Закрывать
Меню

Система линейных уравнений с тремя переменными: особенности, компоненты

Система линейных уравнений с тремя переменными: характеристики, компоненты, методы решения и примеры задач –  Что подразумевается под системой уравнений с тремя переменными? О Knowledge.co.id обсудим это и, конечно же, то, что его окружает. Давайте посмотрим на обсуждение в статье ниже, чтобы лучше понять это.

Оглавление

  • Система линейных уравнений с тремя переменными: характеристики, компоненты, методы решения и примеры задач
    • Характеристики системы линейных уравнений с тремя переменными.
    • Компоненты системы линейных уравнений с тремя переменными
      • Племя
      • Переменная
      • Коэффициент
      • Постоянный
    • Метод решения системы линейных уравнений с тремя переменными
      • Комбинированный или смешанный метод
    • Пример проблем
    • Поделись этим:
    • Похожие сообщения:

Система линейных уравнений с тремя переменными: характеристики, компоненты, методы решения и примеры задач

Система уравнений с тремя переменными или обычно сокращенно SPLTV - это набор линейных уравнений с тремя переменными. Линейное уравнение характеризуется наибольшей степенью переменной в уравнении, равной единице. Кроме того, знак, соединяющий уравнение, является знаком равенства.

instagram viewer

В архитектуре существуют математические расчеты для построения зданий, одно из которых представляет собой систему линейных уравнений. Система линейных уравнений полезна для определения координат точки пересечения. Точные координаты необходимы для создания здания, соответствующего эскизу. В этой статье мы обсудим систему линейных уравнений с тремя переменными (SPLTV).

Система линейных уравнений с тремя переменными - это расширенная форма системы линейных уравнений с двумя переменными (SPLDV). Что в системе линейных уравнений с тремя переменными состоит из трех уравнений, каждое из которых имеет три переменные (например, x, y и z).

Система линейных уравнений с тремя переменными состоит из нескольких линейных уравнений с тремя переменными. Общий вид линейного уравнения с тремя переменными выглядит следующим образом.

ах + по + cz = d

a, b, c и d - действительные числа, но a, b и c не могут быть все 0. У уравнения есть много решений. Одно решение может быть получено, если принять любое значение в двух переменных для определения значения третьей переменной.

Характеристики системы линейных уравнений с тремя переменными.

Уравнение называется системой линейных уравнений с тремя переменными, если оно имеет следующие характеристики:

  • Используя соотношение знаков равенства (=)
  • Имеет три переменные
  • Три переменные имеют степень единицы (в степени единицы).

Компоненты системы линейных уравнений с тремя переменными

Содержит три компонента или элемента, которые всегда связаны с системой линейных уравнений с тремя переменными.

Этими тремя компонентами являются: члены, переменные, коэффициенты и константы. Ниже приводится объяснение каждого из компонентов SPLTV.

  • Племя

Термин является частью алгебраической формы, состоящей из переменных, коэффициентов и констант. Каждый термин отделяется пунктуацией сложения или вычитания.

Пример:

6x - y + 4z + 7 = 0, тогда члены уравнения равны 6x, -y, 4z и 7.

  • Переменная

Переменная - это переменная или заменитель числа, которое обычно обозначается с помощью букв, таких как x, y и z.

Пример:

У Юлисы 2 яблока, 5 манго и 6 апельсинов. Если мы запишем это в форме уравнения, то:

Пример: яблоко = x, манго = y и апельсин = z, поэтому уравнение 2x + 5y + 6z.

  • Коэффициент

Коэффициент - это число, которое выражает количество схожих переменных.

Коэффициенты также называются числами перед переменной, потому что уравнение коэффициента записывается перед переменной.

Пример:

В Гиланге 2 яблока, 5 манго и 6 апельсинов. Если мы запишем это в форме уравнения, то:

Пример: яблоко = x, манго = y и апельсин = z, поэтому уравнение 2x + 5y + 6z.

Из этих уравнений видно, что 2, 5 и 6 являются коэффициентами, где 2 - коэффициент при x, 5 - коэффициент при y и 6 - коэффициент при z.

  • Постоянный

Константа - это число, за которым не следует переменная, поэтому она будет иметь фиксированное или постоянное значение независимо от значения переменной или переменной.

Пример:

2x + 5y + 6z + 7 = 0, постоянная из уравнения равна 7. Поскольку, 7 значение фиксировано и не зависит от каких-либо переменных.

Метод решения системы линейных уравнений с тремя переменными

Значение (x, y, z) является набором решений для системы линейных уравнений с тремя переменными, если значение (x, y, z) удовлетворяет трем уравнениям в SPLTV. Набор решений SPLTV можно определить двумя способами: методом замены и методом исключения.

  • Метод замены

Метод подстановки - это метод решения системы линейных уравнений путем подстановки значения одной из переменных из одного уравнения в другое. Этот метод выполняется до тех пор, пока все значения переменных не будут получены в системе линейных уравнений с тремя переменными.

Метод подстановки проще использовать в SPLTV, который содержит уравнение с коэффициентом 0 или 1. Ниже приведены шаги для решения метода подстановки.

  1. Найдите уравнение простейшего вида. Уравнения простейшего вида имеют коэффициенты 1 или 0.
  2. Выразите одну из переменных через две другие переменные. Например, переменная x выражается в переменной y или z.
  3. Подставьте значения переменных, полученные на втором шаге, в другие уравнения SPLTV, чтобы получить систему линейных уравнений с двумя переменными (SPLDV).
  4. Определите решение SPLDV, полученное на третьем этапе.
  5. Определите значение всех неизвестных переменных.

Давайте попробуем ответить на следующие примеры вопросов. Определите набор решений для системы линейных уравнений с тремя переменными ниже.

x + y + z = -6… (1)

x - 2y + z = 3… (2)

-2x + y + z = 9… (3)

Во-первых, мы можем преобразовать уравнение (1) в, z = -x - y - 6 в уравнение (4). Затем мы можем подставить уравнение (4) в уравнение (2) следующим образом.

х - 2у + г = 3

х - 2у + (-х - у - 6) = 3

х - 2у - х - у - 6 = 3

-3y = 9

у = -3

После этого мы можем подставить уравнение (4) в уравнение (3) следующим образом.

-2x + y + (-x - y - 6) = 9

-2x + y - x - y - 6 = 9

-3x = 15

х = -5

У нас есть значения для x = -5 и y = -3. Мы можем подставить его в уравнение (4), чтобы получить следующее значение z.

Читайте также:Формула для расчета площади поверхности тубы без колпачка

г = -х - у - 6

z = - (- 5) - (-3) - 6

г = 5 + 3-6

г = 2

Итак, мы получаем набор решений (x, y, z) = (-5, -3, 2)

  • Метод устранения

Метод исключения - это метод решения системы линейных уравнений путем исключения одной из переменных в двух уравнениях. Этот метод выполняется до тех пор, пока не останется одна переменная.

Метод исключения можно использовать для всех систем линейных уравнений с тремя переменными. Но этот метод требует длинных шагов, потому что каждый шаг может исключить только одну переменную. Для определения набора решений SPLTV требуется как минимум 3-кратный метод исключения. Этот метод проще в сочетании с методом подстановки.

Шаги завершения с использованием метода исключения следующие.

  1. Обратите внимание на три уравнения в SPLTV. Если есть два уравнения, которые имеют одинаковый коэффициент для одной и той же переменной, вычтите или сложите два уравнения, чтобы переменная имела коэффициент 0.
  2. Если нет переменных с одинаковым коэффициентом, умножьте оба уравнения на число, которое делает коэффициенты переменной в обоих уравнениях одинаковыми. Вычтите или сложите два уравнения, чтобы переменная имела коэффициент 0.
  3. Повторите шаг 2 для других пар уравнений. Переменная, пропущенная на этом шаге, должна быть такой же, как переменная, пропущенная на шаге 2.
  4. После получения двух новых уравнений на предыдущем шаге определите набор решений для этих двух уравнений, используя метод решения линейной системы уравнений с двумя переменными (SPLDV).
  5. Подставьте значения двух переменных, полученные на шаге 4, в одно из уравнений SPLTV, чтобы получить значение третьей переменной.

Мы попробуем применить метод исключения в следующей задаче. Определите набор решений SPLTV!

2x + 3y - z = 20… (1)

3x + 2y + z = 20… (2)

X + 4y + 2z = 15… (3)

SPLTV можно определить как набор решений, исключив переменную z. Сначала сложите уравнения (1) и (2), чтобы получить:

2х + 3у - г = 20

3х + 2у + г = 20 +

5x + 5y = 40

х + у = 8… (4)

Затем умножьте 2 в уравнении (2) и умножьте 1 в уравнении (1), чтобы получить:

3x + 2y + z = 20 | x2 6x + 4y + 2z = 40

х + 4у + 2z = 15 | х1 х + 4у + 2z = 15 –

5x = 25

х = 5

Зная значение x, подставьте его в уравнение (4) следующим образом.

х + у = 8

5 + у = 8

у = 3

Подставьте значения x и y в уравнение (2) следующим образом.

3х + 2у + г = 20

3 (5) + 2 (3) + z = 20

15 + 6 + z = 20

г = -1

Таким образом, набор решений для SPLTV (x, y, z) равен (5, 3, -1).

  • Комбинированный или смешанный метод

Решение системы линейных уравнений комбинированным или смешанным методом - это решение, объединяющее сразу два метода.

Речь идет о методе исключения и методе замены.

Этот метод можно использовать, используя сначала метод подстановки или сначала исключение.

И на этот раз мы попробуем комбинированный или смешанный метод с двумя техниками, а именно:

Сначала устраните, а затем используйте метод подстановки.
Сначала замените, а затем используйте метод исключения.

Процесс почти такой же, как и при расчете SPLTV с использованием метода исключения и метода замещения.

Чтобы вы лучше понимали, как решить SPLTV, используя эту комбинацию или смесь, здесь мы приводим несколько примеров вопросов и их обсуждение.

Пример проблем

Проблема 1.

Определите набор решений SPLTV ниже, используя метод подстановки:
х - 2у + г = 6
3х + у - 2z = 4
7x - 6y - z = 10

Отвечать:

Первый шаг - сначала определить простейшее уравнение.

Из трех уравнений первое уравнение является самым простым. Из первого уравнения укажите переменную x как функцию от y и z следующим образом:

х - 2у + г = 6

х = 2у - г + 6

Подставьте переменную или переменную x во второе уравнение

3х + у - 2z = 4

3 (2y - z + 6) + y - 2z = 4

6y - 3z + 18 + y - 2z = 4

7лет - 5з + 18 = 4

7лет - 5з = ​​4 - 18

7y - 5z = –14 …………… Ур. (1)

Подставляем переменную x в третье уравнение

7x - 6y - z = 10

7 (2у - z + 6) - 6у - z = 10

14y - 7z + 42 - 6y - z = 10

8лет - 8з + 42 = 10

8лет - 8з = 10–42

8y - 8z = –32

y - z = –4 ……………… Ур. (2)

Уравнения (1) и (2) образуют SPLDV y и z:
7y - 5z = –14
y - z = –4

Затем решите вышеуказанный SPLDV, используя метод подстановки. Выберите одно из самых простых уравнений. В этом случае второе уравнение является самым простым уравнением.

Из второго уравнения получаем:

y - z = –4

у = г - 4

Подставляем переменную y в первое уравнение

7y - 5z = –14

7 (z - 4) - 5z = –14

7z - 28 - 5z = –14

2z = –14 + 28

2z = 14

г = 14/2
г = 7

Подставьте значение z = 7 в одно из SPLDV, например y - z = –4, чтобы получить:

y - z = –4

y - 7 = –4

у = –4 + 7

у = 3

Затем подставляем значения y = 3 и z = 7 в одно из SPLTV, например x - 2y + z = 6, чтобы мы получили:

х - 2у + г = 6

х - 2 (3) + 7 = 6

х - 6 + 7 = 6

х + 1 = 6

х = 6 - 1

х = 5

Таким образом, мы получаем x = 5, y = 3 и z = 7. Таким образом, набор решений для проблемы SPLTV - {(5, 3, 7)}.
Чтобы убедиться, что полученные значения x, y и z верны, мы можем это выяснить, подставив значения x, y и z в три SPLTV выше. Среди прочего:

Уравнение I:

х - 2у + г = 6

⇒ 5 – 2(3) + 7 = 6

⇒ 5 – 6 + 7 = 6

6 = 6 (верно)

Уравнение II:

3х + у - 2z = 4

⇒ 3(5) + 3 – 2(7) = 4

⇒ 15 + 3 – 14 = 4

Читайте также:Геометрические ряды: определение, формулы, свойства и примеры задач

4 = 4 (верно)

Уравнение III:

7x - 6y - z = 10

⇒ 7(5) – 6(3) – 7 = 10

⇒ 35 – 18 – 7 = 10

10 = 10 (верно)
Из приведенных выше данных можно убедиться, что значения x, y и z, которые мы получаем, являются правильными и удовлетворяют системе линейных уравнений трех рассматриваемых переменных.

Вопрос 2.

Дана система линейных уравнений:

(i) х -3y + z = 8

(ii) 2x = 3y-z = 1

(iii) 3x -2y -2z = 7

Значение x + y + z равно

А.-1

Б. 2

С. 3

Д. 4

Обсуждение:

Из уравнения (i) x - 3y + z = 8 → x = 3y - z + 8…. (iv)

Подстановка уравнения (iv) в уравнение (ii):
2х + 3у - г = 1
2 (3у - z + 8) + 3у - z = 1
6у - 2z + 16 + 3у - z = 1
9лет - 3z + 16 = 1
3z = 9y + 15
z = 3y + 5…. (v)

Подставьте уравнение (iv) в уравнение (iii):
3x - 2y - 2z = 7
3 (3у - z + 8) - 2у - 2z = 7
9y - 3z + 24 - 2y - 2z = 7
7лет - 5з + 24 = 7
5z = 7y + 24-7
5z = 7y + 17…. (vi)

Подставьте уравнение (v) в уравнение (vi):
5z = 7y + 17
5 (3y + 5) = 7y + 17
15лет + 25 = 7лет + 17
15 лет - 7 лет = -25 + 17
8у = -8 → у = - 1 …. (vii)

Подставьте значение y = - 1 в уравнение (vi), чтобы получить значение z.
5z = 7y + 17
5z = 7 (- 1) + 17
5z = - 7 + 17
5z = 10 → г = 2 … (Viii)

Подставьте значение y = - 1 и z = 2 в уравнение (i), чтобы получить значение x.
х - 3у + г = 8
х - 3 (- 1) + 2 = 8
х + 3 + 2 = 8
х + 5 = 8
х = 8-5 → х = 3

Получены значения трех переменных, которые соответствуют системе уравнений, а именно x = 3, y = - 1 и z = 2.

Итак, значение x + y + z = 3 + (-1) + 2 = 4.

Ответ: D

Дана система линейных уравнений

(я) = х - 3у +

Обсуждение:

Из уравнения (i) x - 3y + z = 8 → x = 3y - z + 8…. (iv)

Подстановка уравнения (iv) в уравнение (ii):
2х + 3у - г = 1
2 (3у - z + 8) + 3у - z = 1
6у - 2z + 16 + 3у - z = 1
9лет - 3z + 16 = 1
3z = 9y + 15
z = 3y + 5…. (v)

Подставьте уравнение (iv) в уравнение (iii):
3x - 2y - 2z = 7
3 (3у - z + 8) - 2у - 2z = 7
9y - 3z + 24 - 2y - 2z = 7
7лет - 5з + 24 = 7
5z = 7y + 24-7
5z = 7y + 17…. (vi)

Подставьте уравнение (v) в уравнение (vi):
5z = 7y + 17
5 (3y + 5) = 7y + 17
15лет + 25 = 7лет + 17
15 лет - 7 лет = -25 + 17
8y = -8 → y = - 1…. (vii)

Подставьте значение y = - 1 в уравнение (vi), чтобы получить значение z.
5z = 7y + 17
5z = 7 (- 1) + 17
5z = - 7 + 17
5z = 10 → z = 2… (viii)

Подставьте значение y = - 1 и z = 2 в уравнение (i), чтобы получить значение x.
х - 3у + г = 8
х - 3 (- 1) + 2 = 8
х + 3 + 2 = 8
х + 5 = 8
х = 8-5 → ​​х = 3

Получены значения трех переменных, которые соответствуют системе уравнений, а именно x = 3, y = - 1 и z = 2.

Итак, значение x + y + z = 3 + (-1) + 2 = 4.

Ответ: D

Система линейных уравнений с тремя переменными: характеристики, компоненты, методы решения и примеры задач

Проблема 3.

Определите набор решений системы линейных уравнений с тремя переменными ниже, используя комбинированный метод.
х + 3у + 2z = 16
2x + 4y - 2z = 12
х + у + 4z = 20

Отвечать:

Метод замещения (SPLTV)

Первый шаг - определить простейшее уравнение. Из трех приведенных выше уравнений видно, что третье уравнение является самым простым уравнением.

Из третьего уравнения сформулируйте переменную z как функцию от y и z следующим образом:

х + у + 4z = 20

x = 20 - y - 4z ………… Ур. (1)

Затем подставьте уравнение (1) выше в первое SPLTV.

х + 3у + 2z = 16

(20 - y - 4z) + 3y + 2z = 16

2y - 2z + 20 = 16

2y - 2z = 16-20

2y - 2z = –4

y - z = –2 …………. Чел. (2)

Затем подставьте уравнение (1) выше во второй SPLTV.

2x + 4y - 2z = 12

2 (20 - y - 4z) + 4y - 2z = 12

40 - 2y - 8z + 4y - 2z = 12

2y - 10z + 40 = 12

2y - 10z = 12-40

2y - 10z = –28 ………… Ур. (3)

Из уравнения (2) и уравнения (3) мы получаем SPLDV y и z следующим образом:
y - z = –2
2y - 10z = –28

Метод исключения (SPLDV)

Чтобы исключить или исключить y, умножьте первое SPLDV на 2, чтобы коэффициент y в двух уравнениях был одинаковым.

Затем мы дифференцируем два уравнения, чтобы получить значение z следующим образом:

y - z = -2 | × 2 | → 2y - 2z = -4

2y - 10z = -28 | × 1 | → 2y - 10z = -28
__________ –
8z = 24
г = 3

Чтобы исключить z, умножьте первое SPLDV на 10, чтобы коэффициент z в обоих уравнениях был одинаковым.

Затем мы вычитаем два уравнения, чтобы получить значение y следующим образом:

y - z = -2 | × 10 | → 10y - 10z = -20

2y - 10z = -28 | × 1 | → 2y - 10z = -28
__________ –
8у = 8
г = 1

До этого момента мы получаем значения y = 1 и z = 3.

Последний шаг - определить значение x. Чтобы определить значение x, введите значения y и z в один из SPLTV. Например x + 3y + 2z = 16, поэтому мы получим:

х + 3у + 2z = 16

х + 3 (1) + 2 (3) = 16

х + 3 + 6 = 16

х + 9 = 16

х = 16 - 9

х = 7

Таким образом, мы получаем значения x = 7, y = 1 и z = 3, так что набор решений SPLTV из указанной выше задачи равен {(7, 1, 3)}.

Это обзор от О Knowledge.co.id оСистема линейных уравнений с тремя переменными, Надеюсь, это поможет вам в понимании и знаниях. Спасибо за посещение и не забывайте читать другие статьи