Алгебраические производные функции: формулы, приложения, обозначения, умножение деления на две функции и примеры задач

August 30, 2023
ВПолитика ссылок Контакт

Формула производной функции

Помните, если е (х) х ^ п , так:

$f'(x)\frac{df (x)}{dx} \frac{dx^n}{dx} nx^n-1$

Потому что ж (х) (и (х))^nu^n , так:

$f'(x) \frac{df (x)}{dx} \frac{du^n}{dx} \cdot \frac{du}{du}$

Или

$f'(x) \frac{du^n}{du} \cdot \frac{du}{dx} nu^{n-1} \cdot u'$

Итак, формула производной функции:

$f'(x) nu^(n-1) \cdot u'$

Производные формулы тригонометрии

Основываясь на определении производной, мы можем получить несколько формул для производных тригонометрии, а именно: (где u и v каждая функция от x), среди прочего: y' =

y = грех x → y' = потому что x
y = потому что x → y' = -sin x
y = tan x → y' = секунда²Икс
y = детская кроватка x → y' = -csc²Икс
y = сек x → y'
y = csc x → y' = csc × кроватка x
у = грех^нху' = п грех^n-1× потому что х
у = потому что^нx → y' = -n потому что^n-1× грех х
y = грех ты → y' = u' потому что ты
y = потому что ты → y' = u' sin u
y = tan u → y' = ui sec²ты
y = детская кроватка u → y' = -u' csc²ты
y = sec u → y' = u' sec u tan u
y = csc u → y' = u' csc u детская кроватка u
у = грех^нu → y' = n.u' грех^n-1потому что ты
у = потому что^н u → y' = -n.u' потому что^n-1. согрешил ты

Производные приложения

Определяет градиент касательной к кривой

Градиент касательной (m) к кривой y = f (x) формулируется как:

instagram viewer

Уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке касания (х_1, у_1) сформулировано как:

$y - y_1 м (x - x_1) \rightarrow м f'(x_1)$

Определить интервал возрастающей и убывающей функции
- Условие возрастания интервала функции $\rightarrow f'(x) 0$
- Термин для интервала убывающей функции $\rightarrow f'(x) 0$
Определяет стационарное значение функции и ее тип

Если функция y = f(x) непрерывна и дифференцируема при x = a и f'(x) = 0, то функция имеет стационарное значение при x = a. Типом стационарного значения функции y = f(x) может быть минимальное возвращаемое значение, максимальное возвращаемое значение или значение перегиба. Этот тип стационарной величины можно определить с помощью второй производной функции.

- Максимальное значение $\rightarrow f'(x) 0$ И $\rightarrow f$

Если f'(x_1) 0 И , так е'(x_1) — максимальное возвращаемое значение функции y = f(x) и точка (x_1f(х)) — максимальная точка поворота кривой y = f(x).

- Минимальное значение $\rightarrow f'(x) 0$ И

Если f'(x_1) 0 И , так е(х_1) — минимальное возвращаемое значение функции у ж (х) и точка (x_1f(х)) — минимальная точка поворота кривой y = f(x).

- Значение поворота $\rightarrow f'(x) 0$ И

Если f'(x_1) 0 И е''(x_1 0) , так е(х_1) — значение перегиба функции y = f(x) и точки (x_1f(х)) является точкой перегиба кривой y = f(x).

Решите предельные задачи неопределенной формы. $\фрак{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$

Если $\lim \limits_{x\to a}\frac{f (x)}{g (x)}$ представляет собой предел неопределенной формы $\фрак{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$ , то в решении можно использовать производные, а именно f(x) и g(x) выводятся соответственно.

$\lim\limits_{x\to a}\frac{f (x)}{g (x)} \lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \frac{f'(a)}{g'(a)}$

Если первая производная создала определенную форму, то эта конкретная форма является решением. Но если первая производная по-прежнему дает неопределенный вид, то соответственно f(x) и f(x) снова понижаются до тех пор, пока не будет получен результат определенной формы. Этот способ решения называется теоремой Лопиталя.

Определите формулу скорости и ускорения.

Если известна формула или уравнение положения движения объекта как функции времени, а именно s = f(t), то можно определить формулу скорости и скорости, а именно:

- Формула скорости $\rightarrow v s' f'(t)$
- Формула ускорения $\rightarrow a s' f$

Производная запись

Производная функции f(x) по x определяется следующим образом:

Формула производной экспоненциальной функции

при условии, что предел существует.

Мы можем обозначить первую производную функции y = f (x) в точке x следующим образом:

y' = f'x ⇒ лагранж
⇒ Лейбниц
Д_Иксу = Д_Икс[f(x)]⇒ Эйлер

Из приведенного выше определения мы можем вывести несколько производных формул, как показано ниже:

f(x) = k ⇒ f'(x) = 0
f(x) = k x ⇒ f'(x) = k
е(х) = х^н ⇒ f'(x) = nx^n-1
f (x) = k u (x) ⇒ f '(x) = k u'(x)
f (x) = u (x) ± v (x) ⇒ f '(x) = u'(x) ± v'(x)

с k = константа

Рассмотрим некоторые из следующих примеров:

е(х) = 5 ⇒ е'(х) = 0
f(x) = 2x ⇒ f'(x) = 2
е(х) = х² ⇒ f'(x) = 2x^2-1= 2x
у = 2x⁴ ⇒ у' = 2. 4x^4-1= 8х³
у = 2x⁴ + х² − 2x ⇒ y' = 8x³ +2x−2

Чтобы найти производную функции, которая содержит корни или дроби, первым делом нам нужно преобразовать функцию в экспоненциальную форму.

Вот некоторые свойства корней и показателей степени, которые, среди прочего, часто используются:

Икс^м. Икс^н = х^м+н
Икс^м/Икс^н = х^{М Н}
1/х^н = х^-н
√х = х^1/2
^н√xm = х^{М Н}

Пример:

Проблема 1.

Найдите производную f (x) = x√x

Отвечать:

f(x) = x√x = x. Икс^1/2= х^3/2

е(х) = х^3/2 →

Проблема 2.

Определить производную

Отвечать:

Алгебраические производные функции: формулы, приложения, обозначения, умножение деления на две функции и примеры задач

Производные умножения и деления двух функций

Предположим, y = uv, тогда производную y можно выразить как:

y' = u'v + uv'

Предположим, y = u/v, тогда производную y можно выразить как:

Пример проблем.

Проблема 1.

Производная f (x) = (2x + 3)(x² + 2) а именно:

Отвечать:

Например:

и = 2x + 3 ⇒ и' = 2
v = х² + 2 ⇒ v' = 2x

f'(x) = u' v + u v'
f'(x) = 2(x² + 2) + (2x + 3) 2x
f'(x) = 2x² +4 +4x² +6x
f'(x) = 6x² +6x +4

Правило цепочки

Если y = f(u), где u — функция, которую можно вывести по x, то производную y по x можно выразить в виде: дйдИкс=дйдты×дтыдИкс

Согласно приведенной выше концепции цепного правила, тогда для y = u^н, будет получено: дйдИкс=д(тын)дты×дтыдИкс

й′=нтын−1.ты′

В целом можно сказать следующее:

Если f(x) = [u(x)]^н где u(x) — функция, которую можно вывести по x, тогда: ж′(Икс)=н[ты(Икс)]н−1.ты′(Икс)

Согласно приведенной выше концепции цепного правила, тогда для y = u^н, получите:

В целом можно сказать следующее:

Если f(x) = [u(x)]^н где u(x) — функция, которую можно вывести по x, тогда:

f'(x) = n[u (x)]^n-1. и'(х)

Пример проблем.Проблема 1.

Найдите производную f(x) = (2x + 1)⁴

Отвечать:

Например:

и(х) = 2х + 1 ⇒ и'(х) = 2
п = 4
f'(x) = n[u(x)]^n-1. и'(х)
е'(х) = 4(2х + 1)^4-1. 2
е'(х) = 8(2х + 1)³

Проблема 2.

Найдите производную y = (x²− 3x)⁷

Отвечать :

у' = 7(х²− 3x)^7-1. (2x - 3)
у' = (14x - 21). (Икс²− 3x)⁶

Примеры вопросов и обсуждение

Проблема 1

Первая производная от $f (x) 4 \sqrt{2x^3 - 1}$ является

Обсуждение 1:

Эта задача представляет собой функцию вида y = ау^н которое можно решить по формуле $y' n \cdot a \cdot u^{n-1} \cdot u'$ . Так:

$f (x) 4 \sqrt{2x^3-1} 4(2x^3-1)^{\frac{1}{2}}$

Итак, производная:

$f'(x) \frac{1}{2} \cdot 4(2x^3-1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 6x^2$

$2(2x^3-1) \cdot 6x^2$

$12x^2(2x^3-1)^{-\frac{1}{2}}$

$\frac{12x^2}{(2x^3-1)^{\frac{1}{2}}}$

$\frac{12^2}{\sqrt{2x^3-1}}$

Проблема 2

Найдите первую производную

$f (x) \frac{6}{\sqrt[3]{\sin (3x-\frac{\pi}{5})}}$

Обсуждение 2:

Для решения этой задачи воспользуемся смешанной формулой, а именно $f'(x) \frac{u'v-uv'}{v^2}$ а также $y' n \cdot u' \sin^{n-1}u \cdot \cos u$ . Так что:

$f (x) \frac{6}{\sqrt[3]{sin (3x-\frac{\pi}{5})}}$

$f (x) \frac{6}{(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{1}{2}}}$

$f'(x) \frac{0 - 6 \cdot 3 \cdot \frac{1}{3}(\sin (3x - \frac{\pi}{5}))^{- \frac{2}{ 3}} \cdot \cos (3x - \frac{\pi}{5})}{(\sin (3x - \frac{\pi}{5}))^\frac{2}{3}}$

$f'(x) \frac{-6(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{-\frac{2}{3}}.cos (3x-\frac{\pi}{ 5})}{(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{2}{3}}}. \frac{(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{1}{3}}}{(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{ -\frac{1}{3}}}$

$f'(x) \frac{-6(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{-1} cos (3x-\frac{\pi}{5})}{\sqrt[ 3]{sin (3x-\frac{\pi}{5}})}$

$f'(x) \frac{-6cot (3x-\frac{\pi}{5})}{\sqrt[3]{sin (3x-\frac{\frac{\pi}{5})}}$

Проблема 3

Определить максимальное значение е (х) х^3 - 6х^2 + 9х на интервале -1 ≤ x ≤ 3.

Обсуждение 3:

Помните, что максимальное значение функции f(x) равно f'(x) 0 И так:

$f_{макс}$ Если

И х_1 1 И х_2 3

$f_{max} f (1) 1^3 - 6,1^2 + 9,1$

$f_{макс} 4$

Проблема 4.

Производная f (x) = (x – 1)²(2x+3) - это...

Отвечать:

Например:

ты = (х - 1)² ⇒ и' = 2x - 2
v = 2x + 3 ⇒ v' = 2

f'(x) = u'v + uv'
f '(x) = (2x - 2)(2x + 3) + (x - 1)². 2
f'(x) = 4x² + 2x − 6 + 2(x² − 2x + 1)
f'(x) = 4x² + 2x − 6 + 2x² − 4x + 2
f'(x) = 6x² − 2x − 4
f '(x) = (x − 1)(6x + 4) или
f '(x) = (2x − 2)(3x + 2)

Проблема 5.

Если f(x) = x² – (1/x) + 1, то f'(x) =... .

А х – х²
Б. х + х²
С. 2х – х^-2 + 1
Д. 2х – х² – 1
Э. 2х + х^-2

Отвечать:

е(х) = х² – (1/х) + 1

= х² - Икс^-1 + 1

f'(x) = 2x -(-1)x^-1-1

= 2х + х^-2

Ответ: Э

Таким образом, обзор от О знании.co.id о Производная алгебраических функций, надеюсь, это пополнит ваше понимание и знания. Спасибо за посещение и не забудьте прочитать другие статьи

Алгебраические производные функции: формулы, приложения, обозначения, умножение деления на две функции и примеры задач

Формула производной функции

Производные формулы тригонометрии

Производные приложения

Определяет градиент касательной к кривой

Определить интервал возрастающей и убывающей функции

Определяет стационарное значение функции и ее тип

Решите предельные задачи неопределенной формы. или

Определите формулу скорости и ускорения.

Производная запись

Производные умножения и деления двух функций

Правило цепочки

Примеры вопросов и обсуждение

Решите предельные задачи неопределенной формы. $\фрак{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$