Векторная математика: типы, операции, ортогональные проекции, обозначения, задачи

Математический вектор - это величина, у которой есть направление, сам этот вектор может быть изображен с помощью стрелки, направление которой будет указывать на направление вектора. А длину линии обычно называют размером вектора.

Если вектор начинается в точке A и заканчивается в точке B, то вектор можно записать строчной буквой с тире или стрелкой над ним (

или же ). Или это также можно сделать так, как показано на изображении ниже:

Например, вектор вектор, начинающийся из точки A (x₁. у₁) переходит в точку B (x₂. у₂) мы можем нарисовать декартовы координаты ниже.

Длина линии, параллельной оси x, равна v₁ = х₂ - Икс₁ а длина линии, параллельной оси y, равна v₂ = y₂ - у₁ некоторые компоненты вектора .

Компоненты вектора  Мы можем написать для алгебраического выражения векторов, а именно:

Тип вектора

В математике существует несколько типов специальных векторов, в том числе:

• Вектор положения
  Вектор, начальная точка которого равна 0 (0,0), а конечная точка - A
• Нулевой вектор
  Вектор, длина которого равна нулю, обозначается через . У нулевого вектора нет четкого направления вектора.
• Единичный вектор
  Вектор длиной в одну единицу. Единичный вектор это:
  
• базовый вектор
  Базовый вектор - это единичный вектор, перпендикулярный друг другу. В двумерном векторном пространстве (R²) имеет два базовых вектора, а именно а также . В то время как в трех измерениях (R³) имеет три базовых вектора, а именно , , а также .

Различные виды, а также векторные операции

Математические векторы не только состоят из нескольких типов, но математические векторы также состоят из нескольких видов.

Итак, ниже мы предоставим различные векторы вместе с их операциями одновременно, внимательно рассмотрим их:

Вектор в R2 

Длина отрезка, представляющего вектор, обозначается с помощью или также может быть обозначено с помощью символа ||

Ниже приводится длина вектора, которая выглядит следующим образом:

Длина самого вектора - это форма, которая может быть связана с углом, который может быть легко образован вектором, а также положительной осью.

Векторная операция на R2 

Процесс сложения и вычитания векторов в R2 

Resultant - это имя результата сложения двух или более векторов.

Само сложение этого вектора также может быть выполнено алгебраически, а также может быть выполнено путем добавления компонентов, которые находятся в той же или следующей позиции.

Если:

тогда:

Затем мы можем увидеть само графическое суммирование на изображении ниже:

Это векторное вычитание обрабатывается так же, как и сложение, включая следующее, см. Пример ниже:

Свойства самого этого векторного сложения указаны ниже, см. Формулу:

⇒ Векторное умножение в R² Со скалярным 

Сам вектор также можно умножить на скаляр или действительное число, что даст новый вектор, если - вектор, а k - скаляр.

Таким образом, это векторное умножение можно обозначить следующим образом:

Вот еще некоторые подробности:

• Если k> 0, то вектор будет в том же направлении, что и вектор .
• Если k <0, то вектор будет в направлении, противоположном вектору .
• Если k = 0, то вектор является тождественным вектором .

Графически это умножение может изменить длину вектора, и его можно увидеть в таблице ниже:

Если алгебраически, векторное произведение со скаляром k мы можем сформулировать, используя формулу, подобную приведенной ниже:

Скалярное умножение двух векторов в R²

В скалярном произведении двух векторов его также можно назвать скалярным произведением двух векторов, которые мы можем записать следующим образом:

Вектор в R³

Вектор, расположенный в трехмерном пространстве (x, y, z), где расстояние между двумя векторными точками находится в R³ Вы можете узнать это, разработав формулу Пифагора.

Если точка A (x₂. у₂. z₂) и B (x₂. у₂. z₂) находятся:

Или если , чтобы:

Вектор можно указать в двух формах, а именно в столбце

или в очереди, чтобы быть

Векторы также могут быть представлены в виде линейных комбинаций базовых векторов, таких как или же и или

следующие полностью:

Векторная операция на R³

Векторные операции на R³ в общем, имеют ту же концепцию, что и операции над вектором R² кроме того, вычитание и умножение.

Сложение и вычитание векторов в R³

Сложение и вычитание векторов в R³ то же, что и в векторе R² а именно:

Умножение векторов в R³ со скаляром

Если - вектор, а k - скаляр. Тогда умножение вектора становится:

Скалярное произведение двух векторов

Помимо формулы на R³, есть еще одна формула для скалярного произведения двух векторов. Если а также тогда является:

Ортогональная проекция вектора

Если вектор ā проецируется в вектор колючка и дали имя  как на картинке ниже:

Известен:

так:

Чтобы получить вектор:

Векторное обозначение

Как объяснялось выше, вектор здесь представлен буквами, которые задают направление линии над ним.

Векторы могут быть выражены в двух или даже трех измерениях и более. При выражении в трех измерениях вектор имеет единичный вектор, который выражается через i, j и k.

Единичный вектор - это вектор, величина которого равна одной единице, а его направление - вдоль главной оси, а именно:

я - единичный вектор в направлении оси Икс (абсцисса)

j - единичный вектор в направлении оси у (ордината)

k - единичный вектор в направлении оси z (заявление)

с участием a_x в качестве компонента направления x, и а_у компоненты направления оси Y и a_z компонент z-направления.

Векторная форма письма:

в математике чаще пишется в форме:

с компонентом в виде числового индекса:

Длина вектора (большая, значение) записывается как абсолютный знак в алгебре

Или в числовом индексе

Если вектор определяется координатами

Тогда вектор AB представлен как

Длина вектора AB

Между тем, для единичного вектора вектора, который выражается как

Выражено

Примеры вопросов и обсуждения

Проблема 1.

Если известно, что существует точка A (2,4,6), точка B (6,6,2) и точка C (p, q, -6). Если точки A, B и C находятся на одной линии, узнайте, каково значение p + q!

Отвечать:

Если точки A, B и C находятся на одной прямой, то вектор и вектор Также он может быть однонаправленным или разнонаправленным.

Таким образом, будет число m, которое является кратным и может образовывать уравнение, подобное приведенному ниже:

• м. =

Если B находится между точками A и C, он будет получен, как показано ниже:

Так вы сможете получить:

Таким образом, его можно определить кратным m в уравнении:

Итак, мы получим следующие результаты:

Итак, мы можем сделать следующие выводы:

р + д = 10 + 14 = 24

Вопрос 2.

Если известно, что вектор в точке A и точке B, а также вектор в точке C, который лежит между линией Ab, как показано на рисунке ниже. Найдите уравнение вектора C.

Отвечать:

На картинке выше мы видим, что:

так:

Итак, краткий обзор векторной математики, который мы можем передать. Надеюсь, что приведенный выше обзор векторной математики может быть использован в качестве учебного материала.