Linhas e ângulos: Materiais da Classe 7, Problemas e Discussão

Linhas e ângulos são um dos materiais de matemática que aprenderemos na 7ª série do ensino médio. Bem, desta vez aprenderemos várias coisas relacionadas a linhas e ângulos.

A partir da relação entre duas linhas, os tipos de ângulos, as propriedades dos ângulos e também as unidades usadas para os ângulos.

Leia com mais atenção os seguintes comentários.

Linha

Uma linha é um arranjo de pontos (pode ser infinito) que estão próximos um do outro e alinhados longitudinalmente em duas direções (direita / esquerda, cima / baixo).

Posição de duas linhas

Linha paralela

Duas Linhas Paralelas isto é, se a linha está em um plano e nunca se encontrará ou se cruzará se a linha for estendida ao infinito.

O símbolo para linhas paralelas é (//)

Duas linhas são consideradas paralelas se as duas linhas estiverem no mesmo plano ou suas extensões nunca se cruzarão.

Quanto a algumas propriedades das linhas paralelas, entre outras:

• Passando um ponto fora da linha, pode-se fazer exatamente uma outra linha que seja paralela à linha.
• Se houver uma linha que cruze uma das duas linhas paralelas, a linha cruzará a segunda linha.
• Se uma linha for paralela a outra linha, as duas linhas também serão paralelas entre si

Linhas de Cruzamento

Duas linhas serão chamadas de intersecção se as duas linhas tiverem um ponto de intersecção ou comumente chamado de ponto comum.

sobreposição de linha

Diz-se que duas linhas coincidem se tiverem pelo menos dois pontos de intersecção.

Por exemplo: o ponteiro das horas quando mostra 12 horas. Então, os dois ponteiros do relógio coincidirão.

Passando dos limites

Pode-se dizer que duas linhas se cruzam se as duas linhas não forem paralelas e não estiverem no mesmo plano.

Para entender as várias posições das linhas acima, observe a imagem abaixo:

Canto

Um ângulo é algo formado pelo encontro de dois raios ou duas linhas retas.

Este ângulo é uma área formada por um raio que é girado na base do raio. Os ângulos são indicados com o símbolo “∠”.

Definição de Ângulo

Em matemática, um ângulo pode ser definido como uma área formada pela presença de dois raios cujos pontos de partida são aliados ou coincidem.

Canto Em geometria, é uma medida da rotação de um segmento de linha de um ponto inicial a outro.

Além disso, em uma forma bidimensional regular, um ângulo também pode ser definido como o espaço entre dois segmentos de linha reta que se cruzam. -sc: wikipedia

Partes em ângulo

Os ângulos têm três partes importantes, incluindo:

Perna angular

Esta é a linha de raios que forma o ângulo.

Ponto de Canto

É o ponto de partida ou ponto de intersecção onde a linha dos raios coincide.

Área do Canto

A área ou espaço entre as duas pernas de um canto.

Para mais detalhes, veja a seguinte imagem:

Tipos de Ângulos

Para expressar o tamanho de um ângulo, usamos graus (°), minutos (‘) e também segundos (“), onde:

Posição Duas Linhas

Aqui estão as posições das duas linhas, entre outras:

• Duas ou mais linhas são consideradas paralelas se estiverem no mesmo plano e nunca se encontrará ou se cruzará se a linha for estendida ao infinito finito.
• Diz-se que duas linhas se cruzam se estiverem no mesmo plano e tiverem um ponto de intersecção.
• Diz-se que duas linhas coincidem uma com a outra se a linha for uma linha reta, de modo que apenas uma linha reta seja visível.
• Diz-se que duas linhas se cruzam se não estiverem no mesmo plano e não se cruzarão se forem estendidas.

Relação entre Ângulos

Ângulo Quadrado

Se houver dois ângulos que coincidem e formam um ângulo reto, então um ângulo será um ângulo complementar para os outros ângulos, de modo que os dois ângulos sejam chamados de ângulos complementares (complemento).

Aqui está uma imagem do ângulo inclinado:

A soma de dois ângulos complementares é 90 °. Um ângulo é o complemento do outro ângulo.

Ângulo reto

Se houver dois ângulos que coincidem entre si e formam um ângulo reto, então um ângulo será um ângulo complementar para o outro ângulo. Portanto, os dois ângulos podem ser chamados de ângulos complementares.

Aqui está uma imagem dos ângulos retos:

A soma de dois ângulos complementares é 180 °. Um ângulo é o complemento do outro ângulo.

Relação entre ângulos quando duas linhas são paralelas

Cortado por outra linha

Dê uma boa olhada na imagem abaixo:

Ângulo Oposto (mesmo tamanho)

É um ângulo que tem a mesma posição e a mesma magnitude. Na imagem acima, os ângulos opostos são:

A = E
B = F
C = G
D = H

Ângulos internos opostos (mesma medida)

É um ângulo que fica do lado de dentro e sua posição é oposta. Na imagem acima, os ângulos internos opostos são:

C = E
D = F

Ângulos externos opostos (mesmo tamanho)

É um ângulo que fica do lado de fora e se opõe, por exemplo:

A = G
B = H

Ângulos opostos e opostos

• Se duas linhas paralelas são cortadas por outra linha, quatro pares de ângulos opostos são formados, os quais são iguais em magnitude.
• Se duas linhas são cortadas por outra linha, as dimensões dos ângulos externos opostos formados são as mesmas.
• Se duas linhas paralelas são cortadas por outra linha, os ângulos internos opostos formados são do mesmo tamanho.
• Se duas linhas paralelas são cortadas por outra linha, a soma dos ângulos internos é 180 °.

Ângulo Interno

É um ângulo que fica do lado de dentro e sua posição fica do mesmo lado. Quando somados, os ângulos que estão do mesmo lado formarão um ângulo de 180 °. Como um exemplo:

D + E = 180 °
C + F = 180 °

Canto Externo Unilateral

É um ângulo que fica do lado de fora e sua posição fica do mesmo lado. Quando somados, os ângulos que estão do mesmo lado formarão um ângulo de 180 °. Como um exemplo:

B + G = 180 °
A + H = 180 °

Ângulos opostos (mesmo tamanho)

É um ângulo cujas posições são opostas entre si, na imagem acima, os ângulos opostos são:

A = C
B = D
E = G
F = H

Um par de ângulos opostos ocorre quando duas linhas se cruzam de modo que duas Os ângulos opostos ao ponto de intersecção são chamados de ângulos opostos.
Dois ângulos opostos são iguais.

Unidade Angular

Em graus, um valor de 1 grau representa um ângulo que é girado em 1/360 de volta. O que significa 1 ° = 1/360 de revolução.

Para especificar um ângulo menor do que graus (°), podemos usar os símbolos de minuto (‘) e segundo (”).

Preste muita atenção à relação de graus, minutos e segundos abaixo:

1 grau (1 °) = 60 minutos (60 ′)

1 minuto (1 ′) = 1/60 °

1 minuto (1 ′) = 60 segundos (60 ”)

1 grau (1 °) = 3600 segundos (3600 ”)

1 segundo (1 ”) = 1/3600 °

A medida de um ângulo em radianos

1 ° = p / 180 radianos

ou

1 radiano = 180 ° / p

Se valor p = 3,14159 tão:

1 ° = p / 180 radianos = 3,14159 / 180 = 0,017453

ou

1 radiano = 180 ° / p = 180 ° / 3,14159 = 57,296 °

Exemplos de perguntas e discussão

Aqui, daremos algumas perguntas relacionadas a linhas e ângulos, incluindo:

Problema 1.

Três linhas cada k, l e m no arranjo conforme mostrado abaixo.

A linha k é paralela à linha le a linha m cruza as linhas k e l.

Então, determine:

a) ângulos opostos
b) ângulos opostos
c) ângulos opostos em
d) ângulos externamente opostos
e) ângulos internos de um lado
f) ângulos externos unilaterais
g) ângulos retos

Responder:

a) ângulos opostos são:

A1 com B1
A4 com B4
A2 com B2
B3 com B3

b) ângulos opostos são:

A1 com A3
A2 com A4
B1 com B3
B2 com B4

c) ângulos opostos internos (internos opostos), a saber:

A3 com B1
A4 com B2

d) ângulos opostos externos são:

A2 com B4
A1 com B3

e) os ângulos internos são:

A3 com B2
A4 com B1

f) ângulos externos unilaterais, a saber:

A2 com B3
A1 com B4

g) ângulos retos são:

A1 com A2
A1 com A4
A2 com A3
A3 com A4
B1 com B2
B1 com B4
B2 com B3
B3 com B4

Questão 2.

Dados três linhas, a saber, k, l e me também os ângulos que estão no ambiente. k e l são paralelos enquanto a linha m intercepta a linha k e l.

Se P = 125 °, então determine os outros sete ângulos ao redor dele!

Responder:

R = P = 125 ° (porque R é oposto a P)
T = P = 125 ° (porque T corresponde a P)
V = R = 125 ° (Porque V é oposto a R) ∠Q = 180 ° P = 180 ° - 125 ° = 55 ° (Porque Q é P endireitador)
S = Q = 55 ° (porque S é oposto a Q)
U = Q = 55 ° (porque U está em relação a Q)
W = U = 55 ° (porque W é oposto a U)

Problema 3.

Observe a figura abaixo, se EF é paralelo a DG e o triângulo ABC é um triângulo isósceles com uma medida de ângulo C de 40 °.

Em seguida, especifique:

a) O tamanho do ângulo DBE
b) A medida do ângulo BEF
c) Ângulo CAG

Responder:

a) O tamanho do ângulo DBE

A primeira etapa é encontrar a medida do ângulo ABC primeiro. ABC é um triângulo isósceles de modo que o tamanho de ABC = BAC. Três ângulos em um triângulo se somarmos é 180 ° então, ABC = (180 40): 2 = 70 ° então BAC também é 70 ° ∠DBE = ABC = 70 ° porque eles são opostos voltar.

b) A medida do ângulo BEF

BEF = ABC = 70 ° porque são opostos ou BEF = DBE = 70 ° porque são opostos.

c) Ângulo CAG

CAG = 180 BAC = 180 70 = 110 °, porque CAG e BAC são linhas retas.

Problema 4. (Pacote 54 da ONU 2012/2013)

Olhe para a foto abaixo!

O tamanho do endireitador angular SQR é ...

1. 101°
2. 100°
3. 95°
4. 92°

Responder:

Atenção ** esta pergunta é uma das pegadinhas, muitos pensam se a pergunta perguntar SQR, embora o que foi pedido fosse PQS.

Para responder a essa pergunta, a primeira coisa que você deve procurar é o valor de x.

Nesse caso ∠PQS e ∠SQR é um ângulo complementar, então:

∠PQS + ∠SQR = 180 °(5x) ° + (4x + 9) ° = 180 °9x ° + 9 = 180 °9x ° = 171 °x ° = 19 °

Alisador ∠SQR = PQSAlisador ∠SQR = (5x) °Alisador ∠SQR = (5.19)°Alisador ∠SQR = 95° (Resposta C)

Questão 5. (UN 2009/2010 pacote 10)

Veja a seguinte imagem:

A medida do ângulo número 1 é 95 ° e a medida do ângulo número 2 é 110 °. A medida do ângulo número 3 é ...

1. 5°
2. 15°
3. 25°
4. 35°

Responder:

∠1 = ∠5 = 95 ° (ângulos internos opostos)2 + 6 = 180 ° (alinhados entre si)110° + ∠6 = 180°∠6 = 70°∠5 + ∠6 + ∠3 = 180°95° + 70° + ∠3 = 180°165° + ∠3 = 180°∠3 = 15° (Resposta B)

Questão 6. (Pacote 15 da ONU 2010/2011)

Veja a imagem abaixo:

Grande ∠BCA é….

1. 70°
2. 100°
3. 110°
4. 154°

Responder:

ABC + CBD = 180 ° (direto)ABC + 112 ° = 180 °ABC = 68 °BCA + ABC + BAC = 180 °BCA + 68 ° + 42 ° = 180 °BCA + 110 = 180 °BCA = 70 ° (Resposta A)

Questão 7. (Pacote 15 da ONU 2010/2011)

Veja a imagem abaixo:

Grande ∠P3 é….

1. 37°
2. 74°
3. 106°
4. 148°

Responder:

P2 = 74° (ângulos externos opostos)P2 + P3 = 180 ° (direto)74 ° + P3 = 180 °P3 = 106 ° (Resposta C)

Questão 8. (Pacote 1 da ONU 2012/2013)

Veja a imagem abaixo:

A medida do endireitador de ângulo KLN é ...

1. 31°
2. 72°
3. 85°
4. 155°

Responder:

Para responder a essa pergunta, a primeira etapa que você precisa encontrar é o valor de x.

Nesse assunto ∠KLN e ∠MLN é um ângulo complementar, então:

∠KLN + ∠MLN = 180 °(3x + 15) ° + (2x + 10) ° = 180 °5x ° + 25 ° = 180 °5x ° = 155 °x ° = 31 °

Alisador ∠KLN = MLNAlisador ∠KLN = (2x + 10) °Alisador ∠KLN = (2.31 + 10)°Alisador ∠KLN = 72° (Resposta B)

Problema 9. (Pacote 2 da ONU 2012/2013)

Veja a imagem abaixo:

Grande pescador ∠SQR é….

1. 9°
2. 32°
3. 48°
4. 58°

Responder:

Atenção ** esta pergunta também é uma questão de armadilha, tantas pessoas pensam que esta pergunta é uma pergunta SQR, embora o que foi pedido fosse PQS.

Para responder a essa pergunta, a primeira etapa que você precisa encontrar é o valor de x.

Nesse assunto ∠SQR e ∠PQS é um ângulo reto, então:

∠SQR + ∠PQS = 90 °(3x + 5) ° + (6x + 4) ° = 90 °9x ° + 9 ° = 90 °9x ° = 81 °x ° = 9 °

Ângulo ∠SQR = PQSÂngulo ∠SQR = (6x + 4) °Ângulo ∠SQR = (6.9 + 4)°Ângulo ∠SQR = 58° (Resposta D)

Questão 10. (Pacote 5 da ONU 2012/2013)

Veja a imagem abaixo:

Ótimo alisador ∠AOC é….

1. 32°
2. 72°
3. 96°
4. 108°

Responder:

Para responder à pergunta número 10, a primeira etapa que você precisa encontrar é o valor de x.

Nesse assunto ∠AOC e ∠BOC é um ângulo complementar, então:

∠AOC + ∠BOC = 180 °(8x - 20) ° + (4x + 8) ° = 180 °12x ° - 12 ° = 180 °12x ° = 192 °x ° = 16 °

Alisador ∠AOC = BOCAlisador ∠AOC = (4x + 8) °Alisador ∠AOC = (4.16 + 8)°Alisador ∠AOC = 72° (Resposta B)

Esta é a breve revisão desta vez sobre linhas e ângulos que podemos transmitir. Esperançosamente, a revisão acima de Linhas e Ângulos pode ser usada como seu material de estudo.