Logaritmer: Egenskaper, logaritmiske ligninger, forhold, bakker, problemer

Logaritme er en matematisk operasjon der denne operasjonen er operasjonen til den inverse (eller inverse) eksponenten eller kraften. Basen eller rektoren i denne logaritmiske formelen er vanligvis i form av bokstaven a.

Eller det nevnes også om denne logaritmen er en invers eller invers av kraften (eksponenten) som brukes i bestem eksponenten til et basenummer.

På engelsk kalles logaritmen logaritme.

Så i utgangspunktet, ved å studere logaritmer, kan vi finne kraften til et tall med en kjent eksponent.

Logaritme

Når du vet hva en logaritme er, er du også forpliktet til å kjenne den generelle formen for denne logaritmen.

Her er den generelle formen for logaritmen:

Den generelle formen for logaritmen:

Hvis enⁿ = x da ^enlogx = n

Informasjon:

a: er grunnlaget, som har følgende betingelser: a> 0 og en 1.

x: er tallet algoritmen leter etter (numerus), vilkårene er: x> 1

n: er logaritmens kraft.

Nå er det på tide at du ser på eksemplene på spørsmålene nedenfor, slik at du bedre kan forstå beskrivelsen ovenfor:

1. Når 3² = 9, så i logaritmisk form vil den endre seg til ³logg 9 = 2
2. Når 2³ = 8, så i logaritmisk form vil den endre seg til ²logg 8 = 3
3. Når 5³ = 125, så i logaritmisk form vil den endre seg til ⁵logg 125 = 3

Hvordan har du det? Nå begynner jeg å forstå Ikke sant?

Vi vil, som oftest her, vil du fremdeles ofte oppleve forvirring når du bestemmer hvilket nummer som er basen og hvilket tall som er tallet.

Logaritme er en matematisk operasjon hvor er det omvendte av eksponenten eller kraften.

Den grunnleggende formelen for logaritmen: b^c = a er skrevet som ^blogg a = c (b kalles basislogaritmen).

Er det ikke?

Ro deg ned gutta, nøkkelen du bare må huske er hvis basenummer Det er utgangspunkt, plassert øverst før loggskiltet. Og Nummerrangere resultat det kalles som numerus, ligger nederst etter ordet "logg". Lett Ikke sant?

Logaritmiske ligninger

Logaritmisk ligningen er en ligning der variabelen er basen til logaritmen.

Denne logaritmen kan også defineres som en matematisk operasjon som er den inverse (eller inverse) av eksponenten eller en kraft.

Eksempel Nummer 

Her vil vi gi noen eksempler på logaritmiske tall, inkludert følgende:

Deretter har logaritmer også noen egenskaper som Påkrevd for at du skal forstå, her. Hvorfor obligatorisk?

Dette er fordi disse egenskapene senere vil bli din bestemmelse i å jobbe med logaritmiske problemer uten problemer.

Uten å forstå egenskapene til logaritmer, vil du ikke kunne jobbe med logaritmeproblemer, du vet!

Så hva som helst helvete Hva er egenskapene til logaritmen? Kom igjen, legg merke til vurderingene nedenfor.

Logaritmiske egenskaper

Følgende er noen av egenskapene til logaritmer som du må forstå, inkludert:

I tillegg til noen av egenskapene ovenfor, er det også noen egenskaper for logaritmiske ligninger, inkludert:

Egenskaper for logaritmiske ligninger

Den logaritmiske ligningen har også noen spesielle egenskaper, disse egenskapene er som følger:

1. Logaritmiske egenskaper for multiplikasjon 

Den logaritmiske egenskapen til multiplikasjon er et resultat av tillegg av to andre logaritmer der verdien av de to tallene er en faktor for den opprinnelige numeriske verdien.

^enlogger s. q = ^enlogg p + ^enlogg q

Det er flere forhold for denne egenskapen, nemlig: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

2. Logaritmisk multiplikasjon

Multiplikasjon av logaritmer er en egenskap for logaritme a som kan multipliseres med logaritme b hvis den numeriske verdien for logaritme a er lik basantallet for logaritme b.

Resultatet av multiplikasjonen er en ny logaritme med basenummeret lik logaritmen a. Og har samme numeriske verdi som logaritme b.

^enlogg b x ^blogc = ^enlogg c

Det er flere forhold for denne egenskapen, nemlig: a> 0, a \ ne 1.

3. Divisjonens art 

Den logaritmiske egenskapen til inndeling er resultatet av å trekke fra to andre logaritmer der verdien av de to tallene er en brøkdel eller inndeling av den opprinnelige numeriske verdien for logaritmen.

^enlogg p / q: ^enlogg p - ^enlogg q

Det er flere forhold for denne egenskapen, nemlig: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

4. Omvendt sammenlignbare egenskaper

Den omvendte proporsjonale logaritmeegenskapen er en egenskap med andre logaritmer som har basenummeret og utvekslingen av tallet.

^enlogb = 1 /^blogg a

Det er flere forhold for denne egenskapen, nemlig: a> 0, a \ ne 1.

5. Motsatt skilt 

Den logaritmiske egenskapen til motsatt tegn er en egenskap med en logaritme hvis tall er en omvendt brøkdel av den opprinnelige numeriske verdien for logaritmen.

^enlogg p / q = - ^enlogg p / q

Det er flere forhold for denne egenskapen, nemlig: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

6. Kraftens natur 

Den logaritmiske egenskapen til krefter er en eiendom hvis numeriske verdi er en eksponent. Og kan brukes som en ny logaritme ved å utstede kraften til en multiplikator.

^enlogg b^s = s. ^enlogg b

Det er flere forhold for denne egenskapen, nemlig: a> 0, a \ ne 1, b> 0

7. Kraften til logaritmiske hovedtall 

Kraften til en logaritmisk kraft av et basenummer er en egenskap der verdien av basenummeret er a eksponent (kraft) som kan brukes som en ny logaritme ved å fjerne strømmen til et tall deler.

en^slogb = 1 / s^enlogg b

Det er flere forhold for denne egenskapen, nemlig: a> 0, a \ ne 1.

8. Logaritmiske hovedtall som kan sammenlignes med numeriske krefter 

Egenskapen til et basenummer som er proporsjonalt med kraften til tallet er en eiendom hvis numeriske verdi er a eksponenten (kraften) til verdien til basenummeret som har samme resultatverdi som verdien av kraften til tallet at.

^enlogg a^s = s

Det er flere forhold for denne egenskapen, nemlig: a> 0 og a \ ne 1.

9. Rang 

Kraften til logaritmer er en av egenskapene til tall som har krefter i form av logaritmer. Resultatet av kraftverdien er verdien der tallet kommer fra logaritmen.

en ^enlogg m = m

Det er flere forhold for denne egenskapen, nemlig: a> 0, a \ ne 1, m> 0.

10. Endring av den logaritmiske basen 

Naturen til å endre basen til denne logaritmen kan også brytes ned til en sammenligning av to logaritmer.

^slogg q = ^enlogg p /^en logg q

Det er flere forhold for denne egenskapen, nemlig: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0

Logaritmisk ligningsformel

Basert på beskrivelsen ovenfor er logaritme en matematisk operasjon som er en omvendt eksponent eller kraft.

Et eksempel på logaritmen til den eksponentielle formen mellom lian: a^b = c hvis uttrykt i logaritmisk notasjon vil det være ^enlogc = b.

Uttalelsen er som følger:

• a er basen eller basenummeret.
• b er resultatet eller spekteret av logaritmer.
• c er tallet eller domenet til logaritmen.

Med notater:

Det er nødvendig for deg å forstå, før vi diskuterer videre om formelen til logaritmen, hvis det er skrift ^enlogg betyr det samme som logg_en b.

Formelen for blant annet den logaritmiske ligningen er:

Logaritmisk ligningsformel:

Hvis vi har det ^enlogf (x) = ^enlogg g (x), deretter f (x) = g (x).
Med noen forhold som: a> 0, a 1, f (x)> 0, g (x)> 0.

Logaritmiske ulikheter:

Hvis vi har logg f (x)> ^enlogg (x) så har vi to tilstander, nemlig:

Først når a> 0 betyr: f (x)> g (x)
For det andre, på tidspunkt 0

Eksempel på spørsmål og diskusjon

I det følgende vil vi gi noen eksempler på spørsmål så vel som diskusjonen. Lytt nøye, ja.

Eksempel på spørsmål 1-3

1. ²logger 4 + ²logg 8 =

2. ²logg 32 =

3. Når det er kjent ²logg 8 = m og ²logg 7 = n, og finn deretter verdien av ¹⁶logger 14!

Svar:

Oppgave 1.

Det første trinnet vi må gjøre er å sjekke basen.

De to ligningene i logaritmen ovenfor har tilsynelatende samme basisverdi, som er 2.

Derfor kan vi bruke den andre egenskapen til logaritmen for å finne resultatet.

så det, ²logger 4 + ²logg 8 = ²logg (4 × 8) = ²logger 32 = 5. Huske! Hensikten med logaritmen er å finne kraften.

Så, hva 2 til kraften på 32? Svaret er ingen ringere enn 5. Lett er det ikke?

Spørsmål 2.

La oss gå videre til spørsmål nummer 2.

I spørsmål nummer 2 kan vi ikke gjøre det med en gang, for du vil definitivt oppleve forvirring i å finne verdien av kraften til 8 som resulterer i 32. Så hvordan?

Hvis vi ser nærmere på problemet, er 8 resultatet av kraften til 2³ og også 32 som er resultatet av kraften til 2⁵.

Derfor kan vi endre den logaritmiske formen til:

⁸logg 32 = ²³logg 2

= 5/3 ²logg 2 (bruk eiendomsnummer 6)

= 5/3(1) = 5/3

Oppgave 3.

Hvordan har dere det? Har du begynt å bli begeistret ennå?

Vi vil, i diskusjonen om spørsmål nummer 3 vil dette gjøre deg enda mer spent!

Du må vite at modellen fra spørsmål nr. 3 ofte finnes i nasjonale eksamensspørsmål eller universitetsvalgsspørsmål du vet.

Ved første øyekast ser det ganske komplisert ut, ja, men hvis du allerede forstår konseptet, vil dette problemet være veldig enkelt å gjøre.

Hvis du finner en problemmodell som denne, kan du finne verdien ved å bruke den logaritmiske egenskapen til nummer 4.

Så prosessen vil være:

²logg 8 = m og ²logg 7 = n, ¹⁶logger 14?

¹⁶logg 14 = ²logg 14 / ²logg 16

Merk:

For å velge hvilken base, kan vi se direkte på tallet som vises oftest i problemet. Så vi vet at tallet 2 vises to ganger, 8 så mye som en gang, og 7 så mye som en gang.

Antallet som vises mest er ingen ringere enn 2, så vi velger 2 som grunnlag. Har det?

= ²logger (7 x 2) / ²logger (8 x 2)

Da vi beskrive tallet.

La oss prøve å endre det til formen som allerede er i problemet. Hva mener du?

her folkens, på det kjente spørsmålet ²logg 8 og også ²logger 7. Siden tallene er både 8 og 7, deler vi 14 i 7 × 2 og 16 i 8 × 2 slik at vi kan se det endelige resultatet.

= ²logg 7 + ²logg 2 / ²logg 8 + ²logg 2 (bruk eiendomsnummer 2)

= n + 1 / m + 1

Et annet eksempel på spørsmål.

Oppgave 1. (EBTANAS '98)

Er kjent ³logg 5 = x og ³logg 7 = y. Beregn verdien av ³logger 245 ^1/2! (EBTANAS '98)

Svar:

³logger 245 ^½ = ³logger (5 x 49) ^½

³logger 245 ^½ = ³logger ((5) ^½ x (49) ^½)

³logger 245 ^½ = ³logger (5) ^½ + ³logger (7²) ^½

³logger 245 ^½ = ½( ³logg 5 + ³logger 7)

³logger 245 ^½ = (x + y)

Så verdien av ³logger 245 ^½ dvs. (x + y).

Spørsmål 2. (UMPTN '97)

Hvis b = a⁴, er verdiene til a og b positive, deretter verdien av ^enlogg b - ^blogge en ie…?

Svar:

Det er kjent om b = a⁴, så kan vi erstatte det i beregningen for å være:

^enlogg b - ^bloga = ^enlogg a⁴ - a⁴ logg a

^enlogg b - ^bloga = 4 (^enloga) - 1/4 ( ^enlogger a)

^enlogg b - ^bloga = 4 - 1/4

^enlogg b - ^bloga = 3^3/4

Så verdien av ^enlogg b - ^blogg inn i spørsmål nummer 2 er 3^3/4.

Oppgave 3. (UMPTN '97)

Hvis ^enlogger (1- ³log 1/27) = 2, og beregn deretter verdien av a.

Svar:

Hvis vi gjør verdien 2 til en logaritme der basisnummeret til logaritmen er a blir ^enlogg a²= 2, så får vi:

^enlogger (1- ³log 1/27) = 2

^enlogger (1- ³logger 1/27) = ^enlogg a²

Den numeriske verdien av de to logaritmene kan være en ligning, nemlig:

1- ³logg 1/27 = a²

³logger 3 - ³logg 1/27 = a²

³logger 3 - ³logg 3^(-3) = a²

³logger 3/3^-3 = a²

³logg 3⁴ = a²

4 = a²

Så vi får verdien a = 2.

Oppgave 4.

Hvis det er kjent at 2log 8 = a og 2log 4 = b. Beregn deretter verdien av 6log 14

en. 1 /2
b. (1+2) / (2+1)
c. (a + 1) / (b + 2)
d. (1 + a) / (1 + b)

Svar:

For 2 logg 8 = a

= (logg 8 / logg 2) = a
= logg 8 = en logg 2

For 2 logg 4 = b

= (logg 4 / logg 2) = b
= logg 4 = b logg 2

Så, 16 log 8 = (log 16) / (log68)
= (log 2.8) / (log 2.4)
= (logg 2 + logg 8) / (logg 2 + logg 4)
= (logg 2 + en logg a) / (logg 2 + b logg b)
= log2 (1+ a) / log 2 (1+ b)
= (1 + a) / (1 + b)

Verdien av 6 log 14 i eksemplet ovenfor er altså (1 + a) / (1 + b). (D)

Spørsmål 5.

Verdien av (3log 5 - 3 log 15 + 3log 9) er?

en. 2
b. 1
c. 4
d. 5

Svar:

(3log 5 - 3log 15 + 3log 9
= 3logger (5. 9) / 15
= 3log 45/15
= 3logg 3
=1

Verdien av 3log 5 - 3log 15 + 3log 9 er altså 1. (B)

Spørsmål 6.

Beregn verdien i logaritmeproblemet nedenfor:

1. (2log 4) + (2log 8)
2. (2log 2√2) + (2log 4√2)

Svar:

1. (2log 4 + 2log 8) = (2log 4) x 8 = 2log 3 til kraften 2 = 5

2. (2log 2√2 + 2log 4√2) = (2log 2√2) x (4√2) = 2log 16 = 4

Verdien av hvert logaritmeproblem ovenfor er 5 og 4.

Spørsmål 7.

Beregn verdien i logaritmeproblemet nedenfor:

1. 2log 5 x 5log 64
2. 2 logger 25 x 5 logger 3 x 3 logger 32

Svar:

1. (2log 5) x (5log 64) = 2log 64 = 2log 26 = 6

2. (2log 25) x (5log 3) x (3log 32) = (2log 52) x (5log 3) x (3log 25)
= 2. (2log 5) x (5log 3) x 5. (3logger 2)
= 2 x 5 x (2log 5) x (5log 3) x (3log 2)
= 10 x (2log 2) = 10 x 1 = 10

Så verdien av spørsmålet ovenfor er 6 og 10.

Spørsmål 8.

Beregn verdien på logg 25 + logg 5 + logg 80 er ...

Svar:

logg 25 + logg 5 + logg 80
= logg (25 x 5 x 80)
= logger 10000
= logg 104
= 4

Oppgave 9.

Det er kjent at logg 3 = 0,332 og logg 2 = 0,225. Da er logg 18 av spørsmålet….

en. 0,889
b. 0,556
c. 0,677
d. 0,876

Svar:

Kjent:

• Logg 3 = 0,332
• Logg 2 = 0.225

Spurt:

• logg 18 =….?

Svar:

Logger 18 = logger 9. logg 2
Logg 18 = (logg 3.log 3). logg 2
Logger 18 = 2. (0,332) + (0,225)
Logg 18 = 0.664 + 0.225
Logg 18 = 0,889

Verdien av logg 18 i spørsmålet ovenfor er altså 0,889. (EN)

Spørsmål 10.

Konverter følgende eksponenter til logaritmisk form:

1.  24 = 16
2.  58 = 675
3.  27 = 48

Svar:

* Transformer eksponentene til logaritmisk form som følger:

Hvis verdien av ba = c, så er verdien for blogg c = a.

1.  24 = 16 → 2log 16 = 4
2.  58 = 675 → 5log 675 = 8
3.  27 = 48 → 2logg 48 = 7

Dermed en kort gjennomgang denne gangen som vi kan formidle. Forhåpentligvis kan gjennomgangen ovenfor brukes som studiemateriale.