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Sistema de três equações lineares variáveis: características, componentes, métodos de resolução e problemas de exemplo

Sistema de três equações lineares variáveis: características, componentes, métodos de resolução e problemas de exemplo –  O que significa um sistema de três equações variáveis? Nesta oportunidade Sobre o conhecimento.co.id irá discuti-lo e, claro, também as coisas que o cercam. Vamos ver a discussão juntos no artigo abaixo para entender melhor.

Sistema de três equações lineares variáveis: características, componentes, métodos de resolução e problemas de exemplo

O sistema de equações de três variáveis ​​ou comumente abreviado como SPLTV é uma coleção de equações lineares que possuem três variáveis. Uma equação linear é caracterizada pelo maior exponencial das variáveis ​​na equação sendo um. Além disso, o sinal que conecta as equações é um sinal de igual.

Na arquitetura, existem cálculos matemáticos para a construção de edifícios, um dos quais é um sistema de equações lineares. Um sistema de equações lineares é útil para determinar as coordenadas dos pontos de interseção. Coordenadas precisas são essenciais para produzir um edifício que se encaixe no esboço. Neste artigo, discutiremos um sistema de três equações lineares variáveis ​​(SPLTV).

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Sistema de Três Equações Lineares Variáveis ​​- é uma forma estendida de um sistema de duas equações lineares variáveis ​​(SPLDV). Que, em um sistema de equações lineares de três variáveis ​​composto por três equações, cada equação tem três variáveis ​​(por exemplo, x, y e z).

O sistema de equações lineares de três variáveis ​​consiste em várias equações lineares com três variáveis. A forma geral da equação linear de três variáveis ​​é a seguinte.

ax + por + cz = d

a, b, c e d são números reais, mas a, b e c não podem ser todos 0. Esta equação tem muitas soluções. Uma solução pode ser obtida comparando valores arbitrários para duas variáveis ​​para determinar o valor da terceira variável.

Características de um Sistema de Três Equações Lineares Variáveis

Uma equação é chamada de sistema de equações lineares de três variáveis ​​se tiver as seguintes características:

  • Usando uma relação de sinal de igual (=)
  • Tem três variáveis
  • As três variáveis ​​têm grau um (posto um)

Três Componentes do Sistema de Equações Lineares Variáveis

Contém três componentes ou elementos que estão sempre relacionados a um sistema de três variáveis ​​de equações lineares.

Os três componentes são: termos, variáveis, coeficientes e constantes. A seguir está uma explicação de cada um dos componentes do SPLTV.

  • Grupo étnico

Termo é uma parte de uma forma algébrica que consiste em variáveis, coeficientes e constantes. Cada termo é separado pela adição ou subtração de sinais de pontuação.

Exemplo:

6x – y + 4z + 7 = 0, então os termos da equação são 6x, -y, 4z e 7.

  • Variável

Variáveis ​​são variáveis ​​ou substitutos para um número que geralmente são indicados pelo uso de letras como x, y e z.

Exemplo:

Yulisa tem 2 maçãs, 5 mangas e 6 laranjas. Se escrevermos na forma de uma equação então:

Por exemplo: maçãs = x, mangas = y e laranjas = z, então a equação é 2x + 5y + 6z.

  • Coeficiente

O coeficiente é um número que expressa o número de variáveis ​​do mesmo tipo.

O coeficiente também é conhecido como o número na frente da variável, porque a escrita de uma equação para o coeficiente está na frente da variável.

Exemplo:

Gilang tem 2 maçãs, 5 mangas e 6 laranjas. Se escrevermos na forma de uma equação então:

Por exemplo: maçãs = x, mangas = y e laranjas = z, então a equação é 2x + 5y + 6z.

A partir desta equação, pode-se ver que 2, 5 e 6 são coeficientes onde 2 é o coeficiente x, 5 é o coeficiente y e 6 é o coeficiente z.

  • Constante

Uma constante é um número que não é seguido por uma variável, portanto terá um valor fixo ou constante independente do valor da variável ou variáveis.

Exemplo:

2x + 5y + 6z + 7 = 0, desta equação a constante é 7. Isso ocorre porque 7 tem um valor fixo e não é afetado por nenhuma variável.

Método de resolução de um sistema de três equações lineares variáveis

Um valor (x, y, z) é um conjunto de soluções para um sistema de equações lineares de três variáveis ​​se o valor (x, y, z) satisfizer as três equações em SPLTV. O conjunto de soluções SPLTV pode ser determinado de duas maneiras, a saber, o método de substituição e o método de eliminação.

  • Método de Substituição

O método de substituição é um método de resolver um sistema de equações lineares substituindo o valor de uma das variáveis ​​de uma equação para outra. Este método é realizado até que todos os valores variáveis ​​sejam obtidos em um sistema de equações lineares de três variáveis.

O método de substituição é mais fácil de usar no SPLTV, que contém uma equação com um coeficiente de 0 ou 1. A seguir estão as etapas para resolver com o método de substituição.

  1. Encontre uma equação que tenha uma forma simples. As equações com formas simples têm coeficientes de 1 ou 0.
  2. Expresse uma das variáveis ​​na forma de duas outras variáveis. Por exemplo, a variável x é expressa em termos da variável y ou z.
  3. Substitua os valores das variáveis ​​obtidos na segunda etapa nas demais equações do SPLTV, de modo que seja obtido um sistema de equações lineares de duas variáveis ​​(SPLDV).
  4. Determine a solução SPLDV obtida na etapa três.
  5. Determine os valores de todas as variáveis ​​desconhecidas.

Vamos tentar fazer o seguinte problema de exemplo. Determine o conjunto de soluções para o sistema de equações lineares de três variáveis ​​abaixo.

x + y + z = -6 … (1)

x – 2y + z = 3 … (2)

-2x + y + z = 9 … (3)

Primeiro, podemos mudar a equação (1) para, z = -x – y – 6 para a equação (4). Então, podemos substituir a equação (4) na equação (2) como segue.

x – 2y + z = 3

x – 2y + (-x – y – 6) = 3

x – 2y – x – y – 6 = 3

-3a = 9

y = -3

Depois disso, podemos substituir a equação (4) na equação (3) como segue.

-2x + y + (-x – y – 6) = 9

-2x + y – x – y – 6 = 9

-3x = 15

x = -5

Temos os valores x = -5 e y = -3. Podemos colocá-lo na equação (4) para obter o valor de z como segue.

z = -x – y – 6

z = -(-5) – (-3) – 6

z = 5 + 3 – 6

z = 2

Então, obtemos o conjunto de soluções (x, y, z) = (-5, -3, 2)

  • Método de Eliminação

O método de eliminação é um método de resolver um sistema de equações lineares eliminando uma das variáveis ​​em duas equações. Este método é realizado até que reste apenas uma variável.

O método de eliminação pode ser usado para todos os sistemas de três variáveis ​​de equações lineares. Mas esse método requer etapas longas porque cada etapa pode eliminar apenas uma variável. Um mínimo de 3 vezes o método de eliminação é necessário para determinar o conjunto de soluções SPLTV. Este método é mais fácil quando combinado com o método de substituição.

As etapas para resolver usando o método de eliminação são as seguintes.

  1. Observe as três equações no SPLTV. Se houver duas equações que tenham o mesmo valor de coeficiente na mesma variável, subtraia ou some as duas equações para que a variável tenha um coeficiente de 0.
  2. Se nenhuma variável tiver o mesmo coeficiente, multiplique ambas as equações pelo número que torna o coeficiente de uma variável igual em ambas as equações. Subtraia ou some as duas equações para que a variável tenha um coeficiente de 0.
  3. Repita o passo 2 para o outro par de equações. As variáveis ​​omitidas nesta etapa devem ser as mesmas variáveis ​​omitidas na etapa 2.
  4. Depois de obter duas novas equações na etapa anterior, determine o conjunto de soluções para as duas equações usando o método de solução de sistema de equações lineares de duas variáveis ​​(SPLDV).
  5. Substitua os valores das duas variáveis ​​obtidos no passo 4 em uma das equações SPLTV para obter o valor da terceira variável.

Tentaremos usar o método de eliminação nas perguntas a seguir. Determine o conjunto de soluções SPLTV!

2x + 3y – z = 20 … (1)

3x + 2y + z = 20 … (2)

X + 4y + 2z = 15 … (3)

SPLTV pode ser determinado o conjunto de soluções eliminando a variável z. Primeiro, some as equações (1) e (2) para obter:

2x + 3y – z = 20

3x + 2y + z = 20 +

5x + 5a = 40

x + y = 8 … (4)

Em seguida, multiplique 2 na equação (2) e multiplique 1 na equação (1) para obter:

3x + 2y + z = 20 |x2 6x + 4y + 2z = 40

x + 4y + 2z = 15 |x1 x + 4y + 2z = 15 –

5x = 25

x = 5

Depois de saber o valor de x, substitua-o na equação (4) como segue.

x + y = 8

5 + a = 8

y = 3

Substitua os valores de x e y na equação (2) da seguinte maneira.

3x + 2y + z = 20

3(5) + 2(3) + z = 20

15 + 6 + z = 20

z = -1

Assim, o conjunto de soluções para SPLTV (x, y, z) é (5, 3, -1).

  • Métodos combinados ou mistos

Resolver sistemas de equações lineares usando métodos combinados ou mistos é uma maneira de resolver combinando dois métodos ao mesmo tempo.

O método em questão é o método de eliminação e o método de substituição.

Este método pode ser usado usando o método de substituição primeiro ou por eliminação primeiro.

E desta vez, vamos tentar um método combinado ou misto com 2 técnicas, nomeadamente:

Elimine primeiro e depois use o método de substituição.
Substituindo primeiro e depois usando o método de eliminação.

O processo é quase o mesmo que resolver o SPLTV usando o método de eliminação e o método de substituição.

Para que você entenda mais sobre como resolver o SPLTV usando essa combinação ou mix, damos alguns exemplos de questões e sua discussão.

Exemplo de problemas

Problema 1.

Determine o conjunto de soluções SPLTV abaixo usando o método de substituição:
x – 2y + z = 6
3x + y – 2z = 4
7x – 6y – z = 10

Responder:

O primeiro passo é determinar a equação mais simples.

Das três equações, a primeira equação é a mais simples. A partir da primeira equação, expresse as variáveis ​​x como uma função de y e z como segue:

⇒ x – 2y + z = 6

⇒ x = 2y – z + 6

Substitua a variável ou variáveis ​​x na segunda equação

⇒ 3x + y – 2z = 4

⇒ 3(2y – z + 6) + y – 2z = 4

⇒ 6a – 3z + 18 + a – 2z = 4

⇒ 7a – 5z + 18 = 4

⇒ 7a – 5z = 4 – 18

⇒ 7y – 5z = –14 …………… Eq. (1)

Substitua a variável x na terceira equação

⇒ 7x – 6y – z = 10

⇒ 7(2y – z + 6) – 6y – z = 10

⇒ 14a – 7z + 42 – 6a – z = 10

⇒ 8a – 8z + 42 = 10

⇒ 8y – 8z = 10 – 42

⇒ 8y – 8z = –32

⇒ y – z = –4 ……………… Eq. (2)

As equações (1) e (2) formam SPLDV y e z:
7a – 5z = –14
y – z = –4

Em seguida, resolva o SPLDV acima usando o método de substituição. Escolha uma das equações mais simples. Neste caso, a segunda equação é a equação mais simples.

Da segunda equação, obtemos:

⇒ y – z = –4

⇒ y = z – 4

Substitua a variável y na primeira equação

⇒ 7a – 5z = –14

⇒ 7(z – 4) – 5z = –14

⇒ 7z – 28 – 5z = –14

⇒ 2z = –14 + 28

⇒ 2z = 14

⇒ z = 14/2
⇒ z = 7

Substitua o valor z = 7 em um dos SPLDV, por exemplo y – z = –4 para obtermos:

⇒ y – z = –4

⇒ y – 7 = –4

⇒ y = –4 + 7

⇒ y = 3

Então, substitua os valores y = 3 e z = 7 para um dos SPLTV, por exemplo x – 2y + z = 6 assim teremos:

⇒ x – 2y + z = 6

⇒ x – 2(3) + 7 = 6

⇒ x – 6 + 7 = 6

⇒ x + 1 = 6

⇒ x = 6 – 1

⇒ x = 5

Assim, obtemos x = 5, y = 3 e z = 7. Assim, o conjunto de soluções para o problema SPLTV é {(5, 3, 7)}.
Para garantir que os valores x, y e z obtidos estejam corretos, podemos descobrir substituindo os valores x, y e z nos três SPLTV acima. Entre outros:

Equação I:

⇒ x – 2y + z = 6

⇒ 5 – 2(3) + 7 = 6

⇒ 5 – 6 + 7 = 6

⇒ 6 = 6 (verdadeiro)

Equação II:

⇒ 3x + y – 2z = 4

⇒ 3(5) + 3 – 2(7) = 4

⇒ 15 + 3 – 14 = 4

⇒ 4 = 4 (verdadeiro)

Equação III:

⇒ 7x – 6y – z = 10

⇒ 7(5) – 6(3) – 7 = 10

⇒ 35 – 18 – 7 = 10

⇒ 10 = 10 (verdadeiro)
A partir dos dados acima, pode-se verificar que os valores de x, y e z que obtemos estão corretos e cumprem o sistema de equações lineares das três variáveis ​​em questão.

Problema 2.

Dado um sistema de equações lineares:

(i) x -3y +z =8

(ii) 2x =3y-z =1

(iii) 3x -2y -2z =7

O valor x+y+z é

A. -1

B. 2

C. 3

D. 4

Discussão:

Da equação (i) x – 3y + z = 8 → x = 3y – z + 8 …. (4)

Substitua a equação (iv) na equação (ii):
2x + 3y – z = 1
2(3y – z + 8) + 3y – z = 1
6a – 2z + 16 + 3a – z = 1
9a – 3z + 16 = 1
3z = 9 anos + 15
z = 3y + 5 …. (v)

Substitua a equação (iv) na equação (iii):
3x – 2a – 2z = 7
3(3y – z + 8) – 2y – 2z = 7
9a – 3z + 24 – 2a – 2z = 7
7a – 5z + 24 = 7
5z = 7 anos + 24 – 7
5z = 7 anos + 17…. (vi)

Substitua a equação (v) na equação (vi):
5z = 7 anos + 17
5(3a + 5) = 7a + 17
15 anos + 25 = 7 anos + 17
15 anos - 7 anos = -25 + 17
8a = -8 → y = –1 …. (vii)

Substitua o valor de y = – 1 na equação (vi) para obter o valor de z.
5z = 7 anos + 17
5z = 7( – 1) + 17
5z = – 7 + 17
5z = 10 → z = 2 … (viii)

Substitua o valor y = – 1 e z = 2 na equação (i) para obter o valor x.
x – 3y + z = 8
x – 3(- 1) + 2 = 8
x + 3 + 2 = 8
x + 5 = 8
x = 8 – 5 → x = 3

Obtêm-se os valores das três variáveis ​​que satisfazem o sistema de equações, nomeadamente x = 3, y = – 1 e z = 2.

Portanto, o valor de x + y + z = 3 + (-1) + 2 = 4.

Resposta: D

Dado um sistema de equações lineares

(i) = x – 3y +

Discussão:

Da equação (i) x – 3y + z = 8 → x = 3y – z + 8 …. (4)

Substitua a equação (iv) na equação (ii):
2x + 3y – z = 1
2(3y – z + 8) + 3y – z = 1
6a – 2z + 16 + 3a – z = 1
9a – 3z + 16 = 1
3z = 9 anos + 15
z = 3y + 5 …. (v)

Substitua a equação (iv) na equação (iii):
3x – 2a – 2z = 7
3(3y – z + 8) – 2y – 2z = 7
9a – 3z + 24 – 2a – 2z = 7
7a – 5z + 24 = 7
5z = 7 anos + 24 – 7
5z = 7 anos + 17…. (vi)

Substitua a equação (v) na equação (vi):
5z = 7 anos + 17
5(3a + 5) = 7a + 17
15 anos + 25 = 7 anos + 17
15 anos - 7 anos = -25 + 17
8y = -8 → y = – 1 …. (vii)

Substitua o valor de y = – 1 na equação (vi) para obter o valor de z.
5z = 7 anos + 17
5z = 7( – 1) + 17
5z = – 7 + 17
5z = 10 → z = 2 … (viii)

Substitua o valor y = – 1 e z = 2 na equação (i) para obter o valor x.
x – 3y + z = 8
x – 3(- 1) + 2 = 8
x + 3 + 2 = 8
x + 5 = 8
x = 8 – 5 → x = 3

Obtêm-se os valores das três variáveis ​​que satisfazem o sistema de equações, nomeadamente x = 3, y = – 1 e z = 2.

Portanto, o valor de x + y + z = 3 + (-1) + 2 = 4.

Resposta: D

Sistema de três equações lineares variáveis: características, componentes, métodos de resolução e problemas de exemplo

Problema 3.

Determine o conjunto de soluções do sistema de equações lineares de três variáveis ​​abaixo usando o método combinado.
x + 3y + 2z = 16
2x + 4y – 2z = 12
x + y + 4z = 20

Responder:

Método de Substituição (SPLTV)

O primeiro passo determina a equação mais simples. Das três equações acima, podemos ver que a terceira equação é a mais simples.

A partir da terceira equação, expresse a variável z como uma função de y e z da seguinte forma:

⇒ x + y + 4z = 20

⇒ x = 20 – y – 4z ………… Eq. (1)

Em seguida, substitua a equação (1) acima no primeiro SPLTV.

⇒ x + 3y + 2z = 16

⇒ (20 – a – 4z) + 3a + 2z = 16

⇒ 2a – 2z + 20 = 16

⇒ 2a – 2z = 16 – 20

⇒ 2y – 2z = –4

⇒ y – z = –2 …………. Pers. (2)

Em seguida, substitua a equação (1) acima no segundo SPLTV.

⇒ 2x + 4y – 2z = 12

⇒ 2(20 – y – 4z) + 4y – 2z = 12

⇒ 40 – 2a – 8z + 4a – 2z = 12

⇒ 2a – 10z + 40 = 12

⇒ 2a – 10z = 12 – 40

⇒ 2y – 10z = –28 ………… Eq. (3)

Da equação (2) e da equação (3), obtemos o SPLDV y e z da seguinte forma:
y – z = –2
2a – 10z = –28

Método de Eliminação (SPLDV)

Para eliminar ou eliminar y, multiplique o primeiro SPLDV por 2 para que os coeficientes y das duas equações sejam iguais.

Em seguida, diferenciamos as duas equações para obter valores z como o seguinte:

y – z = -2 |×2| → 2y – 2z = -4

2y – 10z = -28 |×1| → 2y – 10z = -28
__________ –
8z = 24
z = 3

Para eliminar z, multiplique o primeiro SPLDV por 10 para que os coeficientes z em ambas as equações sejam iguais.

Em seguida, subtraímos as duas equações para obter o valor de y da seguinte forma:

y – z = -2 |×10| → 10y – 10z = -20

2y – 10z = -28 |×1| → 2y – 10z = -28
__________ –
8 anos = 8
z = 1

Até este ponto, obtemos os valores y = 1 e z = 3.

O passo final é determinar o valor de x. A maneira de determinar o valor x é inserindo os valores y e z em um dos SPLTV. Por exemplo x + 3y + 2z = 16 então teremos:

⇒ x + 3y + 2z = 16

⇒ x + 3(1) + 2(3) = 16

⇒ x + 3 + 6 = 16

⇒ x + 9 = 16

⇒ x = 16 – 9

⇒x = 7

Dessa forma, obtemos os valores x = 7, y = 1 e z = 3 de modo que o conjunto de soluções SPLTV para o problema acima seja {(7, 1, 3)}.

Assim, a revisão de Sobre o conhecimento.co.id sobreSistema de Três Equações Lineares Variáveis, espero que possa adicionar à sua visão e conhecimento. Obrigado pela visita e não se esqueça de ler outros artigos

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