Logaritmai: ypatybės, logaritminės lygtys, terminai, kalvos, problemos

Logaritmas yra matematinė operacija, kai ši operacija yra atvirkštinės (arba atvirkštinės) rodiklio ar galios operacija. Pagrindas arba pagrindas šioje logaritminėje formulėje paprastai yra raidės a forma.

Arba taip pat yra paminėta, jei šis logaritmas yra atvirkštinis arba atvirkštinis galios (rodiklio) nustatyti pagrindinio skaičiaus rodiklį.

Anglų kalba vadinamas logaritmas logaritmas.

Taigi iš esmės, studijuodami logaritmus, galime rasti skaičiaus galią su žinomu rodikliu.

Logaritmas

Sužinoję, kas yra logaritmas, jūs taip pat privalote žinoti bendrą šio logaritmo formą.

Čia yra bendra logaritmo forma:

Bendroji logaritmo forma:

Jeiguⁿ = x tada ^alogx = n

Informacija:

a: yra pagrindas, kuris turi šias sąlygas: a> 0 ir a 1.

x: yra skaičius, kurio ieško algoritmas (skaičius), sąlygos yra: x> 1

n: yra logaritmo galia.

Dabar pats laikas jums pažiūrėti toliau pateiktus klausimų pavyzdžius, kad galėtumėte geriau suprasti aukščiau pateiktą aprašymą:

1. Kai 3² = 9, tada logaritmine forma ji pasikeis į ³log 9 = 2
2. Kai 2³ = 8, tada logaritminėje formoje jis pasikeis į ²log 8 = 3
3. Kai 5³ = 125, tada logaritminėje formoje jis pasikeis į ⁵log 125 = 3

Kaip laikaisi? Dabar aš pradedu suprasti teisingai?

Na, paprastai čia, vis tiek dažnai patirsite painiavos nustatydami, kuris skaičius yra pagrindas, o kuris - skaičius.

Logaritmas yra matematinė operacija, kur yra atvirkštinis rodiklis arba jėga.

Pagrindinė logaritmo formulė: b^c = a parašyta taip ^blog a = c (b vadinamas baziniu logaritmu).

Ar ne?

Nusiraminkite vaikinai, raktas, kurį jūs tiesiog turite prisiminti, yra bazinis numeris tai yra bazė, viršuje prieš „žurnalo“ ženklą. Ir numerisrango rezultatas jis vadinamas kaip numerus, yra apačioje po žodžio „rąstas“. Lengva teisingai?

Logaritminės lygtys

Logaritminė lygtisa yra lygtis, kurioje kintamasis yra logaritmo pagrindas.

Šis logaritmas taip pat gali būti apibrėžtas kaip matematinė operacija, kuri yra atvirkštinė (arba atvirkštinė) rodiklio arba galios reikšmė.

Pavyzdys Skaičius 

Čia pateiksime keletą logaritminių skaičių pavyzdžių, įskaitant šiuos:

Be to, logaritmai taip pat turi tam tikrų savybių Būtina kad suprastum, čia. Kodėl privaloma?

Taip yra todėl, kad šios charakteristikos vėliau taps jūsų nuostata lengvai sprendžiant logaritmines problemas.

Nesuprasdami logaritmų savybių, negalėsite dirbti su logaritmo problemomis, tu žinai!

Tada viskas pragaras Kokios yra logaritmo savybės? Nagi, atkreipkite dėmesį į toliau pateiktas apžvalgas.

Logaritminės savybės

Toliau pateikiamos kai kurios logaritmų savybės, kurias turite suprasti, įskaitant:

Be kai kurių aukščiau nurodytų savybių, taip pat yra keletas logaritminių lygčių savybių, įskaitant:

Logaritminių lygčių ypatybės

Logaritminė lygtis taip pat turi keletą ypatingų savybių, kurios yra šios:

1. Logaritminės daugybos savybės 

Logaritminė daugybos savybė yra dviejų kitų logaritmų pridėjimo rezultatas, kuriame dviejų skaičių vertė yra pradinės skaitinės vertės veiksnys.

^arąstai p. q = ^ažurnalas p + ^ažurnalas q

Šiai vienai savybei yra kelios sąlygos, būtent: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

2. Logaritminis dauginimas

Logaritmų dauginimas yra logaritmo a savybė, kurią galima padauginti iš logaritmo b, jei logaritmo a skaitinė vertė yra lygi logaritmo b baziniam skaičiui.

Padauginimo rezultatas yra naujas logaritmas, kurio pagrindinis skaičius yra lygus logaritmui a. Ir turi tą pačią skaitinę vertę kaip logaritmas b.

^alog b x ^blogc = ^ažurnalas c

Šiai vienai savybei yra kelios sąlygos, būtent: a> 0, a \ ne 1.

3. Skirstymo pobūdis 

Logaritminė dalijimosi ypatybė yra atimant du kitus logaritmus, kai dviejų skaičių vertė yra pradinės logaritmo skaitinės vertės dalis arba padalijimo rezultatas.

^ažurnalo p / q: ^ažurnalas p - ^ažurnalas q

Šiai vienai savybei yra kelios sąlygos, būtent: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

4. Atvirkščiai palyginami bruožai

Atvirkščiai proporcinga logaritmo ypatybė yra savybė su kitais logaritmais, turinčiais pagrindinio skaičiaus vertę ir skaičių.

^alogb = 1 /^bžurnalas a

Šiai vienai savybei yra kelios sąlygos, būtent: a> 0, a \ ne 1.

5. Priešingas ženklas 

Priešingo ženklo logaritminė savybė yra savybė, turinti logaritmą, kurio skaičius yra atvirkštinė pradinės logaritmo skaitinės vertės dalis.

^alog p / q = - ^ažurnalo p / q

Šiai vienai savybei yra kelios sąlygos, būtent: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

6. Galių pobūdis 

Logaritminė galių savybė yra savybė, kurios skaitinė vertė yra rodiklis. Ir gali būti naudojamas kaip naujas logaritmas, suteikiant galią daugikliui.

^ažurnalas b^p = p. ^ažurnalas b

Šiai vienai savybei yra kelios sąlygos: a> 0, a \ ne 1, b> 0

7. Logaritminių pagrindinių skaičių galia 

Bazinio skaičiaus logaritminės galios galia yra savybė, kai pagrindinio skaičiaus vertė yra a rodiklis (galia), kurį galima naudoti kaip naują logaritmą, pašalinant skaičiaus galią daliklis.

a^plogb = 1 / p^ažurnalas b

Šiai vienai savybei yra kelios sąlygos, būtent: a> 0, a \ ne 1.

8. Logaritminiai pagrindiniai skaičiai, palyginami su skaitinėmis galiomis 

Bazinio skaičiaus savybė, proporcinga skaitmens galiai, yra savybė, kurios skaitinė vertė yra a bazinio skaičiaus vertės rodiklis (galia), kurio rezultato reikšmė yra tokia pati kaip skaitmens galios vertės kad.

^ažurnalas a^p = p

Šiai vienai savybei yra kelios sąlygos: a> 0 ir a \ ne 1.

9. Reitingas 

Logaritmų galia yra viena iš skaičių, kurių galios yra logaritmų pavidalu, savybių. Galios vertės rezultatas yra ta vertė, kur skaitmuo gaunamas iš logaritmo.

a ^alog m = m

Šiai vienai savybei yra kelios sąlygos, būtent: a> 0, a \ ne 1, m> 0.

10. Logaritminės bazės keitimas 

Šio logaritmo pagrindo keitimo pobūdį taip pat galima suskirstyti į dviejų logaritmų palyginimą.

^plog q = ^ažurnalo p /^a žurnalas q

Šiai vienai savybei yra kelios sąlygos, būtent: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0

Logaritminės lygties formulė

Remiantis aukščiau pateiktu aprašymu, logaritmas yra matematinė operacija, kuri yra atvirkštinė rodiklio ar galios atvirkštinė dalis.

Eksponentinės formos tarp lian logaritmo pavyzdys: a^b = c, jei bus išreikštas logaritminiu užrašu, jis bus ^alogc = b.

Teiginys yra toks:

• a yra bazinis arba bazinis skaičius.
• b yra logaritmų rezultatas arba diapazonas.
• c yra skaitmuo arba logaritmo sritis.

Su pastabomis:

Prieš rašydami toliau apie logaritmo formulę, turite suprasti, jei rašome ^alog b reiškia tą patį kaip žurnalas_a b.

Logaritminės lygties formulė, be kitų, yra:

Logaritminės lygties formulė:

Jei turime ^alogf (x) = ^alog g (x), tada f (x) = g (x).
Su kai kuriomis sąlygomis, tokiomis kaip: a> 0, a 1, f (x)> 0, g (x)> 0.

Logaritminės nelygybės:

Jei turime log f (x)> ^alog g (x), tada mes turime dvi būsenas:

Pirma, kai a> 0 reiškia: f (x)> g (x)
Antra, tuo metu 0

Klausimų ir diskusijų pavyzdžiai

Toliau pateiksime keletą klausimų pavyzdžių ir jų aptarimą. Atidžiai klausyk, taip.

Klausimų pavyzdžiai 1-3

1. ²rąstai 4 + ²log 8 =

2. ²log 32 =

3. Kai tai žinoma ²log 8 = m ir ²log 7 = n, tada raskite reikšmę ¹⁶rąstai 14!

Atsakymas:

1 problema.

Pirmas žingsnis, kurį turime padaryti, yra patikrinimas pagrindas.

Abi aukščiau pateiktos logaritmo lygtys, matyt, turi tą pačią bazinę vertę, kuri yra 2.

Todėl rezultatui rasti galime naudoti antrąją logaritmo savybę.

taip, kad ²rąstai 4 + ²log 8 = ²rąstas (4 × 8) = ²rąstai 32 = 5. Prisiminti! Logaritmo tikslas yra rasti jėgą.

Taigi, kas 2 iki 32 galios? Atsakymas yra ne kas kitas, o 5. Lengva, ar ne?

2 klausimas.

Pereikime prie 2 klausimo.

Klausime Nr. 2 mes negalime to padaryti iš karto, nes jūs tikrai patirsite painiavos ieškodami 8 galios vertės, kurios rezultatas yra 32. Tada kaip?

Jei pažvelgsime į problemą atidžiau, 8 yra 2 galios rezultatas³ taip pat 32, kuris yra 2 galios rezultatas⁵.

Todėl galime pakeisti logaritminę formą į:

⁸log 32 = ²³2 žurnalas

= 5/3 ²2 žurnalas (naudokite nuosavybės numerį 6)

= 5/3(1) = 5/3

3 problema.

Kaip jums sekasi vaikinai? Ar jau pradėjote jaudintis?

Na, diskusijoje apie 3 numerį tai dar labiau sujaudinsite!

Turite žinoti, kad 3 klausimo modelį dažnai rasite nacionalinių egzaminų klausimais arba universiteto atrankos klausimais tu žinai.

Iš pirmo žvilgsnio atrodo gana sudėtinga, taip, bet jei jau suprasite sąvoką, šią problemą padaryti bus labai lengva.

Jei radote tokį probleminį modelį, jo vertę galite rasti naudodami logaritminę 4 skaičiaus ypatybę.

Taigi, procesas bus:

²log 8 = m ir ²log 7 = n, ¹⁶rąstai 14?

¹⁶log 14 = ²žurnalas 14 / ²žurnalas 16

Pastaba:

Norėdami pasirinkti, kurią bazę galime ieškoti tiesiai į skaičių, kuris dažniausiai pasirodo problemoje. Kad žinotume, skaičius 2 pasirodo 2 kartus, 8 tiek, kiek 1 kartą, ir 7 - tiek, kiek 1 kartą.

Daugiausiai pasirodantis skaičius yra ne kas kitas, o 2, todėl pagrindu pasirenkame 2. Supratau?

= ²rąstai (7 x 2) / ²rąstai (8 x 2)

Tada mes apibūdinkite numerį.

Pabandykime pakeisti jį į jau problemoje esančią formą. Ką turi galvoje?

čia vaikinai, žinomu klausimu ²žurnalas 8 ir taip pat ²rąstai 7. Kadangi skaičiai yra ir 8, ir 7, 14 suskaidome į 7 × 2, o 16 - į 8 × 2, kad galėtume pamatyti galutinį rezultatą.

= ²žurnalas 7 + ²2 žurnalas / ²žurnalas 8 + ²2 žurnalas (naudokite nuosavybės numerį 2)

= n + 1 / m + 1

Kitas pavyzdinis klausimas.

1 problema. (EBTANAS '98)

Yra žinomas ³log 5 = x ir ³log 7 = y. Apskaičiuokite ³rąstai 245 ^1/2! (EBTANAS '98)

Atsakymas:

³rąstai 245 ^½ = ³rąstai (5 x 49) ^½

³rąstai 245 ^½ = ³rąstai ((5) ^½ x (49) ^½)

³rąstai 245 ^½ = ³rąstai (5) ^½ + ³rąstai (7²) ^½

³rąstai 245 ^½ = ½( ³žurnalas 5 + ³rąstai 7)

³rąstai 245 ^½ = (x + y)

Taigi, vertė ³rąstai 245 ^½ y. (x + y).

2 klausimas. (UMPTN '97)

Jei b = a⁴, a ir b reikšmės yra teigiamos, tada reikšmė ^ažurnalas b - ^bregistruoti ie…?

Atsakymas:

Yra žinoma, ar b = a⁴, tada galime jį pakeisti skaičiavimu:

^ažurnalas b - ^bloga = ^ažurnalas a⁴ - a⁴ žurnalas a

^ažurnalas b - ^bloga = 4 (^aloga) - 1/4 ( ^arąstai a)

^ažurnalas b - ^bloga = 4 - 1/4

^ažurnalas b - ^bloga = 3^3/4

Taigi, vertė ^ažurnalas b - ^bužregistruokite klausimą 2 numeris yra 3^3/4.

3 problema. (UMPTN '97)

Jei ^arąstai (1- ³log 1/27) = 2, tada apskaičiuokite a vertę.

Atsakymas:

Jei reikšmę 2 paversime logaritmu, kuriame tampa logaritmo pagrindinis skaičius ^ažurnalas a²= 2, tada gausime:

^arąstai (1- ³log 1/27) = 2

^arąstai (1- ³rąstai 1/27) = ^ažurnalas a²

Dviejų logaritmų skaitinė vertė gali būti lygtis, būtent:

1- ³žurnalas 1/27 = a²

³rąstai 3 - ³žurnalas 1/27 = a²

³rąstai 3 - ³3 žurnalas^(-3) = a²

³rąstai 3/3^-3 = a²

³3 žurnalas⁴ = a²

4 = a²

Taigi gauname reikšmę a = 2.

4 problema.

Jei yra žinoma, kad 2log 8 = a ir 2log 4 = b. Tada apskaičiuokite 6log 14 vertę

a. 1 /2
b. (1+2) / (2+1)
c. (a + 1) / (b + 2)
d. (1 + a) / (1 + b)

Atsakymas:

2 log 8 = a

= (log 8 / log 2) = a
= log 8 = log 2

2 log 4 = b

= (log 4 / log 2) = b
= log 4 = b log 2

Taigi, 16 log 8 = (log 16) / (log68)
= (log 2.8) / (2.4 log)
= (log 2 + log 8) / (log 2 + log 4)
= (log 2 + a log a) / (log 2 + b log b)
= log2 (1+ a) / log 2 (1+ b)
= (1 + a) / (1 + b)

Taigi, log log vertė 6 log 14 pavyzdyje yra (1 + a) / (1 + b). (D)

5 klausimas.

(3log 5 - 3 log 15 + 3log 9) vertė yra?

a. 2
b. 1
c. 4
d. 5

Atsakymas:

(3log 5 - 3log 15 + 3log 9
= 3 žurnalai (5. 9) / 15
= 3log 45/15
= 3log 3
=1

Taigi, 3log 5 - 3log 15 + 3log 9 vertė yra 1. (B)

6 klausimas.

Apskaičiuokite reikšmę žemiau esančioje logaritmo užduotyje:

1. (2log 4) + (2log 8)
2. (2log 2√2) + (2log 4√2)

Atsakymas:

1. (2log 4 + 2log 8) = (2log 4) x 8 = 2log 3 pagal 2 = 5 galią

2. (2log 2√2 + 2log 4√2) = (2log 2√2) x (4√2) = 2log 16 = 4

Taigi kiekvienos aukščiau nurodytos logaritmo problemos vertė yra 5 ir 4.

7 klausimas.

Apskaičiuokite reikšmę žemiau esančioje logaritmo užduotyje:

1. 2log 5 x 5log 64
2. 2 rąstai 25 x 5 žurnalai 3 x 3 žurnalai 32

Atsakymas:

1. (2log 5) x (5log 64) = 2log 64 = 2log 26 = 6

2. (2log 25) x (5log 3) x (3log 32) = (2log 52) x (5log 3) x (3log 25)
= 2. (2log 5) x (5log 3) x 5. (3logai 2)
= 2 x 5 x (2log 5) x (5log 3) x (3log 2)
= 10 x (2 log 2) = 10 x 1 = 10

Taigi, aukščiau pateikto klausimo vertė yra 6 ir 10.

8 klausimas.

Apskaičiuokite log 25 + log 5 + log 80 reikšmę ...

Atsakymas:

log 25 + log 5 + log 80
= rąstas (25 x 5 x 80)
= rąstai 10000
= žurnalas 104
= 4

9 problema.

Yra žinoma, kad log 3 = 0,332 ir log 2 = 0,225. Tada žurnalo 18 klausimas yra….

a. 0,889
b. 0,556
c. 0,677
d. 0,876

Atsakymas:

Žinomas:

• 3 žurnalas = 0,332
• 2 žurnalas = 0,225

Paklaustas:

• log 18 =….?

Atsakymas:

Rąstai 18 = rąstai 9. 2 žurnalas
18 žurnalas = (žurnalas 3. log 3). 2 žurnalas
Rąstai 18 = 2. (0,332) + (0,225)
18 žurnalas = 0.664 + 0.225
18 žurnalas = 0,889

Taigi, log 18 vertė aukščiau pateiktame klausime yra 0,889. (A)

10 klausimas.

Konvertuokite šiuos rodiklius į logaritminę formą:

1.  24 = 16
2.  58 = 675
3.  27 = 48

Atsakymas:

* Transponuokite rodiklius į logaritminę formą taip:

Jei ba = c reikšmė, tada tinklaraščio c = a vertė.

1.  24 = 16 → 2 žurnalai 16 = 4
2.  58 = 675 → 5 logai 675 = 8
3.  27 = 48 → 2 žurnalai 48 = 7

Taigi trumpa apžvalga, kurią šį kartą galime perduoti. Tikimės, kad pirmiau pateikta apžvalga gali būti naudojama kaip jūsų tyrimo medžiaga.