Līnijas un leņķi: 7. klases materiāli, problēmas un diskusijas

Līnijas un leņķi ir viens no matemātikas materiāliem, kuru mācīsimies vidusskolas 7. klasē. Nu, šoreiz mēs uzzināsim dažādas lietas, kas saistītas ar līnijām un leņķiem.

Sākot no attiecībām starp divām līnijām, leņķu veidiem, leņķu īpašībām un arī leņķiem izmantotajām vienībām.

Rūpīgāk izlasiet šīs atsauksmes.

Līnija

Līnija ir punktu izvietojums (var būt bezgalīgs), kas atrodas blakus viens otram un ir izvietoti gareniski divos virzienos (pa labi / pa kreisi, uz augšu / uz leju).

Divu līniju novietojums

Paralēlā līnija

Divas paralēlas līnijas tas ir, ja līnija atrodas plaknē un nekad nesatiks vai nekrustosies, ja līnija tiek pagarināta līdz bezgalībai.

Paralēlo līniju simbols ir (//)

Divas taisnes tiek uzskatītas par paralēlām, ja abas taisnes atrodas vienā plaknē vai to pagarinājumi nekad nekrustosies.

Attiecībā uz dažām paralēlo līniju īpašībām, cita starpā:

• Pārejot punktu ārpus līnijas, var izdarīt tieši vienu citu līniju, kas ir paralēla līnijai.
• Ja ir līnija, kas krusto vienu no divām paralēlām līnijām, tad līnija krustojas ar otro līniju.
• Ja viena līnija ir paralēla citai līnijai, tad arī abas taisnes būs paralēlas viena otrai

Krustojošās līnijas

Divas līnijas tiks sauktas par krustojošām, ja abām līnijām ir krustošanās punkts vai parasti tās sauc par kopīgu punktu.

līnijas pārklāšanās

Divas taisnes sakrīt, ja tām ir vismaz divi krustošanās punkti.

Piemēram: stundas rādītājs, kad tas rāda pulksten 12. Tad abi pulksteņa rādītāji sakritīs viens ar otru.

Līniju šķērsošana

Var teikt, ka divas līnijas šķērso viena otru, ja abas līnijas nav paralēlas un neatrodas vienā plaknē.

Lai saprastu dažādas iepriekšminēto līniju pozīcijas, aplūkojiet zemāk redzamo attēlu:

Stūris

Leņķis ir kaut kas, ko veido divu staru vai divu taisnu līniju satikšanās.

Šis leņķis ir apgabals, ko veido stars, kas tiek pagriezts stara pamatnē. Leņķi tiek apzīmēti, izmantojot simbolu “∠”.

Leņķa definīcija

Matemātikā leņķi var definēt kā laukumu, ko veido divu staru klātbūtne, kuru sākuma punkti ir saistīti vai sakrīt.

Stūris Ģeometrijā tas ir līnijas segmenta pagrieziena rādītājs no viena sākuma punkta uz otru.

Turklāt regulārā divdimensiju formā leņķi var definēt arī kā atstarpi starp diviem krustojošiem taisnas līnijas segmentiem. -sc: vikipēdija

Daļas leņķī

Leņķiem ir trīs svarīgas daļas, tostarp:

Leņķa kāja

Šī ir staru līnija, kas veido leņķi.

Stūra punkts

Tas ir sākuma punkts vai krustošanās punkts, kur staru līnija sakrīt.

Stūra laukums

Laukums vai atstarpe starp stūra abām kājām.

Lai iegūtu sīkāku informāciju, skatiet šo attēlu:

Leņķu veidi

Lai izteiktu leņķa lielumu, mēs izmantojam grādus (°), minūtes (‘) un arī sekundes (“), kur:

Pozīcija Divas līnijas

Šeit ir divu līniju pozīcijas, cita starpā:

• Divas vai vairākas līnijas tiek uzskatītas par paralēlām, ja tās atrodas vienā plaknē un nekad nesatiks un nekrustosies, ja līnija tiks pagarināta līdz bezgalībai ierobežots.
• Tiek teikts, ka divas līnijas krustojas, ja tās atrodas vienā plaknē un tām ir viens krustošanās punkts.
• Divas taisnes sakrīt, ja līnija ir taisna, tāpēc ir redzama tikai viena taisne.
• Tiek teikts, ka divas līnijas krustojas, ja tās neatrodas vienā plaknē un netiks krustotas, ja tās pagarinās.

Attiecības starp leņķiem

Kvadrātveida leņķis

Ja ir divi leņķi, kas sakrīt un veido taisnu leņķi, tad viens leņķis būs komplementārs leņķis pārējiem leņķiem tā, ka abus leņķus sauc par komplementāriem leņķiem (papildināt).

Šeit ir leņķa leņķa attēls:

Divu papildinošo leņķu summa ir 90 °. Viens leņķis ir otra leņķa papildinājums.

Taisns leņķis

Ja ir divi leņķi, kas sakrīt viens ar otru un veido taisnu leņķi, tad viens leņķis būs papildu leņķis otram leņķim. Tātad abus leņķus var saukt par papildu leņķiem.

Šeit ir attēls taisniem leņķiem:

Divu papildinošo leņķu summa ir 180 °. Viens leņķis ir otra leņķa papildinājums.

Attiecība starp leņķiem, kad divas līnijas ir paralēlas

Izgriezta ar citu līniju

Labi apskatiet zemāk redzamo attēlu:

Pretējs leņķis (tāds pats izmērs)

Tas ir leņķis, kuram ir tāda pati pozīcija un vienāds lielums. Iepriekš redzamajā attēlā pretējie leņķi ir:

A = E
B = F
C = G
D = H

Pretējie iekšējie leņķi (tas pats mērs)

Vai leņķis ir iekšpusē, un tā pozīcija ir pretī viens otram. Iepriekš redzamajā attēlā pretējie iekšējie leņķi ir:

C = E
D = F

Pretējie ārējie leņķi (tāds pats izmērs)

Ir leņķis, kas atrodas ārpusē un ir pretī viens otram, piemēram:

A = G
B = H

Pretēji un pretēji leņķi

• Ja divas paralēlas līnijas sagriež cita līnija, veidojas četri pretēju leņķu pāri, kuru lielums ir vienāds.
• Ja divas līnijas ir sagrieztas ar citu līniju, tad pretējo izveidoto ārējo leņķu izmēri ir vienādi.
• Ja divas paralēlas līnijas sagriež cita līnija, tad pretējie izveidotie iekšējie leņķi ir vienāda izmēra.
• Ja divas paralēlas līnijas sagriež cita līnija, tad iekšējo leņķu summa ir 180 °.

Iekšējais leņķis

Tas ir leņķis, kas atrodas iekšpusē, un tā stāvoklis atrodas tajā pašā pusē. Saskaitot kopā leņķi, kas atrodas vienā pusē, veidos 180 ° leņķi. Kā piemērs:

D + E = 180 °
C + F = 180 °

Vienpusējs ārējais stūris

Vai leņķis atrodas ārpusē un tā stāvoklis atrodas tajā pašā pusē. Saskaitot kopā leņķi, kas atrodas vienā pusē, veidos 180 ° leņķi. Kā piemērs:

B + G = 180 °
A + H = 180 °

Pretēji leņķi (vienāda izmēra)

Vai leņķis ir novietots pretēji viens otram, iepriekš redzamajā attēlā pretējie leņķi ir:

A = C
B = D
E = G
F = H

Pāris pretēji leņķi rodas, kad divas līnijas krustojas tā, ka divas Leņķus, kas ir pretēji krustošanās punktam, sauc par pretējiem leņķiem.
Divi pretēji leņķi ir vienādi.

Leņķa vienība

Grādos 1 grāda vērtība apzīmē leņķi, kas tiek pagriezts par 1/360 pagrieziena. Kas nozīmē 1 ° = 1/360 apgriezienu.

Lai norādītu leņķi, kas ir mazāks par grādiem (°), mēs varam izmantot minūtes (‘) un sekundes (’) simbolus.

Pievērsiet īpašu uzmanību grādu, minūšu un sekunžu attiecībām zemāk:

1 grāds (1 °) = 60 minūtes (60 ′)

1 minūte (1 ′) = 1/60 °

1 minūte (1 ′) = 60 sekundes (60 ”)

1 grāds (1 °) = 3600 sekundes (3600 ”)

1 sekunde (1 ”) = 1/3600 °

Leņķa mērījums radiānos

1 ° = p / 180 radiāni

vai

1 radiāns = 180 ° / lpp

Ja vērtība p = 3,14159 tātad:

1 ° = p / 180 radiāni = 3,14159 / 180 = 0,017453

vai

1 radiāns = 180 ° / p = 180 ° / 3,14159 = 57,296 °

Jautājumu un diskusiju paraugs

Šeit mēs sniegsim dažus jautājumus, kas saistīti ar līnijām un leņķiem, tostarp:

1. problēma.

Trīs līnijas katra k, l un m izkārtojumā, kā parādīts zemāk.

Līnija k ir paralēla līnijai l, un m līnija krustojas ar k un l.

Tātad, nosakiet:

a) pretēji leņķi
b) pretēji leņķi
c) pretēji leņķi iekšā
d) ārēji pretēji leņķi
e) iekšējie leņķi tajā pašā pusē
f) vienpusēji ārējie leņķi
g) taisni leņķi

Atbilde:

a) pretējie leņķi ir:

A1 ar B1
A4 ar B4
A2 ar B2
B3 ar B3

b) pretējie leņķi ir:

A1 ar A3
A2 ar A4
B1 ar B3
B2 ar B4

c) iekšējie pretējie leņķi (pretēji iekšpusē), proti:

A3 ar B1
A4 ar B2

d) ārējie pretējie leņķi ir:

A2 ar B4
A1 ar B3

e) iekšējie leņķi ir:

A3 ar B2
A4 ar B1

f) vienpusēji ārējie leņķi, proti:

A2 ar B3
A1 ar B4

g) taisni leņķi ir:

A1 ar A2
A1 ar A4
A2 ar A3
A3 ar A4
B1 ar B2
B1 ar B4
B2 ar B3
B3 ar B4

2. jautājums.

Ņemot vērā trīs līnijas, proti, k, l un m, kā arī leņķus, kas atrodas vidē. k un l ir paralēli, kamēr līnija m krusto līnijas k un l.

Ja P = 125 °, tad nosakiet pārējos septiņus leņķus ap to!

Atbilde:

R = P = 125 ° (jo R ir pretējs P)
T = P = 125 ° (jo T atbilst P)
V = R = 125 ° (Jo V ir pretējs R) ∠Q = 180 ° P = 180 ° - 125 ° = 55 ° (Jo Q ir P taisnotājs)
S = Q = 55 ° (Jo S ir pretējs Q)
U = Q = 55 ° (Jo U ir attiecībā pret Q)
W = U = 55 ° (Jo W ir pretējs U)

3. problēma.

Apskatiet attēlu zemāk, ja EF ir paralēls DG un trijstūris ABC ir vienādsānu trijstūris, kura leņķa C izmērs ir 40 °.

Pēc tam norādiet:

a) leņķa DBE lielums
b) leņķa BEF mērs
c) Leņķa CAG

Atbilde:

a) leņķa DBE lielums

Pirmais solis ir vispirms atrast leņķa ABC mērījumu. ABC ir vienādsānu trijstūris tā, lai ABC = BAC lielums. trīsstūris, ja mēs saskaitām, ir 180 °, ABC = (180 40): 2 = 70 °, tāpēc BAC ir arī 70 ° ∠DBE = ABC = 70 °, jo tie ir pretēji atpakaļ.

b) leņķa BEF mērs

BEF = ABC = 70 °, jo tie ir pretēji, vai BEF = DBE = 70 °, jo tie ir pretēji.

c) Leņķa CAG

CAG = 180 BAC = 180 70 = 110 °, jo CAG un BAC ir taisnas līnijas.

4. problēma. (ANO 2012./2013. Gada pakete 54.)

Apskatiet attēlu zemāk!

Leņķa taisnotāja SQR izmērs ir ...

1. 101°
2. 100°
3. 95°
4. 92°

Atbilde:

Uzmanību ** šis jautājums ir viens no triku jautājumiem, daudzi domā, ja jautājums tiek uzdots SQR, lai arī tika lūgts PQS.

Lai atbildētu uz šo jautājumu, vispirms jāmeklē x vērtība.

Šajā gadījumā ∠PQS un ∠SQR ir papildu leņķis, tāpēc:

∠PQS + ∠SQR = 180 °(5x) ° + (4x + 9) ° = 180 °9x ° + 9 = 180 °9x ° = 171 °x ° = 19 °

Taisnotājs ∠SQR = PQSTaisnotājs ∠SQR = (5x) °Taisnotājs ∠SQR = (5.19)°Taisnotājs ∠SQR = 95° (Atbilde C)

5. jautājums. (ANO 2009./2010. Gada pakete 10)

Apskatiet šo attēlu:

Leņķa skaitļa 1 izmērs ir 95 °, bet leņķa skaitļa 2 izmērs ir 110 °. 3. leņķa skaitlis ir ...

1. 5°
2. 15°
3. 25°
4. 35°

Atbilde:

∠1 = ∠5 = 95 ° (pretēji iekšējie leņķi)2 + 6 = 180 ° (izlīdzināti viens otram)110° + ∠6 = 180°∠6 = 70°∠5 + ∠6 + ∠3 = 180°95° + 70° + ∠3 = 180°165° + ∠3 = 180°∠3 = 15° (Atbilde B)

6. jautājums. (ANO 2010./2011. Gada pakete 15)

Apskatiet attēlu zemāk:

Liels ∠BCA ir….

1. 70°
2. 100°
3. 110°
4. 154°

Atbilde:

ABC + CBD = 180 ° (vienkāršs)ABC + 112 ° = 180 °ABC = 68 °BCA + ABC + BAC = 180 °BCA + 68 ° + 42 ° = 180 °BCA + 110 = 180 °BCA = 70 ° (Atbilde A)

7. jautājums. (ANO 2010./2011. Gada pakete 15)

Apskatiet attēlu zemāk:

Liels ∠P3 ir….

1. 37°
2. 74°
3. 106°
4. 148°

Atbilde:

P2 = 74° (pretēji ārējie leņķi)P2 + P3 = 180 ° (vienkārši)74 ° + P3 = 180 °P3 = 106 ° (Atbilde C)

8. jautājums. (ANO 2012./2013. Gada pakete)

Apskatiet attēlu zemāk:

Leņķa taisnotāja KLN izmērs ir ...

1. 31°
2. 72°
3. 85°
4. 155°

Atbilde:

Lai atbildētu uz šo jautājumu, pirmais solis, kas jums jāatrod, ir x vērtība.

Šajā jautājumā ∠KLN un ∠MLN ir papildu leņķis, tāpēc:

∠KLN + ∠MLN = 180 °(3x + 15) ° + (2x + 10) ° = 180 °5x ° + 25 ° = 180 °5x ° = 155 °x ° = 31 °

Taisnotājs ∠KLN = MLNTaisnotājs ∠KLN = (2x + 10) °Taisnotājs ∠KLN = (2.31 + 10)°Taisnotājs ∠KLN = 72° (Atbilde B)

9. problēma. (ANO 2012./2013. Gada pakete 2)

Apskatiet attēlu zemāk:

Liels makšķernieks ∠SQR ir….

1. 9°
2. 32°
3. 48°
4. 58°

Atbilde:

Uzmanību ** šis jautājums ir arī slazds, tāpēc daudzi cilvēki domā, ka šis jautājums tiek uzdots SQR, lai arī tika lūgts PQS.

Lai atbildētu uz šo jautājumu, pirmais solis, kas jums jāatrod, ir x vērtība.

Šajā jautājumā ∠SQR un ∠PQS ir taisns leņķis, tāpēc:

∠SQR + ∠PQS = 90 °(3x + 5) ° + (6x + 4) ° = 90 °9x ° + 9 ° = 90 °9x ° = 81 °x ° = 9 °

Leņķis ∠SQR = PQSLeņķis ∠SQR = (6x + 4) °Leņķis ∠SQR = (6.9 + 4)°Leņķis ∠SQR = 58° (Atbilde D)

10. jautājums. (ANO 2012./2013. Gada pakete 5)

Apskatiet attēlu zemāk:

Lielisks taisnotājs ∠AOC ir….

1. 32°
2. 72°
3. 96°
4. 108°

Atbilde:

Lai atbildētu uz 10. jautājumu, pirmais solis, kas jums jāatrod, ir x vērtība.

Šajā jautājumā ∠AOC un ∠BOC ir papildu leņķis, tāpēc:

∠AOC + ∠BOC = 180 °(8x - 20) ° + (4x + 8) ° = 180 °12x ° - 12 ° = 180 °12x ° = 192 °x ° = 16 °

Taisnotājs ∠AOC = BOCTaisnotājs ∠AOC = (4x + 8) °Taisnotājs ∠AOC = (4.16 + 8)°Taisnotājs ∠AOC = 72° (Atbilde B)

Šoreiz tas ir īss pārskats par līnijām un leņķiem, ko mēs varam nodot. Cerams, ka iepriekš minēto līniju un leņķu pārskatu var izmantot kā mācību materiālu.