Формулы арифметических рядов: последовательности, примеры вопросов и ответов

Арифметическая последовательность

Арифметическая последовательность - это последовательность чисел с определенным шаблоном в виде сложений, которые имеют одинаковую / фиксированную разницу или различие.

---

Формулы арифметической последовательности

Условия выражаются следующей формулой:

U1, U2, U3,… .Un
a, a + b, a + 2b, a + 3b,…., a + (n-1) b

Разница (разница) выражается b

---

б = U2 - U1 = U3 - U2 = Un - Un - 1

N-й член арифметической последовательности (Un) выражается формулой:

Un = a + (n-1) b

---

Информация :

Un = n-й член с n = 1,2,3,…
a = первый член → U1 = a
b = разница / разница

---

(1) 3, 7, 11, 15, 19, …
(2) 30, 25, 20, 15, 10,…

---

Формы арифметической последовательности

Информация:
a = U1 = первый член
b = разные
n = много терминов
Un = n-й член

Пример арифметической последовательности

1. Первый член арифметической последовательности равен 3, а разница = 4, 10-й член арифметической последовательности равен ...
   Решение:
   а = 3
   б = 4

1. Арифметическая последовательность имеет следующий вид: 5, 8, 11,…
   Определите: Ценность 15-го семестра!
   Решение:

Арифметическая последовательность Среднее племя

Если арифметическая последовательность имеет нечетное количество членов (n), с первым членом a и последним членом Un, то средний член Ut последовательности выглядит следующим образом:

Обратите внимание, что разница между терминами всегда постоянна. Такая последовательность называется арифметической последовательностью. Разница называется разными племенами или просто разными и обозначается буквой c.

Последовательность (l) имеет различие, b = 4. Эта последовательность называется восходящей арифметической последовательностью, потому что значение терминов увеличивается.

Последовательность (2) имеет различие, b = -5. Эта последовательность называется убывающей арифметической последовательностью, потому что значение терминов становится меньше.

Линия U barisan₁, U₂, U₃,... называется арифметической последовательностью, если разница между двумя последовательными членами постоянна. Значение Для определения n-го члена арифметической последовательности. Посмотрите еще раз на пример строки (l).

---

3, 7, 11, 15, 19, …

Например, U1, U2, U3,…. арифметическая последовательность, то

---

U₁ = 3 =+ 4 (0)

U₂ = 7 = 3 + 4 = 3 + 4 (1)

U₃ = 11 = 3 + 4 + 4 = 3 + 4 (2)
….
U_п = 3 + 4 (п-1)

---

В общем, если первый член (U₁) = a, а разница в последовательных членах равна b, поэтому из формулы Un = 3 + 4 (n - 1), 3 - это a, а 4 - это b. Следовательно, n-й член можно сформулировать

---

U_п = а + Ь (п-1)

---

Арифметическая последовательность, имеющая положительную разницу, называется восходящей арифметической последовательностью, а если разница отрицательная, она называется убывающей арифметической последовательностью.

---

U₁, U₂, U₃, …… .U_п-1, U_п называется арифметической последовательностью, если
U₂ - U₁ = U₃ - U₂ = …. = U_п - U_п-1 = константа

Un = a + (n-1) b = bn + (a-b) → Линейная функция от n

---

Пример арифметической последовательности:

Найдите 15-й член последовательности 2, 6, 10, 14,…

Отвечать:

n = 15
б = 6-2 = 10-6 = 4
U1 = а = 2

Un = a + (n-1) b
U15 = 2 + (15-1) 4
= 2 + 14.4
= 2 + 56 = 58

Арифметическая последовательность 3, 8, 13,…

1. Найдите 10-й член и формулу для n-го члена последовательности!
2. Какой термин имеет значение 198?
   

   ---

Отвечать:

• Из арифметической последовательности 3, 8, 13,… получаем первый член a = 3 и разность b = 8 - 3 = 5.

U_п = а + (п - 1) б

U₁₀ = 3 + (10 – 1)5

= 3 + 9 х 5

= 3 + 45

= 48

U_п = а + (п - 1) б

= 3 + (п - 1) 5

= 3 + 5n - 5

= 5n - 2

---

1. Предположим, что U_п = 198, тогда:

U_п = 198

5н - 2 = 198

5n = 200

n = 40

Итак, 198 - это 40-й срок

---

Также читайте статьи, которые могут быть по теме: 54 изображения блочных сетей с примерами

---

Арифметическая прогрессия

Арифметический ряд - это сумма членов арифметической последовательности.

Формула арифметического ряда

Общий вид арифметического ряда:

a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) +… + (a + (n-1) b)

Количество членов до n-го члена в арифметической последовательности определяется следующим образом:

Sn = (2a + (n-1) b) или Sn = (a + Un)

Как обсуждалось ранее, серия - это форма сложения терминов в последовательности. Если U1, U2, U3,... арифметические последовательности. U1, U2, U3,… - арифметический ряд.

Чтобы найти сумму первых n членов арифметического ряда, снова рассмотрим полученный ряд (l).

3 + 7 + 1l + 15 + 19 +…

Если сумма первых n членов обозначена как. Sn, затем S из вышеприведенной серии:

Обратите внимание на сумму первых 5 членов, полученную S. Число 3 в вычислении происходит от первого члена, а l9 - из пятого члена. Следовательно, сумма n-го слагаемого равна

---

---

Вставки в арифметические последовательности

Если k чисел (новых членов) вставить между двумя членами арифметической последовательности, чтобы сформировать новую арифметическую последовательность, то:

Разница в арифметической последовательности после вставки k членов изменится и формулируется как:

---

Примеры задач арифметических рядов

Арифметический ряд 5, 15, 25, 35,…
Какова сумма первых 10 членов арифметического ряда?

---

Отвечать:

п = 10
U1 = а = 5
б = 15 - 5 = 25 - 15 = 10

Sn = (2a + (n-1) b)
S10 = (2. 5 + (10 -1) 10)
= 5 ( 10 + 9.10)
= 5. 100 = 500

---

1. Сумма первых членов в последовательности 20 + 15 + 10 + …… равна… ..

а). -550

б). -250

в). -75

г). -115

в). -250

---

Решение:

а = 20

б = U2-U1

= 15-20

= -5

Sn = n (a + Un)

Un = a + (n - 1) b

U20 = 20 + (20-1) (- 5)

= 20 + (19) (-5)

= 20 – 95

= – 75

S20 =. 20 (20 + (-75))

= 10 (-55)

S20 = - 550

Ответ: А

---

2. Сумма первых 10 членов арифметического ряда: 3 + 5 + 7 + 9 +….. является …..

а). 105

б). 120

в). 150

г). 155

д). 165

---

Решение:

а = 3

б = U3 - U2 - 1

= U3 - U2

= 7 – 5

 = 2

Sn = n (2a + (n-1) b)

= 10 (2 (5) + (10-1)2)

= 5 (6+9) 2

= 120

 Ответ: B

---

1. Если бесконечная сумма геометрического ряда равна 6, а отношение равно -, то первый член будет… ..

а). 2

б). 3

в). 8

г). 10

д). 12

---

Решение:

S =

6 =

6 =

6 =

6 =

6 =

6 х а => 6 х 5 = = 10

Ответ: D

---

1. Бесконечная сумма геометрических рядов 6 + 2 + + это… ..

а). 7

б). 6

в). 9

г). 10

д). 18

S =

а = 6

г = = =

S2 = = = 6

S2 = 6 х = = 9

Ответ: C

---

1. Дана арифметическая последовательность с U4 = 11 и U8 = 23. Пятнадцатый член арифметической последовательности равен ...
   

   ---

а). 345

б). 44

в). 49

г). -40

д). -44

Решение:

Un = a + (n-1) b

= а + (4-1) Ь = 11

= а + 36 = 11

U8 = а + (8-1) Ь = 23

= а + 7b = 23

Исключение a + 3b = 11

а + 7b = 23

-4b = -12

б = = 3

Вещество a + 3b = 11

а + 3 (3) = 11

а + 9 = 11

а = 11 - 9 = 2

U15

Un = a + (n-1) b

U15 = 2 + (15-1) 3

= 2 + (14 х 3) = 44

Ответ: B

---

1. Из арифметической последовательности известно, что U2 = 7 и U6 = 19. Восьмой член арифметической последовательности равен ...

а). 25

б). 26

в). 28

г). 31

д). 34

Решение:

Un = a + (n-1) b

U2 = а + (2-1) Ь = 7

= а + 1б = 7

U6 = а + (6-1) Ь = 19

= а + 5b = 19

Устранение:

а + 1 б = 7

а + 5b = 19

 -4b = -12

б = - = 3

 Замена:

б = 3

а + 1 б = 7

а + 1 (3) = 7

а + 3 = 7

а = 7-3 = 4

U8

Un = a + (n-1) b

U8 = 4 + (8-1) 3

= 4 + (7. 3)

= 25

Ответ: А

---

1. Из арифметической последовательности известно, что U10 = 41 и U5 = 21. U20 последовательности… ..

а). 69

б). 73

в). 77

г). 81

д). 83

Решение:

Un = a + (n-1) b

U10 = а + (10-1) Ь = 41

U5 = а + (5-1) Ь = 21

а + 4b = 21

устранение:

а + 9b = 41

а + 4b = 21

5b = 20

б = = 4

замена:

б = 4

а + 9b = 41

5 + а + (9,4) = 41

а + 36 = 41

а = 41–36

= 5

U20

Un = a + (n-1) b

U20 = а + (п-1) б

U20 = 5 + (20 + 1) 4

= 5 + (19.4)

= 5 + 76

= 81

Ответ: г).

---

1. Заработная плата сотрудника каждый месяц увеличивается на 5 000,00 рупий, если первая зарплата составляет рупий. 100 000… ..
   

   ---

а). Rp. 1 205 000

б). Rp. 1.255.000

в). Rp. 260 000 000

г). Rp. 1 530 000

Решение:

Sn = n (2a + (n-1) b)

12 (2. 100.000) +(12-1)5000

= 6 (200.000+55.000)

= 6 (225.000) = 1.530.000

Ответ: г). 1.530.000

---

1. У компании есть возможность продать свою продукцию 0,65, если она производит 2 500 000 единиц товара, то расчетное количество непроданной продукции составляет ...
   

   ---

а). 625,000 единиц

б). 875,000 единиц

в). 1,125,000 единиц

г). 1,375,000 единиц

д). 1,625,000 единиц

Решение:

. 2.500.000= 1.625.000

2,500,000 - 1,625,000 = 875,000 единиц

Результаты самых продаваемых продуктов

Ответ: B

---

1. Компания в первый год производит 5000 единиц товара, в последующие годы ее производство неуклонно снижается на 80 единиц в год. В каком году компания выпустила 3000 единиц продукции?
   

   ---

а). 24

б). 25

в). 26

г). 27

д). 28

Решение:

Un = a + (n-1) b

3000 = 5000 + (п-1) (-80)

3000 = 5000 + (80n) + (80)

80n = 5000 - 3000 + 80

80n = 2000 + 80

80n = 2080

п = 2080: 80 = 26

Ответ: C

---

Также читайте статьи, которые могут быть по теме: Формула объема цилиндра: площадь поверхности, высота и примеры задач

---

1. Владелец сада каждый день собирает апельсины и записывает количество собранных апельсинов. Оказывается, количество собранных на n-й день апельсинов удовлетворяет формуле Un = 50 + 25n. Количество апельсинов, собранных в течение первых 10 дней, составляет… ..
   

   ---

а) .2000

б) 1950 г.

в) .1900

г). 1875 г.

д). 1825 г.

Решение:

Sn = n (2a + (n-1) b)

S10 = 10 (2,75+ (10-1) 25)

S10 = 5 (150+ (9,25)

S10 = 5 (150 + 225)

S10 = 5 (375)

S10 = 1875 штук

Ответ: D

---

1. Двадцать рабочих получают дневную заработную плату по следующим результатам: рабочий 1 - 12 000 рупий, рабочий 2 получает 12 500 рупий, рабочий 3 получает 13 000 рупий и так далее, пока заработная плата не сформируется в ряд арифметика. Размер заработной платы одного сердца, который должен быть приготовлен плательщиком, составляет… ..
   

   ---

а) .Rp. 670 000

б) .Rp. 340 000

в) .Rp. 335 000

г) .Rp. 220 000

д) .Rp. 700 000

Решение:

Sn = n (2a + (n-1) b)

S20 =

20 (2.12000+(20-1)500)

= 20 (24000+19)500)

= 10 (24000+9500)

= 10 (33.500)

= 335.000

Ответ: C

---

1. Учитывая геометрическую последовательность с первым членом 2 и 5-м членом = 640, тогда отношение будет… ..

а) .2

б) .8

в) .1

г) .4

Решение:

а = 2

Un = a.r ^п-1

640 = 2. р ^с-1

 ⁼ р⁴

256 = г⁴

р^{4 = 256}

R = 4

Ответ: D

---

1. Если первый член геометрической последовательности = 16, а третий член = 36, то величина пятого члена равна ...
   

   ---

а) .- 81

б) .- 52

в) .- 46

г) .46

д) .81

Решение:

а = 16

U3 = 36

Un = a r ^п-1

U3 = 16.r^3-1

36 = 16.r²

 ⁼ р²

р^{2 =}

r =

r =

r =

U5 = 16 ()^г-1

= 16 ( )⁴

 = 16 .

= 81

Ответ: E

---

1. В первый час человек идет со скоростью 8 км / ч. Затем во второй час скорость уменьшается вдвое по сравнению с первым часом и так далее. Самое дальнее расстояние, которое преодолел человек, составляет ...
   

   ---

а) .4

б) .8

в) .12

г) .14

д) .16

Решение:

U1 = 8

U2 = 4

г = = =

S2 =

=

= х

= 16

Ответ: E

---

Пример 2.1

1. 1, 2, 3,… - арифметические последовательности с разностью, b = 1.
2. 1, 3, 5,… - арифметические последовательности с разностью, b = 2.
3. 1, -1, 1, -1,…. не арифметическая последовательность, потому что
   

   ---

U2 - U1 = -1 - 1 = -2? 2 = 1 - (-1) = U3 - U2

1. Известно, что арифметическая последовательность со 2-м элементом равна 10, а разница = 2.

Определите 1-й, 3-й и 4-й элементы последовательности.

---

Решение:

Поскольку b = Un - Un-1 = 2, то U2 - U1 = 2. Итак, U1 = U2 - 2 = 10-2 = 8.

Равным образом получается U3 - U2 = 2 = b. Итак, U3 = U2 + b = 10 + 2 = 12, и

U4 = U3 + b = 12 + 2 = 14.

---

Понижение формулы элементалей к n Арифметическая последовательность

Если U1 = a, U2, U3,…, Un,… - арифметическая последовательность, то элемент

n-я последовательность может быть получена следующим образом.

---

U1 = а

U2 = а + Ь

U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b

U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b

U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b

?

Un = a + (n-1) b

---

Итак, общая формула для элемента n - арифметическая последовательность с элементом

сначала a, а разница b:

Uп = а + (п-1)б

Пример 2.2

Известно, что арифметическая последовательность со 2-м элементом равна 10, а разница = 2.

Определите седьмой элемент последовательности.

Решение:

Известно, что U2 = 10, b = 2. Используя формулу Un = a + (n-1) b,

полученный

U2 = а + (2-1) Ь

U2 = а + Ь

а = U2 - б

= 10 – 2

= 8.

U7 = а + (7-1) Ь

= а + 6 б

= 8 + 6 (2)

= 8 + 12

= 20.

Итак, 7-й элемент последовательности равен 20.

---

Пример 2.3

С 2000 года Пак Арман владеет плантацией сахарного тростника. Доход сада

Стоимость сахарного тростника г-на Армана в конце 2000 года составляла 6 000 000 индонезийских рупий. Год начала

2001 Пак Арман удобряет свою плантацию сахарного тростника навозом. сэр

По оценкам Армана, в конце каждого года его доход от плантации сахарного тростника

увеличился на 500 000 рупий. Каков ориентировочный доход плантации сахарного тростника Пак Армана в

конец 2005 г.?

Решение:

---

Например:

a = Доход Пака Армана от плантации сахарного тростника в конце 2000 года.

b = предполагаемое увеличение дохода от плантации сахарного тростника Пак Армана в конце каждого года.

P2005 = предполагаемый доход плантации Пака Армана на конец 2005 года.

Таким образом, будет выполняться поиск a = 6 000 000 рупий, -, b = 500 000 рупий, - и P2005.

Потому что, по оценкам Пак Армана, ежегодный рост доходов плантаций сахарного тростника

конец года фиксирован, поэтому для определения дохода г-на

Арман в конце 2005 года, мы можем применить формулу для n-го элемента

арифметическая последовательность с

---

U1 = a = a = 6 000 000 индонезийских рупий, -, b = 500 000 индонезийских рупий.

P2005 = U6 = a + 5b

= 6.000.000 + 5(500.000)

= 6.000.000 + 2.500.000

= 8.500.000.

Таким образом, предполагаемый доход плантации сахарного тростника Пака Армана на конец 2005 г.

составляет 8 500 000 рупий, -

Используя арифметический ряд, мы можем сформировать последовательность, которая

связанные с сериалом. Такая последовательность называется арифметической последовательностью.

---

Пример 2.4

Найдите сумму первых 25 членов ряда 3 + 6 + 9 +….

Решение:

Серия 3 + 6 + 9 +…. представляет собой арифметический ряд с a = 3 и b = 3. От

поэтому, используя формулу Sn =

1

2

n [2a + (n -1) b] получается:

S25 =

1

2

(25) [2(3) + (25 -1)(3)]

=

25

2

[6 + 24(3)]

=

25

2

(6 + 72)

= 25 (39)

= 975.

Итак, сумма первых 25 членов ряда 3 + 6 + 9 +…. 975.

---

Пример 2.5

Найдите сумму всех нечетных чисел от 50 до 100.

Решение:

Известно, что a = 51, b = 2, Un = 99.

Чтобы найти сумму всех нечетных чисел от 50 до 100, сначала

сначала мы находим количество нечетных чисел от 50 до 100, т.е. n

по формуле:

Un = a + (n - 1) b

99 = 51 + (п - 1) (2)

99 = 51 + 2n - 2

99 = 49 + 2n

2n = 99 - 49

п = 25.

---

Затем, используя формулу суммы первых n членов арифметической последовательности,

Sn =

1

2

n [2a + (n -1) b]

полученный:

S25 =

1

2

(25)[2(51) + (25 -1)(2)]

= 25(51 + 24)

= 25(75)

= 1.875.

Таким образом, сумма всех нечетных чисел от 50 до 100 составляет 1875.

---

Также читайте статьи, которые могут быть по теме: Формула конуса: объем, площадь поверхности, высота и фигура