√ Определение производных, типов, формул и примеров задач

August 15, 2023
ВПолитика ссылок Контакт

Обсуждение производных необходимо изучить. Используя изученную вами концепцию пределов, вы легко усвоите следующий производный материал.

Определение производной

Производная — это расчет изменения значений функции за счет изменения входных значений (переменных).

Производную также можно назвать дифференциальной, а процесс определения производной функции — дифференцированием.

Используя изученное предельное понятие, производная может быть определена как

производная определяется как предел среднего изменения значения функции по переменной x.

Далее будет объяснен пример реализации наследования.

Производное приложение

Вот некоторые производные реализации.

Производную можно применять для вычисления градиента касательной к кривой.
Производную можно использовать для определения интервала, на котором функция увеличивается или уменьшается.
Производные могут применяться для определения стационарного значения функции.
Производные могут применяться при решении задач, связанных с уравнением движения.
Производные можно использовать для решения задач на максимум-минимум.

instagram viewer

Далее поясняется формула производной.

Производные формулы

Вот несколько основных формул для определения производной.

f(x) = c, где c — константа

Производная этой функции равна f'(x) = 0.

е (х) = х

Производная этой функции равна f'(x) = 1.

е (х) = топор^н

Производная этой функции есть f'(x) = anx^n–1

Добавление функции: h(x) = f(x) + g(x)

Производная этой функции равна h'(x) = f'(x) + g'(x).

Функция вычитания: h (x) = f (x) – g (x)

Производная этой функции равна h'(x) = f'(x) - g'(x)

Постоянное умножение на функцию (kf)(x).

Производная этой функции равна k. f'(х).

Далее мы объясним производную функцию.

Вывод функции

Предположим, что существует функция f(x) = ax^н. Производная этой функции есть f'(x) = anx^n–1.

Примеры:

е (х) = 3х³

производная функции, т.е.

f'(х) = 3 (3) х^{3 – 1} = 9х².

Другой пример, например, g (x) = -5y^-3.

Производная этой функции есть g'(y) = -5 (-3) y^{-3 – 1} = 15 лет^-4.

Следующее объяснит производную алгебраических функций.

Производная алгебраических функций

Обсуждение производных алгебраических функций в этом разделе включает производные в форме умножения и производные в распределении алгебраических функций.

Производная алгебраической функции в форме умножения выглядит следующим образом.

Предположим, есть умножение функций: h(x) = u(x). v(х).

Производная этой функции равна h'(x) = u'(x). v(х) + и(х). v'(х).

Информация:

h(x): функция в форме умножения.
h'(x): производная функции формы умножения
u(x), v(x): функции с переменной x
u'(x), v'(x): производная функций с переменной x

Производная алгебраической функции в форме деления:

Предположим, есть функция умножения: h (x) = u (x)/v (x). Производная этой функции есть

ч'(х) = (и'(х). v(x) – и(х). v'(x))/v²(Икс).

Информация:

h(x): функция в форме умножения.
h'(x): производная функции формы умножения
u(x), v(x): функции с переменной x
u'(x), v'(x): производная функций с переменной x

Следующее объяснит о корневых производных.

Производные корня

Предположим, что существует корневая функция следующего вида

Чтобы определить производную этой функции, мы сначала заменим ее показательной функцией. Экспоненциальная форма функции: f (x) = x^а/б.

Производная этой функции равна f'(x) = a/b. Икс^{(а/б) – 1}.

Что, если функция выглядит так?

Чтобы определить производную приведенной выше функции, ее сначала нужно преобразовать в экспоненциальную форму.

е (х) = г (х)^з/б

Производная этой функции равна f'(x) = a/b. г(х)^{(а/б) – 1}. г'(х).

Далее будет объяснено о частных производных.

Частная производная

Что такое частная производная? Частная производная — это производная функции многих переменных по одной переменной при сохранении остальных переменных.

Пусть есть функция: f (x, y) = 2xy, частная производная функции по переменной x равна f_Икс’(х, у) = 2у.

Частная производная переменной y равна f_у’(х, у) = -6ху.

Следующее объяснит о неявных производных.

Неявная производная

Неявная производная определяется на основе переменных, содержащихся в функции.

Функция с переменной x, ее производная: x d/dx.

Функция с переменной y, ее производная: y d/dy. dy/dx.

Функция с переменными x и y, производная: xy d/dx + xy d/dy. dy/dx.

Другой пример: есть функция g (x, y) = -3xy²

Чтобы лучше понять производные, попробуйте ответить на следующие вопросы, а затем проверьте свои ответы, используя обсуждение в разделе ниже.

Примеры производных вопросов

1. Найдите производную следующей функции.

е (х) = 8
г (х) = 3х + 5
ч (х) = 6х³
к (х) = 3х^5/3
м(х) = (3х² + 3)⁴

Обсуждение

f'(х) = 0
г'(х) = 3
h'(х) = 6 (3) х^{3 – 1}= 18х²
к'(х) = 3 (5/3) х^{(5/3) – 1} = 5х^2/3
т'(х) = 4. (3x² + 3)^{4 – 1}. 6х = 24х. (3x² + 3)³
2. Найдите производную следующей функции.
f (х) = (3х + 2). (2x² – 1)

Обсуждение

Например: и (х) = 3х + 2 и v (х) = 2х² – 1

f'(х) = и'(х). v(х) + и(х). v'(х)

f'(х) = 3. (2x² – 1) + (3х + 2). (4x)

f'(х) = 6х² – 3 + 12х² + 8х = 18х² +8x – 3

3. Учитывая функцию порядка 2, как показано ниже

Определить значение f (0) + 3f'(1)

Обсуждение

Чтобы решить эту проблему, мы можем ввести значение 0 в функцию.

После вас получите значение f(0). Мы можем работать с производной функции частного, используя любое из производных свойств.

Чтобы использовать формулу, мы можем использовать пример и его производные, как показано ниже.

U = х2 + 3; U' = 2x

V = 2x + 1; V' = 2

Затем мы можем ввести этот пример в предыдущую формулу производной, и мы можем напрямую ввести f'x (1).

Итак, результат f (0) + 3f'(1) = 3 + 3(0) = 3

4. Найдите производную f (x) = (x² + 2х + 3)(3х + 2)

Обсуждение

Как и в предыдущей задаче, для работы над производной задачей в форме умножения мы можем использовать формулу для производного свойства и использовать пример в функции, как показано ниже.

F'(x) = u'v + uv'

U = х² +2x +3; U' = 2x + 3

V = 3x + 2; V' = 3

F'(x) = u'v + uv'

F'(x) = (2x+3)(3x + 2) + (x² + 2x + 3)(3)

F'(х) = 6х²+13x +6 +3x²+6x+9

F'(х) = 9х² +19x +15

Таким образом, окончательная форма F'(x) равна 9x.² +19x +15

5. Если есть f (x) = (2x-1)²(х+2). Каково значение f'x (2)
Обсуждение
Чтобы решить эту проблему, мы можем использовать свойство производной функции f'(x) = u'v + v'u, чтобы получить окончательный результат. Так что мы можем сделать разделение снова.

F'(x) = u'v + uv'

U= (2x-1)² = 4x²– 4х+1; U' = 8x - 4

V = х + 2; V' = 1

F'(x) = u'v + uv'

F'(x) = (8x – 4)(x + 2) + (4x²– 4х+1)(1); мы можем ввести значение 2 как в задаче

F'(2) = ((8(2) – 4)(2 + 2)) + ((4(2)²– 4(2) + 1)(1))

F'(2) = ((16-4)(4)) + ((16-8+1)(1))

F'(2) = 96 + 9 = 105

Так что конечное значение F'(2) равно 105

6. Найдите касательную к кривой y= -2x² + 6x + 7, которая перпендикулярна прямой x – 2y +13 = 0

Обсуждение

В задаче утверждается, что есть 2 прямые, которые перпендикулярны друг другу, поэтому мы можем предположить, что эти две линии имеют определенный наклон. Мы можем определить значение m₁ И м₂ с обеих линий.

м₁наклон линии y= -2x² +6х+7. Чтобы найти значение m₁, можно получить, выведя функцию y= -2x² +6х+7.

м₁= у'(х) = -4х + 6

м₂наклон x – 2y +13. Чтобы найти значение m₂, мы должны изменить функцию на функцию y.

х – 2у +13 = 0

х + 13 = 2у

у = 0,5х + 6,5

м₂= у'(х) = 0,5

Поскольку две линии перпендикулярны друг другу, значение m₁х м₂= -1.

м₁х м₂= -1

(-4x + 6)0,5 = -1

-2x + 3 = -1

-2x = -4

Х = 2

Подставляем его в уравнение m₁так что значение m получается₁ = -2. Найдя значение x, мы вводим это значение в функцию y, чтобы получить значение y = 11.

Для построения касательной используется формула (y-y₁) = м₁(х – х₁).

(у – 11) = -2 (х – 2)

Y – 11 = -2x +4

Y = -2x + 15

Тангенс y+2x-15 = 0

7. Имеется коробка без крышки с квадратным основанием площадью 512 см.². Какова длина ребра, чтобы объем имел максимальное значение
Обсуждение
В этом вопросе поясняется, что у коробки нет крышки. Таким образом, коробка состоит из 4 сторон и 1 основания. Предположим, что сторона основания равна s, а высота стороны равна t. Мы можем написать уравнение ящика, как показано ниже.

512 = площадь основания + 4 стороны коробки

512 = с.с + 4.с.т
512 = с² + 4-й
512 – с² = 4-й

Получив t, мы можем найти объем ящика

V = с³ = с². т

Чтобы получить максимальный объем, мы можем вывести уравнение объема выше

V'(с) = 0

С² = 170,67 см²

S = 13,07 см

Таким образом, длина s, необходимая для максимального объема, равна 13,07 см.

Производная — это расчет изменения значений функции за счет изменения входных значений (переменных).

Существует несколько видов производных, а именно алгебраические производные, корневые производные, частные производные, неявные производные и другие.

Это разговор о наследовании. Надеюсь, это поможет вам в изучении деривативов. Спасибо.

Список содержимого