Jedna zmienna nierówność liniowa

Jedna zmienna nierówność liniowa- Jedna zmienna nierówność liniowa to zdanie otwarte, które ma tylko jedną zmienną i ma pierwszy stopień oraz zawiera zależność ( > lub < ).

Na przykład spójrz na niektóre zdania, takie jak to poniżej:

1. X > 9
2. 3x – 3 < 8
3. 3b > b + 6
4. 5n – 3 < 3n + 2

Niektóre z powyższych zdań otwartych zawierają myślniki, takie jak , > lub <. Co wskazuje, że zdanie to nierówność.

Każda z tych nierówności ma tylko jedną zmienną, a mianowicie x, a i n. Ta nierówność nazywana jest nierównością jednej zmiennej. Zmienną (zmienną) powyższej nierówności do potęgi jedynki lub też określaną jako stopień jeden nazywamy nierównością liniową.

Jedna zmienna nierówność liniowa jest zdaniem otwartym, które ma tylko jedną zmienną i stopień jeden i istnieje relacja ( lub £ ).

Ogólną postać PtLSV w zmiennej można wyrazić następująco:

ax + b < 0, ax + b > 0 lub ax + b > 0 lub topór + b < 0, z < 0, a i b to liczby rzeczywiste.

Poniżej znajduje się kilka przykładów PtLSV wykorzystujących zmienną x, w tym:

1. 3x – 2 < 0
2. 3x – 2 < 0
3. 5x – 1 > 8
4. 3x + 1 > 2x – 4
5. 10 < 2(x + 1)

Własności jednej zmiennej liniowej nierówności

Podobnie jak w przypadku równania liniowego z jedną zmienną, rozwiązanie nierówności liniowej z jedną zmienną można przeprowadzić za pomocą metody podstawienia.

Można to jednak również zrobić, odejmując, dodając, mnożąc lub dzieląc obie strony nierówności przez tę samą liczbę.

Nierówność w matematyce to zdanie lub zdanie matematyczne, które pokazuje porównanie rozmiarów dwóch lub więcej obiektów.

Podobnie jak w przypadku nierówności liniowej A < B, jedna zmienna x i C jest stałą niezerową.

Nierówność A < B jest równoważna:

1. A + C < B + C
2. A – C < B – C
3. A x C < B x C, jeśli C > 0 dla wszystkich x
4. A x C > B x C, jeśli C < 0 dla wszystkich x
5. A/C < B/C, jeśli C > 0 dla wszystkich x
6. A/C > B/C, jeśli C < 0 dla wszystkich x

Należy pamiętać, że niektóre z powyższych właściwości dotyczą również symbolu „>" lub "<”.

Przykłady pytań PtLSV i sposoby ich rozwiązywania

Poniżej podamy przykład problemu oraz sposób jego rozwiązania, a także odpowiedź na jednowymiarowe zagadnienie nierówności liniowej. Oto pełna recenzja.

1. Dodawanie i odejmowanie jednej zmiennej liniowej nierówności (PtLSV)

Proszę zwrócić uwagę na poniższe nierówności:

x + 3 < 8, gdzie x jest zmienną z liczby całkowitej.

Dla:

x = 1, czyli 1 + 3 < 8, jest prawdziwe
x = 2, czyli 2 + 3 < 8, jest prawdziwe
x = 3, czyli 3 + 3 < 8, jest prawdziwe
x = 4, czyli 4 + 3 < 8, jest fałszywe

Podstawienie x za 1,2 i 3 tak, że nierówność x + 3 < 8 jest prawdziwa nazywamy rozwiązaniem nierówności.

2. Mnożenie lub dzielenie jednej zmiennej liniowej nierówności (PtLSV)

Spójrz na następujące nierówności:

Dla liczb naturalnych x mniejszych niż 10 rozwiązaniem jest x = 7, x = 8 lub x = 9

Na podstawie powyższego opisu możemy stwierdzić, że:

 „Każda nierówność pozostaje równoważna, a znak nierówności pozostaje niezmieniony, mimo że obie strony są pomnożone przez tę samą liczbę dodatnią”

Przykład problemów:

Rozważmy teraz następujące nierówności:

za. –x > – 5, gdzie x jest liczbą naturalną mniejszą niż 8. Substytut x, który spełnia, to x = 1, x = 2, x = 3 lub x = 4.

Innym sposobem rozwiązania powyższego problemu nierówności jest pomnożenie obu stron przez tę samą liczbę ujemną.

* –x > –5

–1(–x) > – 1(–5), (obie strony są mnożone przez –1 i znak nierówności pozostaje)

x > 5

Rozwiązaniem jest x = 6 lub x = 7.

* –x > –5

–1(–x) < –1(–5), (obie strony są mnożone przez –1 i znak nierówności zmienia się z > na

x < 5

Rozwiązaniem jest x = 1, x = 2, x = 3 lub x = 4.

Na podstawie tego rozwiązania okazuje się, że nierówności, które mają to samo rozwiązanie to:

–x > –5 i –1(–x) < –1(–5)

więc –x > –5 <=> –1(–x) < –1(–5)

b. –4x <-8, gdzie x jest liczbą naturalną mniejszą niż 4. Odpowiednim substytutem x jest x = 2 lub x = 3. Tak więc rozwiązaniem jest x = 2 lub x = 3.

Na podstawie powyższego wyjaśnienia możemy stwierdzić, że:

„Nierówność, gdy obie strony są pomnożone przez tę samą liczbę ujemną, to znak nierówności się zmienia”

Przykład:

3. O historii 

Pytanie 1.

Suma dwóch liczb nie przekracza 120. Jeśli druga liczba jest o 10 większa niż pierwsza liczba, określ wartość graniczną dla pierwszej liczby.

Odpowiedź:

Z powyższego problemu widzimy, że istnieją dwie nieznane wielkości. To jest pierwsza liczba, a także druga liczba.

Więc teraz zrobimy te dwie wielkości jako zmienną.

Jako przykład:

Wołamy pierwszy numer x, natomiast 

Drugi numer nazywamy y.

Z tego problemu wiemy również, że druga liczba to „10 więcej niż pierwsza liczba”, wtedy będzie miała zastosowanie następująca zależność:

y = x + 10

W zadaniu wiadomo też, że suma tych dwóch liczb wynosi „nie więcej” niż 120.

Zdanie „nie więcej” wskazuje, że nierówność jest mniejsza niż równa (≤). Tak więc formą nierówności, która odpowiada problemowi, jest to, że nierówność jest mniejsza niż równa.

Następnie konstruujemy nierówności w następujący sposób:

⇒ x + y ≤ 120

Ponieważ y = x + 10, więc nierówność staje się:

⇒ x + x + 10 ≤ 120

⇒ 2x + 10 ≤ 120

⇒ 2x + 10 – 10 ≤ 120 – 10

⇒ 2x ≤ 110

⇒ x ≤ 55

po to aby, wartość graniczna dla pierwszej liczby nie przekracza 55.

Pytanie fabularne 2.

Model ramy belki wykonanej z drutu o długości (x + 5) cm, szerokości (x – 2) cm i wzrost x cm.

• Określ model matematyczny wymaganego równania długości drutu w x.
• Jeżeli długość użytego drutu nie przekracza 132 cm, należy określić wielkość maksymalnej wartości wiązki.

Odpowiedź:

Aby łatwiej nam było zrozumieć powyższy problem, rozważ ilustrację poniższego bloku:

• Określ model matematyczny powyższego problemu.

Na przykład K reprezentuje całkowitą długość drutu potrzebnego do wykonania ramy belki, wtedy całkowita wymagana długość drutu jest sumą wszystkich krawędzi.

Zatem długość K jest następująca.

K = 4p(długość) + 4l(szerokość) + 4t(wysokość)

K = 4(x + 5) + 4(x – 2) + 4x

K = 4x + 20 + 4x – 8 + 4x

K = 12x + 12

Tak więc otrzymujemy model matematyczny problemu numer dwa dla całkowitej długości przewodu, który wynosi K = 12x + 12.

• Określ maksymalny rozmiar bloku z powyższego problemu.

Długość drutu nie może przekraczać długości 132 cm, dlatego model nierówności możemy zapisać w następujący sposób:

K ≤ 132

12x + 12 ≤ 132

Następnie rozwiązujemy nierówność liniową jednej zmiennej, używając rozwiązania takiego jak:

12x + 12 ≤ 132

⇒ 12x ≤ 132 – 12

⇒ 12x ≤ 120

⇒ x ≤ 10

Z rozwiązania x ≤ 10, wtedy maksymalna wartość x wynosi 10. Zatem rozmiar belki dla długości, szerokości i wysokości jest następujący:

Długość = x + 5 ⇔ 10 + 5 = 15 cm

Szerokość = x – 2 ⇔ 10 – 2 = 8 cm

Wysokość = x ⇔ 10 cm

Czyli otrzymujemy maksimum dla bloku to (15 × 8 × 10) cm.

Pytania fabularne 3.

Suma dwóch liczb jest mniejsza niż 80. Druga liczba to trzykrotność pierwszej liczby.

Określ granice dwóch liczb.

Odpowiedź:

Załóżmy, że pierwszą liczbę nazywamy x, a druga liczba jest równa 3x.

Suma tych dwóch liczb jest mniejsza niż 80. Dlatego model matematyczny wygląda następująco:

x + 3x < 80 ⇔ 4x <80

Rozwiązaniem dla tego modelu matematycznego jest 4x < 80 ⇔ x < 20.

Dlatego limit pierwszej liczby wynosi nie więcej niż 20, a drugiej liczby nie więcej niż 60.

Pytania fabularne 4.

Powierzchnia stołu prostokątnego ma długość 16 x cm i szerokość 10 x cm.

Jeżeli powierzchnia nie jest mniejsza niż 40 dm²2, a następnie określ minimalny rozmiar powierzchni stołu.

Odpowiedź:

Długość powierzchni stołu to:

• (p) = 16x
• szerokość (l) = 10x
• powierzchnia = L.

Model matematyczny obszaru prostokąta wygląda następująco:

L = p × l

L = 16x × 10x

L = 160x2

Z problemu wynika, że ​​powierzchnia nie mniejsza niż 40 dm²2 = 4000 cm2 więc możemy zapisać nierówność w następujący sposób:

L = 160x2≥ 4.000

160x2≥ 4.000

Następnie rozwiązujemy nierówność następującym rozwiązaniem:

160x2≥ 4.000

⇒ x2≥ 25

⇒ x ≥ ±5

Dlatego rozmiar nie może być ujemny, to minimalna wartość dla x = 5 cm, więc otrzymujemy:

p = 16x cm = 16(5) cm = 80 cm

l = 10x cm = 10(5) cm = 50 cm

Minimalny rozmiar powierzchni stołu to (80×50) cm.

Pytania fabularne 5.

Rower porusza się po drodze o równaniu s(t) = t2– 10t + 39.

Jeśli x jest w metrach, a t w sekundach, określ odstęp czasu, aby rower przejechał co najmniej 15 metrów.

Odpowiedź:

Rower może pokonać dystans co najmniej 15 metrów, co oznacza s (t) ≥ 15.

Zatem model matematyczny to t2– 10t+39 ≥ 15. Model ten możemy rozwiązać w następujący sposób:

t2– 10t+39 ≥ 15

⇒ t2– 10t+39 – 15 ≥ 0

⇒ t2– 10t+24 ≥ 0

⇒ (t – 6)(t – 4) ≥ 0

⇒ t ≤ 4 lub t ≥ 6

Zatem przedział czasu, w którym rower pokona dystans co najmniej 15 metrów, wynosi t ≤ 4 sekundy lub t ≥ 6 sekund.

Pytania fabularne 6.

Pan Irvan ma samochód skrzyniowy przewożący towary o ładowności nie większej niż 500 kg.

Pak Irvan waży 60 kg i będzie przewoził pudła z towarami, których każde pudło waży 20 kg. Następnie:

• Określ maksymalną liczbę pudełek, które może przewieźć Pan Irvan w jednym transporcie!
• Jeśli pan Irvan zamierza przewieźć 115 miast, to przynajmniej ile razy uda się przewieźć wszystkie pudła?

Odpowiedź:

Z zadania otrzymujemy kilka modeli matematycznych w następujący sposób:

1. Na przykład x reprezentuje liczbę miast, które samochód może przewieźć w jedną stronę.
2. Każde pudełko waży 20 kg, więc x pudełka ważą 20x kg.
3. Całkowita waga w jedną stronę to waga pudełka plus waga pana Irvana, czyli 20x + 60.
4. Nośność samochodu nie jest większa niż wtedy używamy znaku "≤”.
5. Nośność nie przekracza 500 kg, więc z przepisu (3) otrzymujemy następujący model nierówności =
   20x + 60 ≤ 500

• Określa maksymalną liczbę pudełek, które można przetransportować za jednym razem.

Wyznaczenie liczby kwadratów jest tym samym, co wyznaczenie wartości x, a mianowicie poprzez rozwiązanie poniższych nierówności:

20x + 60 ≤ 500

⇒ 20x ≤ 500 – 60

⇒ 20x ≤ 440

⇒ x ≤ 22

Z tego rozwiązania otrzymujemy maksymalną wartość x, która wynosi 22. Tak więc za każdym razem wagon może przewozić maksymalnie 22 pudła.