Linie i kąty: materiały klasy 7, problemy i dyskusja

Linie i kąty to jeden z materiałów z matematyki, których nauczymy się w 7 klasie gimnazjum. Cóż, tym razem nauczymy się różnych rzeczy związanych z liniami i kątami.

Zaczynając od relacji między dwiema liniami, rodzajów kątów, właściwości kątów, a także jednostek używanych dla kątów.

Przeczytaj uważniej poniższe recenzje.

Linia

Linia to układ kropek (może być nieskończony), które znajdują się obok siebie i są ustawione wzdłużnie w dwóch kierunkach (prawo/lewo, góra/dół).

Pozycja dwóch linii

Linia równoległa

Dwie równoległe linie to znaczy, jeśli linia jest w płaszczyźnie i nigdy się nie spotka ani nie przetnie, jeśli linia zostanie przedłużona do nieskończoności.

Symbolem linii równoległych jest (//)

Mówi się, że dwie linie są równoległe, jeśli dwie linie znajdują się na tej samej płaszczyźnie lub ich przedłużenia nigdy się nie przecinają.

Jeśli chodzi o niektóre właściwości linii równoległych, m.in.:

• Przechodząc przez punkt poza linią, można wykonać dokładnie jedną inną linię, która jest równoległa do linii.
• Jeśli istnieje linia, która przecina jedną z dwóch równoległych linii, to linia ta przetnie drugą linię.
• Jeśli jedna linia jest równoległa do drugiej, to obie linie będą również równoległe do siebie

Przecinające się linie

Dwie linie będą nazywane przecinającymi się, jeśli te dwie linie mają punkt przecięcia lub powszechnie nazywane punktem wspólnym.

nakładanie się linii

Mówi się, że dwie linie pokrywają się, jeśli mają co najmniej dwa punkty przecięcia.

Na przykład: wskazówka godzinowa, gdy wskazuje godzinę dwunastą. Wtedy dwie wskazówki zegara zbiegną się ze sobą.

Przekraczanie linii

Można powiedzieć, że dwie linie przecinają się, jeśli nie są równoległe i nie leżą w tej samej płaszczyźnie.

Aby zrozumieć różne pozycje powyższych linii, spójrz na poniższy obraz:

Kąt

Kąt jest czymś utworzonym przez spotkanie dwóch promieni lub dwóch linii prostych.

Ten kąt to obszar utworzony przez promień, który jest obracany u podstawy promienia. Kąty oznaczono symbolem „∠”.

Definicja kąta

W matematyce kąt można zdefiniować jako obszar utworzony przez obecność dwóch promieni, których punkty początkowe są sprzymierzone lub pokrywają się.

Kąt W geometrii jest to miara obrotu segmentu linii od jednego punktu początkowego do drugiego.

Ponadto w regularnym dwuwymiarowym kształcie kąt można również zdefiniować jako przestrzeń między dwoma przecinającymi się odcinkami linii prostych. -sc: wikipedia

Części pod kątem

Kąty mają trzy ważne części, w tym:

Noga kątowa

To jest linia promieni tworzących kąt.

Punkt narożny

Jest to punkt początkowy lub punkt przecięcia, w którym zbiega się linia promieni.

Obszar narożny

Obszar lub przestrzeń między dwoma nogami narożnika.

Aby uzyskać więcej informacji, zobacz następujący obraz:

Rodzaje kątów

Aby wyrazić wielkość kąta, używamy stopni (°), minut (‘), a także sekund („), gdzie:

Pozycja Dwie linie

Oto pozycje dwóch linii, m.in.:

• Mówi się, że dwie lub więcej linii jest równoległych, jeśli leżą na tej samej płaszczyźnie i nigdy się nie spotka ani nie przetnie, jeśli linia zostanie przedłużona do nieskończoności skończone.
• Mówi się, że dwie linie przecinają się, jeśli leżą na tej samej płaszczyźnie i mają jeden punkt przecięcia.
• Mówi się, że dwie linie pokrywają się ze sobą, jeśli linia jest w linii prostej, tak że widoczna jest tylko jedna linia prosta.
• Mówi się, że dwie linie przecinają się, jeśli nie znajdują się na tej samej płaszczyźnie i nie przecinają się, jeśli są przedłużone.

Związek między kątami

Kąt kwadratowy

Jeśli są dwa kąty, które pokrywają się i tworzą kąt prosty, to jeden kąt będzie kąt komplementarny dla pozostałych kątów, tak że dwa kąty są nazywane kątami komplementarnymi (komplement).

Oto obraz pod kątem:

Suma dwóch komplementarnych kątów wynosi 90°. Jeden kąt jest dopełnieniem drugiego kąta.

Kąt prosty

Jeśli istnieją dwa kąty, które pokrywają się ze sobą i tworzą kąt prosty, to jeden kąt będzie dopełniający dla drugiego kąta. Tak więc te dwa kąty można nazwać kątami komplementarnymi.

Oto obraz dla kątów prostych:

Suma dwóch uzupełniających się kątów wynosi 180°. Jeden kąt jest dopełnieniem drugiego kąta.

Związek między kątami, gdy dwie linie są równoległe

Cięcie inną linią

Rzuć okiem na poniższy obrazek:

Kąt przeciwny (ten sam rozmiar)

Jest to kąt, który ma tę samą pozycję i tę samą wielkość. Na powyższym obrazku przeciwne kąty to:

A = E
B = F
C = G
D = H

Przeciwne kąty wewnętrzne (ta sama miara)

Jest to kąt, który znajduje się po wewnętrznej stronie, a jego położenie jest przeciwne. Na powyższym obrazku przeciwne kąty wewnętrzne to:

C = E
D = F

Przeciwne kąty zewnętrzne (ten sam rozmiar)

Jest kątem leżącym na zewnątrz i przeciwległym do siebie, na przykład:

A = G
B = H

Kąty przeciwne i przeciwne

• Jeśli dwie równoległe linie są przecięte inną linią, powstają cztery pary przeciwnych kątów, które są równe co do wielkości.
• Jeśli dwie linie są przecięte inną linią, to wymiary przeciwległych kątów zewnętrznych są takie same.
• Jeżeli dwie równoległe linie są przecięte inną linią, to utworzone przeciwległe kąty wewnętrzne mają ten sam rozmiar.
• Jeżeli dwie równoległe linie są przecięte inną linią, to suma kątów wewnętrznych wynosi 180°.

Kąt wewnętrzny

Jest to kąt leżący od wewnątrz, a jego położenie leży po tej samej stronie. Po zsumowaniu kąty znajdujące się po tej samej stronie utworzą kąt 180°. Jako przykład:

D + E = 180°
C + F = 180°

Jednostronny narożnik zewnętrzny

To kąt leżący na zewnątrz, a jego pozycja leży po tej samej stronie. Po zsumowaniu kąty znajdujące się po tej samej stronie utworzą kąt 180°. Jako przykład:

B + G = 180°
A + H = 180°

Przeciwne kąty (ten sam rozmiar)

Jest to kąt, którego pozycje są przeciwne do siebie, na powyższym obrazku przeciwne kąty to:

A = C
B = D
E = G
F = H

Para przeciwnych kątów występuje, gdy dwie linie przecinają się tak, że dwa Kąty przeciwne do punktu przecięcia nazywane są kątami przeciwległymi.
Dwa przeciwne kąty są równe.

Jednostka kąta

W stopniach wartość 1 stopnia reprezentuje kąt, który jest obrócony o 1/360 obrotu. Co oznacza 1°=1/360 obrotu.

Aby określić kąt, który jest mniejszy niż stopnie (°), możemy użyć symboli minuty (‘) i sekundy (”).

Zwróć szczególną uwagę na zależność stopni, minut i sekund poniżej:

1 stopień (1°) = 60 minut (60′)

1 minuta (1′) = 1/60°

1 minuta (1′) = 60 sekund (60”)

1 stopień (1°) = 3600 sekund (3600”)

1 sekunda (1”) = 1/3600

Miara kąta w radianach

1° = p/180 radianów

lub

1 radian = 180°/p

Jeśli wartość p = 3,14159 więc:

1° = p/180 radianów = 3,14159/180 = 0,017453

lub

1 radian = 180°/p = 180°/3,14159 = 57,296°

Przykładowe pytania i dyskusja

Tutaj zadamy kilka pytań związanych z liniami i kątami, w tym:

Problem 1.

Trzy linie, każda k, l i m, w układzie jak pokazano poniżej.

Linia k jest równoległa do linii l, a linia m przecina linię k i l.

Więc ustal:

a) przeciwne kąty
b) przeciwne kąty
c) kąty przeciwne w
d) zewnętrznie przeciwstawne kąty
e) kąty wewnętrzne z jednej strony
f) jednostronne kąty zewnętrzne
g) kąty proste

Odpowiedź:

a) przeciwne kąty to:

A1 z B1
A4 z B4
A2 z B2
B3 z B3

b) przeciwne kąty to:

A1 z A3
A2 z A4
B1 z B3
B2 z B4

c) wewnętrzne kąty przeciwne (przeciwne do wewnątrz), a mianowicie:

A3 z B1
A4 z B2

d) zewnętrzne przeciwne kąty to:

A2 z B4
A1 z B3

e) kąty wewnętrzne to:

A3 z B2
A4 z B1

f) jednostronne kąty zewnętrzne, a mianowicie:

A2 z B3
A1 z B4

g) kąty proste to:

A1 z A2
A1 z A4
A2 z A3
A3 z A4
B1 z B2
B1 z B4
B2 z B3
B3 z B4

Pytanie 2.

Podano trzy proste, a mianowicie k, l i m, a także kąty, które znajdują się w otoczeniu. k i l są równoległe, podczas gdy linia m przecina linię k i l.

Jeśli P = 125°, określ pozostałe siedem kątów wokół niego!

Odpowiedź:

R = P = 125° (Ponieważ R jest przeciwne do P)
T = P = 125° (ponieważ T odpowiada P)
V = R = 125° (Ponieważ V jest przeciwne do R)∠Q = 180° P = 180° - 125° = 55° (Ponieważ Q jest prostownicą P)
S = Q = 55° (Ponieważ S jest przeciwieństwem Q)
U = Q = 55° (Ponieważ U jest w stosunku do Q)
W = U = 55° (Ponieważ W jest przeciwne do U)

Problem 3.

Spójrz na poniższy rysunek, jeśli EF jest równoległy do ​​DG, a trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym, a miara kąta C wynosi 40°.

Następnie określ:

a) Wielkość kątownika DBE
b) Miara kąta BEF
c) Kąt CAG

Odpowiedź:

a) Wielkość kątownika DBE

Pierwszym krokiem jest znalezienie najpierw miary kąta ABC.ABC jest trójkątem równoramiennym, tak aby rozmiar ABC = BAC.Trzy kąty w a trójkąt jeśli dodamy to 180°, więc ABC = (180 40): 2 = 70° więc BAC jest również 70°∠DBE = ABC = 70° ponieważ są one przeciwne z powrotem.

b) Miara kąta BEF

BEF = ABC = 70° ponieważ są przeciwne lub BEF = DBE = 70° ponieważ są przeciwne.

c) Kąt CAG

CAG = 180 BAC = 180 70 = 110°, ponieważ CAG i BAC są liniami prostymi.

Problem 4. (ONZ 2012/2013 pakiet 54)

Spójrz na poniższy obraz!

Rozmiar prostownicy kątowej SQR to...

1. 101°
2. 100°
3. 95°
4. 92°

Odpowiedź:

Uwaga** to pytanie jest jednym z podchwytliwych pytań, wielu myśli, jeśli pytanie zadaje SQR, mimo że proszono o PQS.

Aby odpowiedzieć na to pytanie, pierwszą rzeczą, której musisz szukać, jest wartość x.

W tym przypadku ∠PQS i ∠SQR to kąt komplementarny, więc:

∠PQS + ∠SQR = 180°(5x)° + (4x+9)° = 180°9x° + 9 = 180°9x° = 171°x° = 19°

Prostownica ∠SQR = PQSProstownica ∠SQR = (5x)°Prostownica ∠SQR = (5.19)°Prostownica ∠SQR = 95° (Odpowiedź C)

Pytanie 5. (Pakiet ONZ 2009/2010 10)

Spójrz na poniższy obrazek:

Miara kąta numer 1 wynosi 95°, a miara kąta numer 2 wynosi 110°. Miarą kąta numer 3 jest...

1. 5°
2. 15°
3. 25°
4. 35°

Odpowiedź:

∠1 = ∠5 = 95° (przeciwne kąty wewnętrzne)2 + 6 = 180° (wyrównane do siebie)110° + ∠6 = 180°∠6 = 70°∠5 + ∠6 + ∠3 = 180°95° + 70° + ∠3 = 180°165° + ∠3 = 180°∠3 = 15° (Odpowiedź B)

Pytanie 6. (Pakiet ONZ 2010/2011 15)

Spójrz na obrazek poniżej:

Duży ∠BCA to….

1. 70°
2. 100°
3. 110°
4. 154°

Odpowiedź:

ABC + CBD = 180° (prosto)ABC + 112° = 180°ABC = 68 °BCA + ABC + BAC = 180°BCA + 68 ° + 42 ° = 180 °BCA + 110 = 180°BCA = 70° (Odpowiedź A)

Pytanie 7. (Pakiet ONZ 2010/2011 15)

Spójrz na obrazek poniżej:

Duży ∠P3 to….

1. 37°
2. 74°
3. 106°
4. 148°

Odpowiedź:

P2 = 74° (przeciwne kąty zewnętrzne)P2 + P3 = 180° (prosto)74° + P3 = 180°P3 = 106° (Odpowiedź C)

Pytanie 8. (Pakiet ONZ 2012/2013 1)

Spójrz na obrazek poniżej:

Miarą prostownicy kątowej KLN jest...

1. 31°
2. 72°
3. 85°
4. 155°

Odpowiedź:

Aby odpowiedzieć na to pytanie, pierwszym krokiem, który musisz znaleźć, jest wartość x.

W tej sprawie ∠KLN i ∠MLN to kąt komplementarny, więc:

∠KLN + ∠MLN = 180°(3x + 15)° + (2x+10)° = 180°5x° + 25° = 180°5x° = 155°x° = 31°

Prostownica ∠KLN = MLNProstownica ∠KLN = (2x+10)°Prostownica ∠KLN = (2.31 + 10)°Prostownica ∠KLN = 72° (Odpowiedź B)

Problem 9. (Pakiet ONZ 2012/2013 2)

Spójrz na obrazek poniżej:

Wielki wędkarz ∠SQR to….

1. 9°
2. 32°
3. 48°
4. 58°

Odpowiedź:

Uwaga** to pytanie jest również kwestią pułapki, więc wiele osób uważa, że ​​to pytanie zadaje SQR, mimo że proszono o PQS.

Aby odpowiedzieć na to pytanie, pierwszym krokiem, który musisz znaleźć, jest wartość x.

W tej sprawie ∠SQR i ∠PQS to kąt prosty, więc:

∠SQR + ∠PQS = 90°(3x + 5)° + (6x+4)° = 90°9x° + 9° = 90°9x° = 81°x° = 9°

Kąt ∠SQR = PQSKąt ∠SQR = (6x+4)°Kąt ∠SQR = (6.9 + 4)°Kąt ∠SQR = 58° (Odpowiedź D)

Pytanie 10. (Pakiet ONZ 2012/2013 5)

Spójrz na obrazek poniżej:

Świetna prostownica ∠AOC to….

1. 32°
2. 72°
3. 96°
4. 108°

Odpowiedź:

Aby odpowiedzieć na pytanie numer 10, pierwszym krokiem, który musisz znaleźć, jest wartość x.

W tej sprawie ∠AOC i ∠BOC to kąt komplementarny, więc:

∠AOC + ∠BOC = 180°(8x – 20)° + (4x+8)° = 180°12x° – 12° = 180°12x° = 192°x° = 16°

Prostownica ∠AOC = BOCProstownica ∠AOC = (4x+8)°Prostownica ∠AOC = (4.16 + 8)°Prostownica ∠AOC = 72° (Odpowiedź B)

Tym razem jest to krótka recenzja o liniach i kątach, którą możemy przekazać. Mam nadzieję, że powyższy przegląd linii i kątów może być wykorzystany jako materiał do nauki.