∠AOC = (4x + 8) °Žehlička na vlasy ∠AOC = (4.16 + 8)°Žehlička na vlasy ∠AOC = 72° (Odpoveď B)

Toto je krátka recenzia o úsečkách a uhloch, ktorú môžeme povedať. Dúfajme, že vyššie uvedený prehľad Čiary a uhly bude možné použiť ako študijný materiál.