Vektormatematikk: Typer, operasjoner, ortogonale projeksjoner, notasjoner, problemer

En matematisk vektor er en størrelse som har en retning. Denne selve vektoren kan vises med en pil hvis retning vil peke mot vektorens retning. Og lengden på linjen blir vanligvis referert til som vektorstørrelsen.

Hvis vektoren starter ved punkt A og slutter ved punkt B, kan vektoren skrives med små bokstaver med en bindestrek eller pil over den (

eller ). Eller det kan også gjøres på en måte som i bildet nedenfor:

For eksempel vektor er en vektor som starter fra punkt A (x₁. y₁) går til punkt B (x₂. y₂) kan vi tegne de kartesiske koordinatene nedenfor.

Lengden på linjen parallelt med x-aksen er v₁ = x₂ - x₁ og lengden på linjen parallelt med y-aksen er v₂ = y₂ - y₁ er noen vektorkomponenter .

Vektorkomponenter  Vi kan skrive for å uttrykke vektorer algebraisk, nemlig:

Vektortype

Det er flere typer spesialvektorer som finnes i matematikk, inkludert:

• Posisjonsvektor
  En vektor der utgangspunktet er 0 (0,0) og sluttpunktet er A
• Null vektor
  En vektor hvis lengde er null og er betegnet med . Nullvektoren har ikke en klar vektorretning.
• Enhetsvektor
  En vektor som har en lengde på en enhet. Enhetsvektor av det er:
  
• grunnvektor
  En basisvektor er en enhetsvektor som er vinkelrett på hverandre. I et todimensjonalt vektorrom (R²) har to basisvektorer nemlig og . Mens de er i tre dimensjoner (R³) har tre basisvektorer nemlig , , og også .

Ulike typer og vektoroperasjoner

Matematiske vektorer består ikke bare av flere typer, men matematiske vektorer består også av flere slag.

Så i det følgende vil vi gi forskjellige vektorer sammen med deres operasjoner på en gang, ta en god titt på dem:

Vector i R2 

Lengden på et linjesegment som representerer en vektor er betegnet med eller kan også betegnes ved å bruke symbolet ||

Følgende er lengden på vektoren, som er som følger:

Lengden på selve vektoren er en form som kan relateres til vinkelen som lett kan dannes av vektoren så vel som den positive aksen.

Vektordrift på R2 

Vectoraddisjon og subtraksjonsprosess i R2 

Resultant er navnet på resultatet av tilsetningen av to eller flere vektorer.

Tillegg av selve denne vektoren kan også gjøres algebraisk og kan også gjøres ved å legge til komponentene som er i samme eller neste posisjon.

Hvis:

deretter:

Så kan vi se den grafiske summeringen i eksemplet nedenfor:

Denne vektorsubtraksjonen behandles på samme måte som ved tillegg, inkludert følgende, se eksemplet nedenfor:

Egenskapene i selve dette vektortilskuddet er som nedenfor, se formelen:

⇒ Vektormultiplikasjon i R² Med Scalar 

En vektor i seg selv kan også multipliseres med en skalar eller et reelt tall som vil produsere en ny vektor hvis er en vektor og k er en skalar.

Slik at vektormultiplikasjonen kan betegnes som nedenfor:

Her er noen flere detaljer:

• Hvis k> 0, så vektor vil være i samme retning som vektoren .
• Hvis k <0, så vektor vil være i motsatt retning av vektoren .
• Hvis k = 0, så vektor er identitetsvektoren .

Grafisk kan denne multiplikasjonen endre lengden på vektoren og kan sees i tabellen nedenfor:

Hvis algebraisk, vektorprodukt med skalar k kan vi formulere ved hjelp av en formel som den nedenfor:

Skalarmultiplikasjon av to vektorer i R²

I skalarproduktet til to vektorer kan det også kalles prikkproduktet til to vektorer som vi kan skrive som nedenfor:

Vector i R³

En vektor plassert i et tredimensjonalt rom (x, y, z) der avstanden mellom de to vektorpunktene er i R³ Du kan finne ut av det ved å utvikle den pythagoreiske formelen.

Hvis poenget med A (x₂. y₂. z₂) og B (x₂. y₂. z₂) er:

Eller hvis , så det:

Vector kan angis i to former, nemlig i kolonnen

eller i linjen å være

Vektorer kan også representeres som lineære kombinasjoner av basisvektorer slik som eller og eller

følgende i sin helhet:

Vektordrift på R³

Vektoroperasjoner på R³ generelt, har samme konsept som operasjonene på vektoren R² i tillegg subtraksjon og multiplikasjon.

Legge til og trekke vektorer i R³

Addisjon og subtraksjon av vektorer i R³ er den samme som i vektoren R² nemlig:

Multiplikasjon av vektorer i R³ med skalar

Hvis er en vektor og k er en skalar. Da blir vektormultiplikasjonen:

Det skalære produktet av to vektorer

I tillegg til formelen på R³, det er en annen formel for det skalære produktet av to vektorer. Hvis og deretter er:

Vector ortogonal projeksjon

Hvis vektoren ā projiseres til en vektor barb og fikk et navn  som bildet nedenfor:

Er kjent:

så:

For å få vektoren:

Vector notasjon

Som forklart ovenfor er vektoren representert ved å bruke bokstavene som er gitt retningen for linjen over den.

Vektorer kan uttrykkes i to dimensjoner eller til og med tre dimensjoner eller mer. Når den uttrykkes i tre dimensjoner, har vektoren en enhetsvektor som uttrykkes i form av i, j og k.

En enhetsvektor er en vektor med størrelsen på en enhet og retning langs hovedaksen, nemlig:

Jeg er en enhetsvektor i retning av aksen x (abscissa)

j er en enhetsvektor i retning av aksen y (ordinere)

k er en enhetsvektor i retning av aksen z (applikasjon)

med øks som x-retningskomponenten, og a_y komponenter i y-aksens retning og a_z er komponenten i z-retningen.

Vector skriveskjema:

i matematikk er oftere skrevet i form:

med komponenten i form av en numerisk indeks som:

Lengden på vektoren (stor, verdi) er skrevet som et absolutt tegn i algebra

Eller i numerisk indeks

Hvis vektoren er definert av koordinatene

Deretter er vektoren AB representert med

Vektarlengde AB

I mellomtiden, for enhetsvektoren til en vektor som uttrykkes som

Uttrykt med

Eksempel på spørsmål og diskusjon

Oppgave 1.

Hvis det er kjent at det er et punkt A (2,4,6), punkt B (6,6,2) og punkt C (p, q, -6). Hvis punktene A, B og punkt C er i en linje, finn ut hva verdien av p + q er!

Svar:

Hvis punktene A, B og C er i en linje, så er vektoren og vektor Det kan også være ensrettet eller i forskjellige retninger.

Så det vil være et tall m som er et multiplum og kan danne en ligning som den nedenfor:

• m. =

Hvis B ligger mellom punktene A og C, vil det bli oppnådd som vist nedenfor:

Så du kan få:

Så det kan bestemmes multipler av m i ligningen:

Så resultatene vi får er:

Så vi kan trekke konklusjoner som følger:

p + q = 10 + 14 = 24

Spørsmål 2.

Hvis det er kjent at vektoren ved punkt A og punkt B og vektoren ved punkt C som ligger mellom linjen Ab som vist i figuren nedenfor. Finn ligningen til vektor C.

Svar:

Fra bildet over kan vi se at:

så:

Dermed en kort gjennomgang av vektormatematikk som vi kan formidle. Forhåpentligvis kan ovennevnte gjennomgang av vektormatematikk brukes som studiemateriale.