3변량 선형 방정식 시스템: 기능, 구성 요소, 해결 방법 및 예제 문제

3변량 선형 방정식 시스템: 기능, 구성 요소, 해결 방법 및 예제 문제 –  삼변방정식이란 무엇을 의미합니까? 이 기회에 knowledge.co.id 소개 그것과 그것을 둘러싼 것들에 대해서도 논의할 것입니다. 더 잘 이해하기 위해 아래 기사에서 토론을 함께 살펴 보겠습니다.

3변량 선형 방정식 시스템: 기능, 구성 요소, 해결 방법 및 예제 문제

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3변수 방정식 시스템 또는 일반적으로 SPLTV로 약칭되는 시스템은 3개의 변수가 있는 선형 방정식 모음입니다. 선형 방정식은 방정식에서 변수의 가장 높은 지수가 1이라는 특징이 있습니다. 또한 방정식을 연결하는 부호는 등호입니다.

건축에는 건물을 짓기 위한 수학적 계산이 있으며 그 중 하나는 선형 방정식 시스템입니다. 선형 방정식 시스템은 교차점의 좌표를 결정하는 데 유용합니다. 스케치에 맞는 건물을 제작하려면 정확한 좌표가 필수적입니다. 이 기사에서는 3변수 선형 방정식(SPLTV) 시스템에 대해 설명합니다.

3가변 선형 방정식 시스템 - 2가변 선형 방정식 시스템(SPLDV)의 확장된 형태입니다. 3개의 방정식으로 구성된 3변수 선형 방정식 시스템에서 각 방정식은 3개의 변수(예: x, y 및 z)를 가집니다.

3변수 선형 방정식 시스템은 3개의 변수가 있는 여러 선형 방정식으로 구성됩니다. 변수가 3개인 선형 방정식의 일반 형식은 다음과 같습니다.

도끼 + 기준 + cz = d

a, b, c, d는 실수이지만 a, b, c가 모두 0일 수는 없습니다. 이 방정식에는 많은 솔루션이 있습니다. 임의의 값을 두 변수와 비교하여 세 번째 변수의 값을 결정하면 하나의 솔루션을 얻을 수 있습니다.

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3변수 선형 방정식 시스템의 특성

다음과 같은 특성을 갖는 방정식을 3변수 선형 방정식 시스템이라고 합니다.

• 등호(=) 관계 사용
• 세 가지 변수가 있음
• 세 변수의 차수는 1(순위 1)입니다.

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3개의 가변 선형 방정식 시스템 구성 요소

항상 3변수 선형 방정식 시스템과 관련된 세 가지 구성 요소 또는 요소를 포함합니다.

세 가지 구성 요소는 용어, 변수, 계수 및 상수입니다. 다음은 각 SPLTV 구성 요소에 대한 설명입니다.

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• 인종 그룹

용어는 변수, 계수 및 상수로 구성된 대수 형식의 일부입니다. 각 용어는 문장 부호를 더하거나 빼서 구분합니다.

예:

6x – y + 4z + 7 = 0이면 방정식의 항은 6x, -y, 4z 및 7입니다.

• 변하기 쉬운

변수는 일반적으로 x, y 및 z와 같은 문자를 사용하여 표시되는 변수 또는 숫자의 대체물입니다.

예:

율리사는 사과 2개, 망고 5개, 오렌지 6개를 가지고 있습니다. 방정식의 형태로 작성하면 다음과 같습니다.

예: 사과 = x, 망고 = y, 오렌지 = z이므로 등식은 2x + 5y + 6z입니다.

• 계수

계수는 같은 종류의 변수의 수를 나타내는 숫자입니다.

계수는 변수 앞에 있는 숫자라고도 합니다. 계수에 대한 방정식을 쓰는 것이 변수 앞에 있기 때문입니다.

예:

길랑에는 사과 2개, 망고 5개, 오렌지 6개가 있습니다. 방정식의 형태로 작성하면 다음과 같습니다.

예: 사과 = x, 망고 = y, 오렌지 = z이므로 등식은 2x + 5y + 6z입니다.

이 방정식에서 2, 5, 6은 계수이며 2는 x 계수, 5는 y 계수, 6은 z 계수임을 알 수 있습니다.

• 끊임없는

상수는 변수가 뒤에 오지 않는 숫자이므로 변수의 값에 관계없이 고정 또는 상수 값을 갖습니다.

예:

2x + 5y + 6z + 7 = 0, 이 방정식에서 상수는 7입니다. 7은 고정된 값을 가지고 있어 어떤 변수에도 영향을 받지 않기 때문입니다.

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3변수 선형 방정식의 시스템을 푸는 방법

값(x, y, z)은 값(x, y, z)이 SPLTV의 세 가지 방정식을 만족하는 경우 변수가 세 개인 선형 방정식 시스템에 대한 솔루션 세트입니다. SPLTV 솔루션 세트는 대체 방법과 제거 방법의 두 가지 방법으로 결정할 수 있습니다.

• 대체 방법

대입법은 한 방정식에서 변수 중 하나의 값을 다른 방정식으로 대입하여 선형 방정식 시스템을 푸는 방법입니다. 이 방법은 3변수 선형 방정식 시스템에서 모든 변수 값을 얻을 때까지 수행됩니다.

대체 방법은 계수가 0 또는 1인 방정식을 포함하는 SPLTV에서 사용하기 더 쉽습니다. 다음은 대체 방법으로 해결하는 단계입니다.

1. 간단한 형태를 가진 방정식을 찾으십시오. 간단한 형식의 방정식은 계수가 1 또는 0입니다.
2. 변수 중 하나를 다른 두 변수의 형태로 표현합니다. 예를 들어, 변수 x는 변수 y 또는 z로 표현됩니다.
3. 두 번째 단계에서 얻은 변수 값을 SPLTV의 다른 방정식에 대입하여 변수가 두 개인 선형 방정식 시스템(SPLDV)을 얻습니다.
4. 3단계에서 얻은 SPLDV 솔루션을 결정합니다.
5. 모든 알려지지 않은 변수의 값을 결정하십시오.

다음 예시 문제를 풀어보도록 하겠습니다. 아래의 선형 방정식의 3변수 시스템에 대한 솔루션 세트를 결정하십시오.

x + y + z = -6 … (1)

x – 2y + z = 3 … (2)

-2x + y + z = 9 … (3)

먼저 방정식 (1)을 z = -x – y – 6으로 방정식 (4)로 변경할 수 있습니다. 그러면 다음과 같이 방정식 (4)를 방정식 (2)로 대체할 수 있습니다.

x – 2y + z = 3

x – 2y + (-x – y – 6) = 3

x – 2y – x – y – 6 = 3

-3년 = 9

y = -3

그 후, 다음과 같이 방정식 (4)를 방정식 (3)으로 대체할 수 있습니다.

-2x + y + (-x – y – 6) = 9

-2x + y – x – y – 6 = 9

-3x = 15

x = -5

x = -5 및 y = -3 값이 있습니다. 다음과 같이 z 값을 얻기 위해 방정식 (4)에 대입할 수 있습니다.

z = -x – y – 6

z = -(-5) – (-3) – 6

z = 5 + 3 – 6

z = 2

따라서 솔루션 세트 (x, y, z) = (-5, -3, 2)를 얻습니다.

• 제거 방법

소거법은 두 방정식에서 변수 중 하나를 소거하여 선형 방정식 시스템을 푸는 방법입니다. 이 방법은 변수가 하나만 남을 때까지 수행됩니다.

소거법은 모든 3변수 선형 방정식 시스템에 사용할 수 있습니다. 그러나 이 방법은 각 단계가 하나의 변수만 제거할 수 있기 때문에 긴 단계가 필요합니다. SPLTV 솔루션 집합을 결정하려면 제거 방법의 최소 3배가 필요합니다. 이 방법은 대체 방법과 결합하면 더 쉽습니다.

제거 방법을 사용하여 해결하는 단계는 다음과 같습니다.

1. SPLTV에서 세 가지 방정식을 관찰하십시오. 동일한 변수에 대해 동일한 계수 값을 갖는 방정식이 두 개 있는 경우 변수의 계수가 0이 되도록 두 방정식을 빼거나 더합니다.
2. 두 변수의 계수가 동일하지 않은 경우 두 방정식의 변수 계수를 동일하게 만드는 숫자를 두 방정식에 곱합니다. 변수의 계수가 0이 되도록 두 방정식을 빼거나 더합니다.
3. 다른 방정식 쌍에 대해 2단계를 반복합니다. 이 단계에서 생략된 변수는 2단계에서 생략된 변수와 동일해야 합니다.
4. 이전 단계에서 두 개의 새로운 방정식을 얻은 후 2변수 선형 방정식 시스템(SPLDV) 솔루션 방법을 사용하여 두 방정식에 대한 솔루션 세트를 결정합니다.
5. SPLTV 방정식 중 하나에 4단계에서 얻은 두 변수의 값을 대입하여 세 번째 변수의 값을 얻습니다.

다음 질문에서 제거 방법을 사용하려고 합니다. SPLTV 솔루션 세트를 결정하십시오!

2x + 3y – z = 20 … (1)

3x + 2y + z = 20 … (2)

X + 4y + 2z = 15 … (3)

SPLTV는 변수 z를 제거하여 솔루션 집합을 결정할 수 있습니다. 먼저 방정식 (1)과 (2)를 더하여 다음을 얻습니다.

2x + 3y – z = 20

3x + 2y + z = 20 +

5x + 5년 = 40

x + y = 8 … (4)

그런 다음 방정식 (2)에서 2를 곱하고 방정식 (1)에서 1을 곱하여 다음을 얻습니다.

3x + 2y + z = 20 |x2 6x + 4y + 2z = 40

x + 4y + 2z = 15 |x1 x + 4y + 2z = 15 –

5배 = 25

엑스 = 5

x의 값을 알고 나면 다음과 같이 방정식 (4)에 대입하십시오.

엑스 + 와이 = 8

5 + 와이 = 8

y = 3

다음과 같이 방정식 (2)에 x 및 y 값을 대입하십시오.

3x + 2y + z = 20

3(5) + 2(3) + z = 20

15 + 6 + z = 20

z = -1

따라서 SPLTV(x, y, z)에 대한 솔루션 세트는 (5, 3, -1)입니다.

• 결합 또는 혼합 방법

결합 또는 혼합 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템을 푸는 것은 한 번에 두 가지 방법을 결합하여 푸는 방법입니다.

문제의 방법은 제거 방법과 대체 방법입니다.

이 방법은 치환법을 먼저 사용하거나 소거법을 먼저 사용하여 사용할 수 있습니다.

그리고 이번에는 다음과 같은 두 가지 기술을 결합하거나 혼합한 방법을 시도합니다.

먼저 제거한 다음 대체 방법을 사용하십시오.
먼저 대체한 다음 제거 방법을 사용합니다.

과정은 소거법과 대입법을 사용하여 SPLTV를 푸는 것과 거의 동일합니다.

이 조합 또는 혼합을 사용하여 SPLTV를 해결하는 방법에 대해 더 많이 이해할 수 있도록 여기에서 몇 가지 질문 및 토론의 예를 제공합니다.

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문제 예

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문제 1.

대체 방법을 사용하여 아래의 SPLTV 솔루션 집합을 결정합니다.
x – 2y + z = 6
3x + y – 2z = 4
7x – 6y – z = 10

답변:

첫 번째 단계는 먼저 가장 간단한 방정식을 결정하는 것입니다.

세 방정식 중 첫 번째 방정식이 가장 간단합니다. 첫 번째 방정식에서 다음과 같이 변수 x를 y와 z의 함수로 표현합니다.

⇒ x – 2y + z = 6

⇒ x = 2y – z + 6

변수 x를 두 번째 방정식에 대입합니다.

⇒ 3x + y – 2z = 4

⇒ 3(2y – z + 6) + y – 2z = 4

⇒ 6y – 3z + 18 + y – 2z = 4

⇒ 7년 – 5z + 18 = 4

⇒ 7년 – 5z = 4 – 18

⇒ 7y – 5z = –14 … … (1)

세 번째 방정식에 변수 x를 대입합니다.

⇒ 7x – 6y – z = 10

⇒ 7(2y – z + 6) – 6y – z = 10

⇒ 14년 – 7z + 42 – 6년 – z = 10

⇒ 8년 – 8z + 42 = 10

⇒ 8년 – 8z = 10 – 42

⇒ 8년 – 8z = –32

⇒ y – z = –4 ……………… 식. (2)

방정식 (1) 및 (2)는 SPLDV y 및 z를 형성합니다.
7y – 5z = –14
y – z = –4

그런 다음 대체 방법을 사용하여 위의 SPLDV를 풉니다. 가장 간단한 방정식 중 하나를 선택하십시오. 이 경우 두 번째 방정식이 가장 간단한 방정식입니다.

두 번째 방정식에서 다음을 얻습니다.

⇒ y – z = –4

⇒ y = z – 4

변수 y를 첫 번째 방정식에 대입합니다.

⇒ 7년 – 5z = –14

⇒ 7(z – 4) – 5z = –14

⇒ 7z – 28 – 5z = –14

⇒ 2z = –14 + 28

⇒ 2z = 14

⇒ z = 14/2
⇒ z = 7

z = 7 값을 SPLDV 중 하나로 대체합니다(예: y – z = –4).

⇒ y – z = –4

⇒ y – 7 = –4

⇒ y = -4 + 7

⇒ y=3

그런 다음 값 y = 3 및 z = 7을 SPLTV 중 하나(예: x – 2y + z = 6)로 대체하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

⇒ x – 2y + z = 6

⇒ x – 2(3) + 7 = 6

⇒ x – 6 + 7 = 6

⇒ x + 1 = 6

⇒ x = 6 – 1

⇒ 엑스 = 5

따라서 x = 5, y = 3 및 z = 7을 얻습니다. 따라서 SPLTV 문제에 대한 솔루션 세트는 {(5, 3, 7)}입니다.
얻은 x, y, z 값이 올바른지 확인하기 위해 위의 세 가지 SPLTV에 x, y, z 값을 대입하여 확인할 수 있습니다. 그 중에서도:

방정식 I:

⇒ x – 2y + z = 6

⇒ 5 – 2(3) + 7 = 6

⇒ 5 – 6 + 7 = 6

⇒ 6 = 6(참)

방정식 II:

⇒ 3x + y – 2z = 4

⇒ 3(5) + 3 – 2(7) = 4

⇒ 15 + 3 – 14 = 4

⇒ 4 = 4(참)

방정식 III:

⇒ 7x – 6y – z = 10

⇒ 7(5) – 6(3) – 7 = 10

⇒ 35 – 18 – 7 = 10

⇒ 10 = 10(참)
위의 데이터에서 우리가 얻은 x, y 및 z 값이 정확하고 해당 세 변수의 선형 방정식 시스템을 충족함을 확인할 수 있습니다.

문제 2.

주어진 선형 방정식 시스템:

(i) x -3y +z =8

(ii) 2x =3y-z =1

(iii) 3x -2y -2z =7

x+y+z 값은

A. -1

비. 2

씨. 3

디. 4

논의:

방정식 (i)에서 x – 3y + z = 8 → x = 3y – z + 8 … (iv)

방정식 (iv)를 방정식 (ii)로 대체하십시오.
2x + 3y – z = 1
2(3y – z + 8) + 3y – z = 1
6y – 2z + 16 + 3y – z = 1
9y – 3z + 16 = 1
3z = 9년 + 15
z = 3y + 5 …. (V)

방정식 (iv)를 방정식 (iii)으로 대체하십시오.
3x – 2년 – 2z = 7
3(3y – z + 8) – 2y – 2z = 7
9y – 3z + 24 – 2y – 2z = 7
7y – 5z + 24 = 7
5z = 7y + 24 – 7
5z = 7y + 17… (vi)

방정식 (v)를 방정식 (vi)로 대체하십시오.
5z = 7년 + 17
5(3년 + 5) = 7년 + 17
15년 + 25 = 7년 + 17
15년 – 7년 = -25 + 17
8년 = -8 → y = -1 …. (vii)

방정식 (vi)에서 y = – 1의 값을 대입하여 z 값을 얻습니다.
5z = 7년 + 17
5z = 7( – 1) + 17
5z = – 7 + 17
5z = 10 → z = 2 … (ⅲ)

방정식 (i)에서 값 y = – 1 및 z = 2를 대입하여 값 x를 얻습니다.
x – 3y + z = 8
x – 3(- 1) + 2 = 8
엑스 + 3 + 2 = 8
엑스 + 5 = 8
x = 8 – 5 → 엑스 = 3

연립방정식을 만족하는 세 변수의 값, 즉 x = 3, y = – 1, z = 2를 구합니다.

따라서 x + y + z = 3 + (-1) + 2 = 4의 값입니다.

답: D

선형 방정식 시스템이 주어지면

(i) = x – 3y +

논의:

방정식 (i)에서 x – 3y + z = 8 → x = 3y – z + 8 … (iv)

방정식 (iv)를 방정식 (ii)로 대체하십시오.
2x + 3y – z = 1
2(3y – z + 8) + 3y – z = 1
6y – 2z + 16 + 3y – z = 1
9y – 3z + 16 = 1
3z = 9년 + 15
z = 3y + 5 …. (V)

방정식 (iv)를 방정식 (iii)으로 대체하십시오.
3x – 2년 – 2z = 7
3(3y – z + 8) – 2y – 2z = 7
9y – 3z + 24 – 2y – 2z = 7
7y – 5z + 24 = 7
5z = 7y + 24 – 7
5z = 7y + 17… (vi)

방정식 (v)를 방정식 (vi)로 대체하십시오.
5z = 7년 + 17
5(3년 + 5) = 7년 + 17
15년 + 25 = 7년 + 17
15년 – 7년 = -25 + 17
8y = -8 → y = – 1 …. (vii)

방정식 (vi)에서 y = – 1의 값을 대입하여 z 값을 얻습니다.
5z = 7년 + 17
5z = 7( – 1) + 17
5z = – 7 + 17
5z = 10 → z = 2 … (viii)

방정식 (i)에서 값 y = – 1 및 z = 2를 대입하여 값 x를 얻습니다.
x – 3y + z = 8
x – 3(- 1) + 2 = 8
엑스 + 3 + 2 = 8
엑스 + 5 = 8
x = 8 – 5 → x = 3

연립방정식을 만족하는 세 변수의 값, 즉 x = 3, y = – 1, z = 2를 구합니다.

따라서 x + y + z = 3 + (-1) + 2 = 4의 값입니다.

답: D

문제 3.

결합된 방법을 사용하여 아래 선형 방정식의 3변수 시스템의 솔루션 세트를 결정합니다.
x + 3y + 2z = 16
2x + 4y – 2z = 12
x + y + 4z = 20

답변:

대체 방법(SPLTV)

첫 번째 단계는 가장 간단한 방정식을 결정합니다. 위의 세 방정식에서 세 번째 방정식이 가장 간단한 방정식임을 알 수 있습니다.

세 번째 방정식에서 다음과 같이 변수 z를 y와 z의 함수로 표현합니다.

⇒ x + y + 4z = 20

⇒ x = 20 – y – 4z … … (1)

그런 다음 위의 방정식 (1)을 첫 번째 SPLTV에 대입하십시오.

⇒ x + 3y + 2z = 16

⇒ (20 – y – 4z) + 3y + 2z = 16

⇒ 2년 – 2z + 20 = 16

⇒ 2년 – 2z = 16 – 20

⇒ 2년 – 2z = –4

⇒ y – z = –2... 당. (2)

그런 다음 위의 방정식 (1)을 두 번째 SPLTV에 대입하십시오.

⇒ 2x + 4y – 2z = 12

⇒ 2(20 – y – 4z) + 4y – 2z = 12

⇒ 40 – 2년 – 8z + 4년 – 2z = 12

⇒ 2년 – 10z + 40 = 12

⇒ 2년 – 10z = 12 – 40

⇒ 2y – 10z = –28 … … (3)

방정식 (2)와 방정식 (3)에서 다음과 같이 SPLDV y 및 z를 얻습니다.
y – z = –2
2년 - 10z = -28

제거 방법(SPLDV)

y를 제거하거나 제거하려면 두 방정식의 y 계수가 동일하도록 첫 번째 SPLDV에 2를 곱합니다.

다음으로 두 방정식을 미분하여 다음과 같은 z 값을 얻습니다.

y – z = -2 |×2| → 2년 – 2z = -4

2y – 10z = -28 |×1| → 2년 – 10z = -28
__________ –
8z = 24
z = 3

z를 제거하려면 두 방정식의 z 계수가 동일하도록 첫 번째 SPLDV에 10을 곱합니다.

그런 다음 두 방정식을 빼서 다음과 같이 y 값을 얻습니다.

y – z = -2 |×10| → 10년 – 10z = -20

2y – 10z = -28 |×1| → 2년 – 10z = -28
__________ –
8년 = 8
z = 1

지금까지 y = 1 및 z = 3 값을 얻습니다.

마지막 단계는 x의 값을 결정하는 것입니다. x 값을 결정하는 방법은 SPLTV 중 하나에 y 및 z 값을 입력하는 것입니다. 예를 들어 x + 3y + 2z = 16이므로 다음과 같이 됩니다.

⇒ x + 3y + 2z = 16

⇒ x + 3(1) + 2(3) = 16

⇒ x + 3 + 6 = 16

⇒ x + 9 = 16

⇒ x = 16 – 9

⇒x = 7

그런 식으로 x = 7, y = 1 및 z = 3 값을 얻으므로 위 문제에 대한 SPLTV 솔루션 세트는 {(7, 1, 3)}입니다.

따라서 리뷰는 knowledge.co.id 소개 ~에 대한3변수 선형 방정식 시스템, 통찰력과 지식을 더할 수 있기를 바랍니다. 방문해 주셔서 감사합니다. 다른 기사를 읽는 것을 잊지 마십시오.