Viena kintama tiesinė nelygybė

Viena kintama tiesinė nelygybė Viena kintamoji tiesinė nelygybė yra atviras sakinys, turintis tik vieną kintamąjį, turintis pirmąjį laipsnį ir turintis ryšį ( > arba < ).

Pavyzdžiui, pažiūrėkite į keletą sakinių, panašių į toliau pateiktą:

1. X> 9
2. 3x - 3 <8
3. 3b > b + 6
4. 5n - 3 < 3n + 2

Kai kuriuose aukščiau esančiuose atviruose sakiniuose naudojami brūkšneliai, pvz., , > arba <. Tai rodo, kad sakinys yra nelygybė.

Kiekviena nelygybė turi tik vieną kintamąjį, būtent x, a ir n. Ši nelygybė vadinama vieno kintamojo nelygybe. Minėtos nelygybės kintamasis (kintamasis) vieno galiai arba dar vadinamas vienu laipsniu vadinamas linijine nelygybe.

Viena kintama tiesinė nelygybė yra atviras sakinys, turintis tik vieną kintamąjį ir laipsnį, ir yra ryšys ( arba £).

Bendrąją PtLSV formą kintamajame galima išreikšti taip:

ax + b <0, ax + b> 0 arba ax + b > 0, arba kirvis + b < 0, su a < 0, a ir b yra tikrieji skaičiai.

Toliau pateikiami keli PtLSV, naudojant x kintamąjį, pavyzdžiai, įskaitant:

1. 3x - 2 <0
2. 3x - 2 <0
3. 5x - 1> 8
4. 3x + 1 > 2x - 4
5. 10 < 2 (x + 1)

Vienos kintamos tiesinės nelygybės savybės

Panašiai kaip ir vieno kintamojo tiesinėje lygtyje, vieno kintamojo tiesinės nelygybės sprendimą galima rasti naudojant pakaitalą.

Tačiau tai galite padaryti ir atimdami, pridėdami, padauginę arba padalydami abi nelygybės puses iš to paties skaičiaus.

Nelygybė matematikoje yra sakinys arba matematinis teiginys, parodantis dviejų ar daugiau objektų dydžių palyginimą.

Kaip ir A

Nelygybė A

1. A + C
2. A - C
3. A x C 0 visiems x
4. A x C> B x C, jei C <0 visiems x
5. A / C 0 visiems x
6. A / C> B / C, jei C <0 visiems x

Turite atkreipti dėmesį, kad kai kurios anksčiau nurodytos savybės taip pat taikomos simboliui „>"arba"<”.

PtLSV klausimų pavyzdžiai ir kaip juos išspręsti

Toliau pateiksime problemos pavyzdį, kaip ją išspręsti, taip pat atsakymą į vieno kintamojo tiesinės nelygybės problemą. Čia yra visa apžvalga.

1. Vienas kintamasis tiesinės nelygybės pridėjimas ir atimimas (PtLSV)

Atkreipkite dėmesį į toliau nurodytas nelygybes:

x + 3 <8, kur x yra kintamasis iš sveiko skaičiaus.

Dėl:

x = 1, taigi 1 + 3 <8, yra teisinga
x = 2, taigi 2 + 3 <8, yra teisinga
x = 3, taigi 3 + 3 <8, yra teisinga
x = 4, taigi 4 + 3 <8, yra klaidinga

X pakeitimas 1,2 ir 3 taip, kad nelygybė x + 3 <8 būtų tiesa, vadinamas nelygybės sprendimu.

2. Vienos kintamosios tiesinės nelygybės (PtLSV) dauginimas arba dalijimas

Pažvelkite į šias nelygybes:

Natūraliems x skaičiams, mažesniems nei 10, tirpalas yra x = 7, x = 8 arba x = 9

Remdamiesi aukščiau pateiktu aprašymu, galime daryti išvadą, kad:

 "Kiekviena nelygybė išlieka lygiavertė, nelygybės ženklas nepakinta, nors abi pusės dauginamos iš to paties teigiamo skaičiaus"

Problemų pavyzdys:

Dabar apsvarstykite šias nelygybes:

a. –X> - 5, kur x yra natūralusis skaičius, mažesnis nei 8. Tenkinančio x pakaitalas yra x = 1, x = 2, x = 3 arba x = 4.

Kitas būdas išspręsti aukščiau pateiktą nelygybės problemą yra padauginti abi puses iš to paties neigiamo skaičiaus.

* –X> –5

–1 (–x)> - 1 (–5), (abi pusės padauginamos iš –1 ir lieka nelygybės ženklas)

x> 5

Sprendimas yra su x = 6 arba x = 7.

* –X> –5

–1 (–x) į

x <5

Sprendimas yra x = 1, x = 2, x = 3 arba x = 4.

Remiantis šiuo sprendimu paaiškėja, kad nelygybės, turinčios tą patį sprendimą, yra šios:

–X> –5 ir –1 (–x)

taigi, –x> –5 <=> –1 (–x)

b. –4x <–8, kur x yra natūralusis skaičius, mažesnis nei 4. Tinkamas x pakaitalas yra x = 2 arba x = 3. Taigi, sprendimas yra x = 2 arba x = 3.

Remdamiesi aukščiau pateiktu paaiškinimu, galime daryti išvadą, kad:

"Nelygybė, kai abi pusės padauginamos iš to paties neigiamo skaičiaus, nelygybės ženklas pasikeičia"

Pavyzdys:

3. Apie istoriją 

Klausimas 1.

Dviejų skaičių suma yra ne didesnė kaip 120. Jei antrasis skaičius yra 10 daugiau nei pirmasis skaičius, tada nustatykite pirmojo skaičiaus ribinę vertę.

Atsakymas:

Iš aukščiau pateiktos problemos galime pamatyti, kad yra du nežinomi kiekiai. Tai yra pirmasis ir antrasis skaičius.

Taigi toliau šiuos du dydžius padarysime kaip kintamuosius.

Pavyzdžiui:

Pirmuoju numeriu vadiname x, o 

Antruoju skaičiumi vadiname y.

Iš šios problemos mes taip pat žinome, kad antrasis skaičius yra „10 daugiau nei pirmasis skaičius“, todėl bus taikomi šie santykiai:

y = x + 10

Problemoje taip pat žinoma, kad dviejų skaičių suma yra „ne daugiau“ kaip 120.

Sakinys „ne daugiau“ rodo, kad nelygybė yra mažesnė nei lygi (≤). Taigi problemą atitinkanti nelygybės forma yra ta, kad nelygybė yra mažesnė nei lygi.

Tada mes konstruojame tokias nelygybes:

⇒ x + y ≤ 120

Kadangi y = x + 10, todėl nelygybė tampa:

⇒ x + x + 10 ≤ 120

⇒ 2x + 10 ≤ 120

⇒ 2x + 10 – 10 ≤ 120 – 10

⇒ 2x ≤ 110

⇒ x ≤ 55

taip, kad pirmojo skaičiaus ribinė vertė yra ne didesnė kaip 55.

Istorijos 2 klausimas.

Sijos rėmo, pagaminto iš vielos, kurios ilgis (x + 5) cm, plotis (x – 2) cm ir aukštis x cm.

• Nustatykite reikalingo laido ilgio lygties matematinį modelį x.
• Jei naudojamos vielos ilgis yra ne didesnis kaip 132 cm, tada nustatykite didžiausios sijos vertės dydį.

Atsakymas:

Kad mums būtų lengviau suprasti aukščiau pateiktą problemą, apsvarstykite toliau pateikto bloko iliustraciją:

• Pirmiau nustatykite matematinį problemos modelį.

Pavyzdžiui, K reiškia bendrą vielos ilgį, reikalingą sijos rėmui pagaminti, tada visas reikalingas laido ilgis yra visų kraštų suma.

Taigi, K ilgis yra toks.

K = 4p (ilgis) + 4l (plotis) + 4t (aukštis)

K = 4 (x + 5) + 4 (x – 2) + 4x

K = 4x + 20 + 4x – 8 + 4x

K = 12x + 12

Taigi, gauname matematinį pasakojimo problemos Nr. 2 modelį visam laido ilgiui, kuris yra K = 12x + 12.

• Pagal aukščiau pateiktą problemą nustatykite didžiausią bloko dydį.

Vielos ilgis neturi viršyti 132 cm ilgio, todėl nelygybės modelį galime parašyti taip:

K. ≤ 132

12x + 12 ≤ 132

Tada mes išsprendžiame tiesinę vieno kintamojo nelygybę naudodami tokį sprendimą:

12x + 12 ≤ 132

⇒ 12x ≤ 132 – 12

⇒ 12x ≤ 120

⇒ x ≤ 10

Iš sprendimo x ≤ 10, tada didžiausia x reikšmė yra 10. Taigi sijos ilgio, pločio ir aukščio dydis yra toks:

Ilgis = x + 5 ⇔ 10 + 5 = 15 cm

Plotis = x – 2 ⇔ 10 – 2 = 8 cm

Aukštis = x ⇔ 10 cm

Taigi mes gauname maksimalų bloką (15 × 8 × 10) cm.

Istorijos klausimai 3.

Dviejų skaičių suma yra mažesnė nei 80. Antrasis skaičius tris kartus viršija pirmąjį skaičių.

Nustatykite dviejų skaičių ribas.

Atsakymas:

Tarkime, kad pirmąjį skaičių vadiname x, tada antrasis skaičius yra lygus 3x.

Šių dviejų skaičių suma yra mažesnė nei 80. Todėl matematinis modelis yra toks:

x + 3x <80 ⇔ 4x <80

Šio matematinio modelio sprendimas yra 4x <80 ⇔ x <20.

Todėl pirmojo skaičiaus riba yra ne didesnė kaip 20, o antrojo skaičiaus - ne daugiau kaip 60.

Istorijos klausimai 4.

Stačiakampio stalo paviršiaus ilgis yra 16 x cm, o plotis - 10 x cm.

Jei plotas yra ne mažesnis kaip 40 dm2, tada nustatykite mažiausią stalo paviršiaus dydį.

Atsakymas:

Stalo paviršiaus ilgis:

• (p) = 16x
• plotis (l) = 10 x
• plotas = L.

Stačiakampio ploto matematinis modelis yra toks:

L = p × l

L = 16x × 10x

L = 160x2

Iš problemos teigiama, kad plotas yra ne mažesnis kaip 40 dm2 = 4000 cm2 taigi nelygybę galime užrašyti taip:

L = 160x2≥ 4.000

160x2≥ 4.000

Tada mes išspręsime nelygybę tokiu sprendimu:

160x2≥ 4.000

⇒ x2≥ 25

⇒ x ≥ ±5

Nes dydis negali būti neigiamas, tada minimali x = 5 cm vertė, taigi gausime:

p = 16x cm = 16 (5) cm = 80 cm

l = 10x cm = 10 (5) cm = 50 cm

Taigi minimalus stalo paviršiaus dydis yra (80 × 50) cm.

Istorijos klausimai 5.

Dviratis važiuoja keliu, kurio lygybė s (t) = t2– 10t + 39.

Jei x yra metrais, o t - sekundėmis, nustatykite laiko intervalą, per kurį dviratis nuvažiavo mažiausiai 15 metrų.

Atsakymas:

Dviratis gali įveikti mažiausiai 15 metrų atstumą, o tai reiškia s (t) ≥ 15.

Taigi, matematinis modelis yra t2– 10t + 39 ≥ 15. Šį modelį galime išspręsti taip:

t2– 10t + 39 ≥ 15

⇒ t2– 10t + 39 – 15 ≥ 0

⇒ t2– 10t + 24 ≥ 0

⇒ (t – 6) (t – 4) ≥ 0

⇒ t ≤ 4 arba t ≥ 6

Taigi laiko tarpas dviračiui įveikti mažiausiai 15 metrų atstumą yra t ≤ 4 sekundės arba t ≥ 6 sekundės.

Istorijos klausimai 6.

Ponas Irvanas turi lengvąjį automobilį, kuriame gabenamos prekės, kurių keliamoji galia ne didesnė kaip 500 kg.

Pak Irvano svoris yra 60 kg, jis gabens prekių dėžes, kurių kiekviena dėžutė sveria 20 kg. Tada:

• Nustatykite maksimalų dėžių skaičių, kurį ponas Irvanas gali gabenti vienu transportu!
• Jei ponas Irvanas ketina gabenti 115 miestų, bent kiek kartų dėžes bus galima gabenti visus?

Atsakymas:

Iš problemos gauname kelis matematinius modelius:

1. Pavyzdžiui, x reiškia miestų, kuriuos automobilis gali pervežti į vieną pusę, skaičių.
2. Kiekviena dėžutė sveria 20 kg, taigi x dėžė sveria 20x kg.
3. Bendras svoris į vieną pusę yra dėžutės svoris pridėjus pono Irvano svorį, kuris yra 20x + 60.
4. Automobilio keliamoji galia yra ne didesnė kaip, tada mes naudojame ženklą "≤”.
5. Keliamoji galia yra ne didesnė kaip 500 kg, todėl iš nuostatos (3) gaunamas toks nelygybės modelis =
   20x + 60 ≤ 500

• Nurodo maksimalų dėžių, kurias galima transportuoti vienu ypu, skaičių.

Kvadratų skaičiaus nustatymas yra tas pats, kas x vertės nustatymas, būtent išsprendžiant toliau nurodytas nelygybes:

20x + 60 ≤ 500

⇒ 20x ≤ 500 – 60

⇒ 20x ≤ 440

⇒ x ≤ 22

Iš šio sprendimo gauname didžiausią x vertę, kuri yra 22. Taigi kiekvieną kartą, kai automobilis su dėže gali gabenti ne daugiau kaip 22 dėžes.