Logaritmi: Proprietăți, ecuații logaritmice, termeni, dealuri, probleme

Logaritm este o operație matematică în care această operație este operația inversului (sau inversului) exponentului sau puterii. Baza sau principalul din această formulă logaritmică este în general sub forma literei a.

Sau există, de asemenea, o mențiune dacă acest logaritm este invers sau invers al puterii (exponentului) utilizat în determina exponentul unui numar de baza.

În engleză, se numește logaritmul logaritm.

Deci, în esență, prin studierea logaritmilor, putem găsi puterea unui număr cu un exponent cunoscut.

Logaritm

După ce știi ce este un logaritm, atunci ești obligat să cunoști și forma generală a acestui logaritm.

Iată forma generală a logaritmului:

Forma generală a logaritmului:

În cazul în care unⁿ = x atunci ^Alogx = n

Informație:

a: este baza, care are următoarele condiții: a> 0 și a 1.

x: este numărul căutat de algoritm (numerus), condițiile sunt: ​​x> 1

n: este puterea logaritmului.

Acum este momentul să vă uitați la exemplul de întrebări de mai jos, astfel încât să puteți înțelege mai bine descrierea de mai sus:

1. Când 3² = 9, apoi în formă logaritmică se va schimba în ³jurnal 9 = 2
2. Când 2³ = 8, apoi în formă logaritmică se va schimba în ²jurnal 8 = 3
3. Când 5³ = 125, apoi în formă logaritmică se va schimba în ⁵jurnal 125 = 3

Ce mai faci? Acum încep să înțeleg dreapta?

Bine, obișnuit Aici, veți experimenta adesea confuzie în a determina care număr este baza și care număr este numerus.

Logaritm este o operație matematică în care este inversul exponentului sau puterii.

Formula de bază a logaritmului: b^c = a este scris ca ^blog a = c (b se numește logaritm de bază).

Nu-i așa?

Calmați-vă băieți, cheia pe care trebuie doar să o amintiți este dacă numărul de bază Este baza, situat în partea de sus, înainte de semnul „jurnal”. Și numărrezultatul rangului se numește ca numerus, situat în partea de jos după cuvântul „jurnal”. Uşor dreapta?

Ecuații logaritmice

Ecuația logaritmicăA este o ecuație în care variabila este baza logaritmului.

Acest logaritm poate fi definit și ca o operație matematică care este inversa (sau inversa) exponentului sau a unei puteri.

Exemplu Număr 

Aici vom oferi câteva exemple de numere logaritmice, inclusiv următoarele:

Apoi, logaritmii au și unele proprietăți care Necesar pentru ca tu sa intelegi, Aici. De ce obligatoriu?

Acest lucru se datorează faptului că aceste caracteristici vor deveni ulterior furnizarea dvs. de a lucra cu ușurință asupra problemelor logaritmice.

Fără a înțelege proprietățile logaritmilor, nu veți putea lucra la probleme de logaritm, tu stii!

Apoi, orice iadul Care sunt proprietățile logaritmului? Haide, rețineți recenziile de mai jos.

Proprietăți logaritmice

Următoarele sunt câteva dintre proprietățile logaritmilor pe care trebuie să le înțelegeți, inclusiv:

În plus față de unele dintre proprietățile de mai sus, există și câteva proprietăți ale ecuațiilor logaritmice, inclusiv:

Proprietățile ecuațiilor logaritmice

Ecuația logaritmică are și câteva proprietăți speciale, aceste proprietăți sunt după cum urmează:

1. Proprietăți logaritmice ale multiplicării 

Proprietatea logaritmică a înmulțirii este rezultatul adăugării a altor două logaritmi în care valoarea celor două cifre este un factor al valorii numerice inițiale.

^Abusteni p. q = ^Ajurnal p + ^Ajurnal q

Există mai multe condiții pentru această trăsătură, și anume: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

2. Înmulțirea logaritmică

Înmulțirea logaritmilor este o proprietate a logaritmului a care poate fi înmulțită cu logaritmul b dacă valoarea numerică a logaritmului a este egală cu numărul de bază al logaritmului b.

Rezultatul multiplicării este un nou logaritm cu numărul de bază egal cu logaritmul a. Și are aceeași valoare numerică ca logaritmul b.

^Alog b x ^blogc = ^Ajurnal c

Există mai multe condiții pentru această trăsătură, și anume: a> 0, a \ ne 1.

3. Natura diviziunii 

Proprietatea logaritmică a divizării este rezultatul scăderii altor două logaritmi în care valoarea celor două cifre este o fracțiune sau diviziune a valorii numerice inițiale a logaritmului.

^Ajurnal p / q: ^Ajurnal p - ^Ajurnal q

Există mai multe condiții pentru această trăsătură, și anume: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

4. Trăsături invers comparabile

Proprietatea logaritm invers proporțională este o proprietate cu alte logaritmi care au numărul de bază și numerusul interschimbabile.

^Alogb = 1 /^blog a

Există mai multe condiții pentru această trăsătură, și anume: a> 0, a \ ne 1.

5. Semn opus 

Proprietatea logaritmică de semn opus este o proprietate cu un logaritm al cărui numerus este o fracție inversă a valorii numerice inițiale a logaritmului.

^Ajurnal p / q = - ^Ajurnal p / q

Există mai multe condiții pentru această trăsătură, și anume: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

6. Natura Puterilor 

Proprietatea logaritmică a puterilor este o proprietate a cărei valoare numerică este un exponent. Și poate fi folosit ca un nou logaritm prin eliberarea puterii unui multiplicator.

^Ajurnal b^p = p. ^Ajurnal b

Există mai multe condiții pentru această trăsătură, și anume: a> 0, a \ ne 1, b> 0

7. Puterea numerelor principale logaritmice 

Puterea unei puteri logaritmice a unui număr de bază este o proprietate în care valoarea numărului de bază este a exponent (putere) care poate fi folosit ca un nou logaritm prin eliminarea puterii unui număr despărțitor.

A^plogb = 1 / p^Ajurnal b

Există mai multe condiții pentru această trăsătură, și anume: a> 0, a \ ne 1.

8. Numere principale logaritmice comparabile cu puterile numerice 

Proprietatea unui număr de bază proporțională cu puterea numerusului este o proprietate a cărei valoare numerică este a exponentul (puterea) valorii numărului de bază care are aceeași valoare de rezultat ca și valoarea puterii numerusului acea.

^Alog a^p = p

Există mai multe condiții pentru această trăsătură, și anume: a> 0 și a \ ne 1.

9. Rang 

Puterea logaritmilor este una dintre proprietățile numerelor ale căror puteri sunt sub formă de logaritmi. Rezultatul valorii puterii este valoarea în care numerusul provine din logaritm.

A ^Alog m = m

Există mai multe condiții pentru această trăsătură, și anume: a> 0, a \ ne 1, m> 0.

10. Schimbarea bazei logaritmice 

Natura schimbării bazei acestui logaritm poate fi, de asemenea, împărțită într-o comparație a două logaritmi.

^pjurnal q = ^Ajurnal p /^A jurnal q

Există mai multe condiții pentru această trăsătură, și anume: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0

Formula ecuației logaritmice

Pe baza descrierii de mai sus, logaritmul este o operație matematică care este inversul exponentului sau puterii.

Un exemplu al logaritmului formei exponențiale dintre lian: a^b = c dacă este exprimat în notație logaritmică va fi ^Alogc = b.

Afirmația este după cum urmează:

• a este baza sau numărul de bază.
• b este rezultatul sau domeniul logaritmului.
• c este numerusul sau domeniul logaritmului.

Cu note:

Este necesar să înțelegeți, înainte de a discuta mai departe despre formula logaritmului, dacă există scris ^Alog b înseamnă același lucru cu log_A b.

Formula pentru ecuația logaritmică, printre altele, este:

Formula ecuației logaritmice:

Daca avem ^Alogf (x) = ^Ajurnal g (x), apoi f (x) = g (x).
Cu unele condiții precum: a> 0, a 1, f (x)> 0, g (x)> 0.

Inegalități logaritmice:

Dacă avem log f (x)> ^Alog g (x) atunci avem două stări, și anume:

În primul rând, când a> 0 înseamnă: f (x)> g (x)
În al doilea rând, la momentul 0

Exemple de întrebări și discuții

În cele ce urmează, vom oferi câteva exemple de întrebări, precum și discuțiile acestora. Ascultă cu atenție, da.

Exemple de întrebări 1-3

1. ²busteni 4 + ²jurnal 8 =

2. ²jurnal 32 =

3. Când se știe ²log 8 = m și ²log 7 = n, apoi găsiți valoarea lui ¹⁶busteni 14!

Răspuns:

Problema 1.

Primul pas pe care trebuie să-l facem este să verificăm baza.

Cele două ecuații ale logaritmului de mai sus, aparent, au aceeași valoare de bază, care este 2.

Prin urmare, putem folosi a doua proprietate a logaritmului pentru a găsi rezultatul.

astfel încât, ²busteni 4 + ²jurnal 8 = ²log (4 × 8) = ²busteni 32 = 5. Tine minte! Scopul logaritmului este de a găsi puterea.

Deci, ce 2 la puterea lui 32? Răspunsul este nimeni altul decât 5. Ușor, nu-i așa?

Intrebarea 2.

Să trecem la întrebarea numărul 2.

În întrebarea numărul 2, nu o putem face imediat, pentru că veți experimenta cu siguranță confuzie în găsirea valorii puterii lui 8 care rezultă în 32 Atunci cum?

Dacă privim problema mai atent, 8 este rezultatul puterii lui 2³ și, de asemenea, 32, care este rezultatul puterii lui 2⁵.

Prin urmare, putem schimba forma logaritmică în:

⁸jurnal 32 = ²³jurnal 2

= 5/3 ²jurnal 2 (utilizați proprietatea numărul 6)

= 5/3(1) = 5/3

Problema 3.

Ce mai faceti baieti? Ai început să te entuziasmezi deja?

Bine, în discuția de la întrebarea numărul 3 acest lucru te va face și mai entuziasmat!

Trebuie să știți că modelul de la întrebarea numărul 3 va fi adesea găsit în întrebările de examinare națională sau în întrebările de selecție a universității tu stii.

La prima vedere pare destul de complicat, da, dar dacă înțelegeți deja conceptul, această problemă va fi foarte ușor de făcut.

Dacă găsiți un model de problemă ca acesta, puteți găsi valoarea acestuia utilizând proprietatea logaritmică a numărului 4.

Deci, procesul va fi:

²log 8 = m și ²jurnal 7 = n, ¹⁶busteni 14?

¹⁶jurnal 14 = ²jurnal 14 / ²jurnal 16

Notă:

Pentru a alege baza, putem privi direct numărul care apare cel mai des în problemă. Deci știm că numărul 2 apare de 2 ori, de 8 ori de 1 dată și de 7 de 1 dată.

Numărul care apare cel mai mult nu este altul decât 2, deci alegem 2 ca bază. Am înțeles?

= ²busteni (7 x 2) / ²busteni (8 x 2)

Atunci noi descrie numerusul.

Să încercăm să-l schimbăm în forma care se află deja în problemă. Ce vrei sa spui?

Aici baieti, pe întrebarea cunoscută ²jurnal 8 și, de asemenea ²bușteni 7. Deoarece numerele sunt atât 8, cât și 7, împărțim 14 în 7 × 2 și 16 în 8 × 2, astfel încât să putem cunoaște rezultatul final.

= ²jurnal 7 + ²jurnal 2 / ²jurnal 8 + ²jurnal 2 (utilizați numărul de proprietate 2)

= n + 1 / m + 1

Un alt exemplu de întrebare.

Problema 1. (EBTANAS '98)

Este cunoscut ³log 5 = x și ³jurnal 7 = y. Calculați valoarea lui ³bușteni 245 ^1/2! (EBTANAS '98)

Răspuns:

³bușteni 245 ^½ = ³busteni (5 x 49) ^½

³bușteni 245 ^½ = ³busteni ((5) ^½ x (49) ^½)

³bușteni 245 ^½ = ³busteni (5) ^½ + ³busteni (7²) ^½

³bușteni 245 ^½ = ½( ³jurnal 5 + ³busteni 7)

³bușteni 245 ^½ = (x + y)

Deci, valoarea ³bușteni 245 ^½ adică (x + y).

Intrebarea 2. (UMPTN '97)

Dacă b = a⁴, valorile lui a și b sunt pozitive, apoi valoarea lui ^Ajurnal b - ^blog a ie ???

Răspuns:

Se știe dacă b = a⁴, atunci îl putem înlocui în calcul pentru a fi:

^Ajurnal b - ^bloga = ^Alog a⁴ - A⁴ log a

^Ajurnal b - ^bloga = 4 (^Aloga) - 1/4 ( ^Abusteni a)

^Ajurnal b - ^bloga = 4 - 1/4

^Ajurnal b - ^bloga = 3^3/4

Deci, valoarea ^Ajurnal b - ^blog a în întrebarea numărul 2 este 3^3/4.

Problema 3. (UMPTN '97)

Dacă ^Abusteni (1- ³log 1/27) = 2, apoi calculați valoarea lui a.

Răspuns:

Dacă transformăm valoarea 2 într-un logaritm în care devine numărul de bază al logaritmului ^Alog a²= 2, atunci obținem:

^Abusteni (1- ³log 1/27) = 2

^Abusteni (1- ³busteni 1/27) = ^Alog a²

Valoarea numerică a celor două logaritmi poate fi o ecuație și anume:

1- ³log 1/27 = a²

³busteni 3 - ³log 1/27 = a²

³busteni 3 - ³jurnal 3^(-3) = a²

³busteni 3/3^-3 = a²

³jurnal 3⁴ = a²

4 = a²

Deci, obținem valoarea a = 2.

Problema 4.

Dacă se știe că 2log 8 = a și 2log 4 = b. Apoi calculați valoarea 6log 14

A. 1 /2
b. (1+2) / (2+1)
c. (a + 1) / (b + 2)
d. (1 + a) / (1 + b)

Răspuns:

Pentru 2 log 8 = a

= (log 8 / log 2) = a
= jurnal 8 = un jurnal 2

Pentru 2 log 4 = b

= (log 4 / log 2) = b
= log 4 = b log 2

Deci, 16 log 8 = (log 16) / (log68)
= (jurnal 2.8) / (jurnal 2.4)
= (log 2 + log 8) / (log 2 + log 4)
= (log 2 + a log a) / (log 2 + b log b)
= log2 (1+ a) / log 2 (1+ b)
= (1 + a) / (1 + b)

Deci, valoarea 6 log 14 din exemplul de problemă de mai sus este (1 + a) / (1 + b). (D)

Întrebarea 5.

Valoarea (3log 5 - 3 log 15 + 3log 9) este?

A. 2
b. 1
c. 4
d. 5

Răspuns:

(3log 5 - 3log 15 + 3log 9
= 3logs (5. 9) / 15
= 3log 45/15
= 3log 3
=1

Deci, valoarea 3log 5 - 3log 15 + 3log 9 este 1. (B)

Întrebarea 6.

Calculați valoarea din problema logaritmului de mai jos:

1. (2log 4) + (2log 8)
2. (2log 2√2) + (2log 4√2)

Răspuns:

1. (2log 4 + 2log 8) = (2log 4) x 8 = 2log 3 la puterea de 2 = 5

2. (2log 2√2 + 2log 4√2) = (2log 2√2) x (4√2) = 2log 16 = 4

Deci, valoarea fiecărei probleme de logaritm de mai sus este 5 și 4.

Întrebarea 7.

Calculați valoarea din problema logaritmului de mai jos:

1. 2log 5 x 5log 64
2. 2 jurnale 25 x 5 jurnale 3 x 3 jurnale 32

Răspuns:

1. (2log 5) x (5log 64) = 2log 64 = 2log 26 = 6

2. (2log 25) x (5log 3) x (3log 32) = (2log 52) x (5log 3) x (3log 25)
= 2. (2log 5) x (5log 3) x 5. (3logs 2)
= 2 x 5 x (2log 5) x (5log 3) x (3log 2)
= 10 x (2log 2) = 10 x 1 = 10

Deci, valoarea întrebării de mai sus este 6 și 10.

Întrebarea 8.

Calculați valoarea log 25 + log 5 + log 80 este ...

Răspuns:

jurnal 25 + jurnal 5 + jurnal 80
= jurnal (25 x 5 x 80)
= busteni 10000
= jurnal 104
= 4

Problema 9.

Se știe că log 3 = 0,332 și log 2 = 0,225. Apoi jurnalul 18 al întrebării este ...

A. 0,889
b. 0,556
c. 0,677
d. 0,876

Răspuns:

Cunoscut:

• Jurnal 3 = 0,332
• Jurnal 2 = 0,225

Întrebat:

• jurnal 18 = ???

Răspuns:

Jurnale 18 = jurnale 9. jurnal 2
Jurnal 18 = (jurnal 3.log 3). jurnal 2
Jurnale 18 = 2. (0,332) + (0,225)
Jurnal 18 = 0,664 + 0,225
Jurnal 18 = 0,889

Deci, valoarea jurnalului 18 din întrebarea de mai sus este 0,889. (A)

Întrebarea 10.

Convertiți următorii exponenți în formă logaritmică:

1.  24 = 16
2.  58 = 675
3.  27 = 48

Răspuns:

* Transformați exponenții în formă logaritmică după cum urmează:

Dacă valoarea ba = c, atunci valoarea blogului c = a.

1.  24 = 16 → 2log 16 = 4
2.  58 = 675 → 5log 675 = 8
3.  27 = 48 → 2log 48 = 7

Astfel o scurtă revizuire de această dată pe care o putem transmite. Sperăm că recenzia de mai sus poate fi utilizată ca material de studiu.