Момент инерции: определение, концепции, формулы, примеры и таблицы
Момент инерции материала
При обучении физике в средней школе (SMU) и на подготовительном уровне учителя или преподаватели часто жалуются, потому что трудно объяснить момент инерции твердых предметов, таких как стержни, цилиндры, тонкие шары (шары для пинг-понга) и твердые шары, без использования исчисление. Нет литературы, которая полностью выводит все эти моменты инерции.
Учебники вроде физики Хэллидея Резника(1), Физика Р. Serway(2) уменьшить момент инерции некоторых объектов с помощью интегралов, тогда как старшеклассники или Студенты подготовительного уровня плохо знакомы с вычислениями с использованием интегралов и дифференциал. Вальдемар Горжковски(3) когда-либо пониженный формула момента инерции для тонких сфер и полых сфер, но не для треугольников, четырехугольников и шестиугольников.
В этой статье мы выводим формула момента инерции без использования исчисления для объектов, начиная с стержней, треугольников, четырехугольников, шестиугольников, цилиндров, тонких сфер и твердых сфер, результаты которых представлены в таблице 1. Этот документ разделен на 7 глав, в каждой главе обсуждается вывод формулы для каждого из вышеперечисленных объектов.
Тогда как ответить на вопросы ниже:
- Объясните, что подразумевается под моментом инерции?
- Что подразумевается под инерцией?
Взгляните на полное обсуждение материала ниже:
Определение момента инерции:
Первый закон Ньютона гласит «Движущийся объект имеет тенденцию двигаться, а неподвижный объект стремится оставаться в покое». Хорошо, Инерция это тенденция объекта сохранять свое состояние (оставаться неподвижным или двигаться). Инерция также известна как инерция объекта. Поэтому 1-й закон Ньютона также известен как закон инерции или же закон инерции. Например, говорят, что объекты, которые трудно перемещать, обладают большой инерцией. Считается, что Земля, которая всегда находится во вращении, имеет инерцию вращения.
Момент или момент стиля это произведение силы и момента руки. Так момент инерцииявляется мера тенденции или инерции объекта вращаться вокруг своей оси.
На величину момента инерции объекта влияет несколько факторов, таких как:
- масса объекта
- Форма объектов (геометрия)
- Поместите ось вращения
- Расстояние до оси вращения объекта (плечо момента).
Таблица I: моменты инерции различных тел, вращающихся вокруг оси через их центр масс.
|
Момент инерции частицы
Прежде чем обсуждать момент инерции твердого тела, сначала изучил момент инерции частицы. в этом случае не думайте о частице как о очень маленьком объекте. На самом деле для указанных частиц нет установленного предела размера. Таким образом, термин «частица» используется только для облегчения обсуждения движения, когда положение объекта описывается как положение точки. Эту концепцию частиц мы используем при обсуждении движения объектов в разделах кинематики (прямое движение, параболическое движение, круговое движение) и динамики (законы Ньютона). Итак, объекты считаются частицами.
Концепция частиц отличается от концепции твердого тела. Например, при прямом и параболическом движении мы думаем об объектах как о частицах, потому что, когда они движутся, каждая часть объекта имеет одинаковую скорость (то есть линейную скорость). Например, когда автомобиль движется, передняя и задняя части автомобиля имеют одинаковую скорость. Итак, мы можем думать об автомобилях как о частицах или точках.
Когда объект совершает вращательное движение, линейная скорость каждой части объекта различна. Часть объекта, которая находится около оси вращения, движется медленнее (линейная скорость мала), а часть объекта, которая находится на краю, движется быстрее (линейная скорость больше). Итак, мы не можем думать об объекте как о частице, потому что линейная скорость каждой части объекта различается при его вращении. Угловая скорость всех частей объекта одинакова. Это было объяснено в Вращательной кинематике.
Итак, в этом случае мы сначала рассмотрим момент инерции частицы, совершающей вращательное движение. Он призван помочь нам понять концепцию момента инерции. Обсудив момент инерции частицы, мы познакомимся с моментом инерции твердого тела. Жесткие предметы бывают разных форм и размеров. Итак, чтобы помочь нам понять момент инерции объектов, имеющих разные формы и размеры, мы сначала понимаем момент инерции частицы. Однако каждый объект можно рассматривать как состоящий из частиц.
Теперь рассмотрим частицу, совершающую вращательное движение. Можно использовать только картинки
Рисунок Частица, которая требует вращательного движения
Например, частица массы m получает силу F, так что она вращается вокруг оси O. Частица находится на расстоянии r от оси вращения. Первоначально частица находится в состоянии покоя (скорость = 0). После приложения силы F частица движется с определенной линейной скоростью. Сначала частица покоится, затем движется
линейное изменение скорости) после приложения силы. В этом случае объект испытывает тангенциальное ускорение. Тангенциальное ускорение = линейное ускорение частицы при ее вращении.
Мы можем выразить взаимосвязь между силой (F), массой (m) и тангенциальным ускорением (at) с помощью уравнения второго закона Ньютона:
F = мазагар
Поскольку частица находится во вращательном движении, она должна иметь угловое ускорение. Связь между тангенциальным ускорением и угловым ускорением выражается уравнением:
азагар = р.α
Теперь мы подставляем тангенциальную формулу в приведенное выше уравнение:
F = мазагар → азагар = рα
F = Мистерα
Умножьте левую и правую части на r:
РФ = р(Мистерα )
РФ = Мистер 2
Обратите внимание на левую сторону. rF = крутящий момент для силы, направление которой перпендикулярно оси (по сравнению с изображением выше). Это уравнение можно записать как:
τ = (Мистер 2 )α
Мистер2 - момент инерции частицы массы m, которая вращается на расстояние r от оси вращения. Это уравнение также устанавливает взаимосвязь между крутящим моментом, моментом инерции и угловым ускорением частиц, которые совершают вращательное движение. Классный термин, это уравнение второго закона Ньютона для вращающейся частицы.
Таким образом, момент инерции частицы - это произведение массы частицы (m) на квадрат перпендикулярное расстояниеs от оси вращения к частице (r2). Для простоты сравните с изображением выше. Математически момент инерции частицы формулируется следующим образом:
я = Мистер 2
Описание: I = момент инерции
m = масса частицы
r = расстояние частицы от оси вращения
Момент инерции изгиба жесткого тела
В общем случае момент инерции любого твердого тела можно выразить следующим образом:
Мы можем представить твердое тело как состоящее из множества частиц, разбросанных по всему телу. Каждая из этих частиц имеет массу и, конечно же, находится на расстоянии r от оси вращения. таким образом, момент инерции любого объекта - это сумма полных моментов инерции каждой частицы, составляющей объект.
Это просто общее уравнение. Однако, чтобы определить момент инерции твердого тела, нам нужно рассматривать твердое тело при его вращении. Несмотря на то, что форма и размер двух объектов одинаковы, если два объекта вращаются по разным осям, моменты инерции также будут разными.
Таблица моментов инерции твердых тел:
Где в таблице: I = момент инерции
L = длина объекта
M = Масса объекта
Момент инерции твердого тела Benda
Твердые объекты описываются функцией плотности массы (r)
Момент инерции твердого стержня
Предположим стержень массы м и долго л вращается вокруг оси, проходящей через его центр масс (рис. 1). В этом стержне есть две переменные, а именно масса и длина стержня. Если учесть момент инерции этого стержня (ipm) зависит от этих двух переменных, то с помощью анализа размерностей можно получить, что момент инерции стержень пропорционален массе стержня и пропорционален квадрату длины стержня, или математически это может быть написано:
Момент инерции равностороннего сплошного треугольника.
Предположим, что равносторонний сплошной треугольник с длиной стороны а и масса м повернулся против
ось, проходящая через центр масс A.
Момент инерции твердого четырехугольника.
Предположим, что твердый четырехугольник с длиной стороны a и массой m вращается вокруг центра масс A (рис. 4).
Инжир. 4. Четырехугольник вращается вокруг оси, проходящей через центр масс A.
Как и в предыдущем расчете, момент инерции четырехугольника относительно оси, проходящей через его центр масс, мы запишем как (путем анализа размеров):
явечера = cма2 (квадрат) (14)
здесь c - постоянная величина, m - масса четырехугольника, а a - сторона четырехугольника.
Далее необходимо разделить этот четырехугольник на 4 прямоугольных части с длиной стороны G a и массой каждого прямоугольника G m (рис. 5).
Инжир. 5. Четырехугольник, разделенный на 4 равные части.
Используя уравнение (14), можно записать момент инерции каждого участка прямоугольника вокруг оси, проходящей через его собственный центр масс:
Момент инерции шестиугольника
Предположим твердый шестиугольник с длиной стороны а и масса м вращается вокруг центра масс A (рис. 6).
Момент инерции цилиндра
Цилиндрический момент инерции можно рассчитать, вычислив момент инерции прямоугольного объекта. п тогда возьми предел п близко к бесконечности. Или используя следующий метод.
Предположим твердый цилиндр радиуса R. Этот цилиндрический момент инерции (путем анализа размеров) можно записать как
Момент инерции тонкого шара
Идея вывода этой формулы принадлежит Вальдемару Горжковски.(5). Мы считаем количество масс полной массой м, равномерно распределенная по тонкой сфере радиуса р. Предположим, что центр масс мяча находится в координатном центре, и мяч вращается вокруг оси z. Допустим, масса мя находится в координатах (Икся, yя, zя). Из определения момента инерции величина момента
Инерция этой массы относительно оси z равна яя = мя (Икся2 + уя2 ). Если масса mя равномерно распределен по всей поверхности сферы, то момент инерции сферы равен,
| я = ∑ мя ря | 2 | = ∑мя ( Икся2 + уя2 ) | (27) |
Момент инерции твердого шара бола
Предположим, что шар радиуса R. Этот сферический момент инерции (исходя из анализа размеров) можно записать как
| я вечера= cmR2 | (32) |
- Теорема о параллельной оси
Применение момента инерции
Момент инерции у лыжников
Момент инерции - это свойство объекта сохранять свое положение от вращательного движения. Момент инерции - это мера сопротивления / инерции объекта изменениям во вращательном движении. Момент инерции зависит от распределения массы объекта относительно оси вращения объекта. Поскольку крутящий момент, создаваемый льдом, невелик, угловой момент лыжника почти постоянен. Когда он тянет руку внутрь к своему телу, момент инерции его тела относительно вертикальной оси, проходящей через его тело, уменьшается. Поскольку угловой момент L = Iω должен оставаться постоянным, с уменьшением I угловая скорость увеличивается; то есть он вращается с большей скоростью.
Приложение момента инерции к элементам машин
Приложение момента инерции к элементам двигателя, называемым «Маховик» в двигателях внутреннего сгорания (например, дизельные двигатели, 4-тактные двигатели). Эти типы машин в основном преобразуют механическую энергию поступательной системы (на поршне) во вращательную систему, которая передается на колесо транспортного средства. Например, в двигателе 4-Takt этот момент инерции (на элементе маховика) необходим для хранения некоторой его механической энергии для выполнения рабочих этапов двигателя в процессе:
- всасывание,
- сжатие и
- Утилизация.
В то время как этап расширения - это фактический рабочий этап поршня, а именно процесс сгорания. Мы описываем это как шаг впрыска энергии. В этом процессе расширения энергия преобразуется из химической энергии углеводородного материала (BBM) в поступательную механическую энергию на поршне, которая может быть формулируется как дельта (W) = дельта (PV), то с помощью коленчатого вала передается в виде вращения на все части машина. Небольшая часть его энергии хранится в маховике, и большая часть ее используется в качестве привода крутящего момента на Объекте, в соответствии с назначением этой машины в приложении.
Для транспортных средств к осям, если для станков, то да к осям шкивов или шестерен и прочего.
Применение момента инерции в щековой дробилке
Сама щековая дробилка широко используется в горнодобывающей промышленности, металлургии, строительстве, строительстве автомобильных дорог, железных дорог и химической промышленности.
Принцип работы щековой дробилки.
Щековая дробилка работает, полагаясь на мощность двигателя. Через моторное колесо эксцентриковый вал приводится в движение треугольным ремнем и шлицевым колесом, чтобы пластина губок перемещалась в ритме. Следовательно, материал в полости дробления, состоящей из пластины челюсти, подвижной пластины челюсти и боковой панели, может быть раздроблен и выгружен через разгрузочное отверстие.
Формула момента инерции
На рисунке выше изображена точечная частица с массой (м) вращается вокруг своей оси (сб) пальцами р. Произведение масс частиц (м) с квадратом расстояния частицы до оси вращения (радиуса) создаст момент инерции.
Таким образом, величина момента инерции (I) объекта с массой, имеющего точку вращения на известной оси, может быть сформулирована следующим образом:
Я = м. R2
я= момент инерции (кг · м2)
м= масса частицы или объекта (кг)
р= расстояние между частицами или элементами массы объекта вокруг оси вращения (м)
Для твердых объектов с геометрией, которая не является простой / сложной, величина момента инерции рассчитывается как распределение массы объекта, умноженное на расстояние оси вращения. Для размеров в международном стандарте (SI) кг.м2. Подробнее см. На следующем рисунке.
Для объектов, состоящих из нескольких частиц, момент инерции - это сумма всех моментов инерции каждой частицы. Аналогичным образом, если объект имеет сложную форму или состоит из различных форм, тогда Величина момента инерции - это сумма моментов инерции каждой из ее частей, которая формулируется как следующий.
Объекты, которые имеют правильную форму и вращаются вокруг определенной оси, имеют определенную формулу момента инерции, как показано в следующей таблице:
Примеры моментов инерции в повседневной жизни
Вы когда-нибудь ездили на мотоцикле на высокой скорости, а затем внезапно тормозили? Что ж, когда мотоцикл, на котором вы едете, едет быстро, затем внезапно тормозит, тогда мотоцикл имеет тенденцию сохранять свое движение.
Распространяется ли эта тенденция на покоящиеся объекты? Возьмем, к примеру, положите кусок бумаги HVS на стол, а затем положите ластик поверх бумаги HVS. Быстро вытяните бумагу HVS. Что случилось? ластик остается на столе. Это означает, что природа объектов стремится поддерживать свое стационарное состояние.
Примеры задач момента инерции и обсуждение формул.
Пример вопроса 1
Посмотрите картинку ниже!
Вопрос
На рисунке выше четыре частицы соединены стержнем незначительной массы. Частицы имеют разный вес, при этом расстояние между частицами друг от друга составляет R. Определите момент инерции системы частиц, если:
- Система вращается вокруг оси A
- Система вращается вокруг оси B
Обсуждение
Поскольку система состоит из четырех частиц, имеющих разный вес, момент инерции системы является суммой каждой частицы вокруг своей оси.
- Если система вращается вокруг оси A
Известно из вопроса:
m1 = m и R1 = 0
m2 = 2m и R2 = R
m3 = 3m и R3 = 2R
m4 = 4m и R4 = 3R
Итак, получите:
- Если система вращается вокруг оси B
Известно из вопроса:
m1 = m и R1 = 0
m2 = 2m и R2 = R
m3 = 3m и R3 = 2R
m4 = 4m и R4 = 3R
Тогда получите
Пример вопроса 2
На картинке выше изображен твердый объект в форме конуса, прикрепленный к одному концу цилиндра и вращающийся с осью вращения в центре цилиндра. Определите момент инерции объекта, если масса цилиндра равна массе конуса, равной 2 кг, длина цилиндра составляет 0,8 метра, а радиус цилиндра равен 0,1 метра.
Обсуждение
В приведенной выше задаче для упрощения расчета момент инерции каждого геометрического объекта рассчитывается отдельно.
Известно из вопроса
ms = 2 кг и Rs = 0,1 м;
m2 = 2 кг и Rk = 0,1 м;
Таким образом, момент инерции объекта равен
- Заключение
Момент инерции частицы - это произведение массы частицы (м) на квадрат перпендикулярное расстояниеs от оси вращения к частице (r2). Момент инерции любого объекта - это сумма полных моментов инерции каждой частицы, составляющей объект. Это всего лишь общее уравнение, однако, чтобы определить момент инерции твердого тела, нам нужно рассмотреть твердое тело при его вращении. Несмотря на то, что форма и размер двух объектов одинаковы, если два объекта вращаются по разным осям, моменты инерции также будут разными.
Момент инерции твердого объекта описывается функцией плотности массы (r), площадь делится на маленькие элементы, и каждая площадь умножается на квадрат плеча момента.
- Предложение
Предложения для читателей, а именно: читатели могут воспользоваться информацией, содержащейся в этом документе, этот документ также по-прежнему широко доступен. недостатки, чтобы читатели могли добавить все, что может быть включено в этот документ, чтобы недостатки могли быть устранены выполнено.
Это статья о Момент инерции: полное определение, концепции, формулы и примеры надеюсь, что это может быть полезно.
Читайте также
- Полное определение силы в физике
- Определение давления воздуха, формулы, измерительные приборы и примеры задач