ვექტორული მათემატიკა: ტიპები, ოპერაციები, ორთოგონალური პროგნოზები, აღნიშვნები, პრობლემები

მათემატიკური ვექტორი არის სიდიდე, რომელსაც აქვს მიმართულება, თავად ეს ვექტორი შეიძლება აისახოს ისრის გამოყენებით, რომლის მიმართულება მიუთითებს ვექტორის მიმართულებით. ხაზის სიგრძე ჩვეულებრივ მოიხსენიება როგორც ვექტორის ზომა.

თუ ვექტორი იწყება A წერტილში და მთავრდება B წერტილში, მაშინ ვექტორის დაწერა შესაძლებელია მცირე ასოის გამოყენებით, რომელზეც ზემოდან არის ტირილი ან ისარი (

ან ). ან ის ასევე შეიძლება გაკეთდეს ისე, როგორც ქვემოთ მოცემულ სურათზე:

მაგალითად, ვექტორი არის ვექტორი, რომელიც იწყება A წერტილიდან (x)₁. y₁) მიდის B წერტილამდე (x₂. y₂) ქვემოთ შეგვიძლია დავხატოთ კარტესიანული კოორდინატები.

წრფის სიგრძე x ღერძის პარალელურად არის v₁ = x₂ - x₁ და y ღერძის პარალელურად წრფის სიგრძეა v₂ = წ₂ - ი₁ რამდენიმე ვექტორული კომპონენტია .

ვექტორული კომპონენტები  ვექტორების ალგებრული გამოსახატავად შეგვიძლია დავწეროთ, როგორც:

ვექტორის ტიპი

მათემატიკაში არსებობს რამდენიმე სპეციალური ვექტორი, მათ შორის:

• პოზიციის ვექტორი
  ვექტორი, რომლის საწყისი წერტილი არის 0 (0,0) და ბოლო წერტილი არის A
• ნულოვანი ვექტორი
  ვექტორი, რომლის სიგრძე არის ნულოვანი და აღინიშნება . ნულოვან ვექტორს არ აქვს მკაფიო ვექტორის მიმართულება.
• ერთეულის ვექტორი
  ვექტორი, რომლის სიგრძეა ერთი ერთეული. ერთეულის ვექტორი ეს არის:
  
• ბაზის ვექტორი
  ბაზის ვექტორი არის ერთეულის ვექტორი, რომელიც ერთმანეთის პერპენდიკულარულია. ორგანზომილებიანი ვექტორულ სივრცეში (R²) აქვს ორი ფუძის ვექტორი, კერძოდ და . სამ განზომილებაში ყოფნისას (რ³) აქვს სამი ფუძის ვექტორი, კერძოდ , , და ასევე .

სხვადასხვა სახის და ვექტორული ოპერაციების ოპერაციები

მათემატიკური ვექტორი მხოლოდ რამდენიმე ტიპისგან არ შედგება, მაგრამ მათემატიკური ვექტორიც რამდენიმე სახისგან შედგება.

შემდეგში, ჩვენ ერთდროულად გთავაზობთ სხვადასხვა ვექტორებს, მათ ოპერაციებთან ერთად, კარგად გადავხედავთ მათ:

ვექტორი R2- ში 

ხაზის სეგმენტის სიგრძე, რომელიც წარმოადგენს ვექტორს, აღინიშნება გამოყენებით ან ასევე შეიძლება აღინიშნოს სიმბოლოს გამოყენებით ||

აქ მოცემულია ვექტორის სიგრძე, რომელიც შემდეგია:

ვექტორის სიგრძე არის ფორმა, რომელიც შეიძლება დაკავშირებული იყოს იმ კუთხესთან, რომელიც ადვილად შეიძლება ჩამოყალიბდეს ვექტორით და ასევე პოზიტიური ღერძით.

ვექტორული ოპერაცია R2– ზე 

ვექტორების შეკრებისა და გამოკლების პროცესი R2- ში 

შედეგი არის ორი ან მეტი ვექტორის დამატების შედეგის სახელი.

თვითონ ამ ვექტორის დამატება ასევე შეიძლება ალგებრული გზით გაკეთდეს და ასევე შეიძლება გაკეთდეს იმავე ან მომდევნო პოზიციაში მყოფი კომპონენტების დამატებით.

თუ:

შემდეგ:

შემდეგ გრაფიკული ჯამი შეგვიძლია დავინახოთ ქვემოთ მოცემულ მაგალითზე:

ეს ვექტორული გამოკლება განიხილება ისევე, როგორც დამატება, მათ შორის შემდეგი, იხილეთ ქვემოთ მოცემული მაგალითი:

თვისებები ამ ვექტორულ დამატებებში მოცემულია ქვემოთ, იხილეთ ფორმულა:

⇒ ვექტორის გამრავლება რ-ში² სკალართან ერთად 

თვითონ ვექტორი ასევე შეიძლება გამრავლდეს სკალარზე ან რეალურ რიცხვზე, რომელიც წარმოქმნის ახალ ვექტორს, თუ არის ვექტორი და k არის სკალა.

ასე რომ, ვექტორის გამრავლება შეიძლება აღინიშნოს, როგორც ქვემოთ:

კიდევ რამდენიმე დეტალი:

• თუ k> 0, მაშინ ვექტორი იქნება იმავე მიმართულებით, როგორც ვექტორი .
• თუ k <0, მაშინ ვექტორი იქნება ვექტორის საპირისპირო მიმართულებით .
• თუ k = 0, მაშინ ვექტორი არის პირადობის ვექტორი .

გრაფიკულად, ამ გამრავლებას შეუძლია შეცვალოს ვექტორის სიგრძე და ჩანს ქვემოთ მოცემულ ცხრილში:

თუ ალგებრულია, ვექტორული პროდუქტია სკალარული კ-ით შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ ისეთი ფორმულის გამოყენებით, როგორიც მოცემულია ქვემოთ:

ორი ვექტორის სკალარული გამრავლება რ-ში²

ორი ვექტორის სკალარული პროდუქტის დროს ის ასევე შეიძლება მოიხსენიებოდეს, როგორც ორი ვექტორის წერტილოვანი პროდუქტი, რომელიც შეგვიძლია დავწეროთ, როგორც ქვემოთ:

ვექტორი რ-ში³

ვექტორი მდებარეობს სამგანზომილებიან სივრცეში (x, y, z), სადაც მანძილი ორ ვექტორულ წერტილს შორის არის R³ ამის გარკვევა შეგიძლიათ პითაგორას ფორმულის შემუშავებით.

თუ A წერტილს (x₂. y₂. ზ₂) და B (x₂. y₂. ზ₂) არიან:

Ან თუ , ამიტომ:

ვექტორი შეიძლება გაკეთდეს ორი ფორმით, კერძოდ, სვეტში

ან რიგში უნდა იყოს

ვექტორები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ბაზის ვექტორების ხაზოვანი კომბინაციები, როგორიცაა ან და ან

შემდეგი სრულად:

ვექტორული ოპერაცია რ³

ვექტორული ოპერაციები რ³ ზოგადად, აქვთ იგივე კონცეფცია, როგორც ოპერაციები ვექტორ R- ზე² გარდა ამისა, გამოკლება და გამრავლება.

ვექტორების დამატება და გამოკლება R- ში³

ვექტორების შეკრება და გამოკლება რ³ იგივეა, რაც ვექტორ R- ში² კერძოდ:

ვექტორების გამრავლება რ-ში³ სკალარით

თუკი არის ვექტორი და k არის სკალა. შემდეგ ხდება ვექტორის გამრავლება:

ორი ვექტორის სკალარული პროდუქტი

ფორმულის გარდა R³, არსებობს ორი ვექტორის სკალარული პროდუქტის კიდევ ერთი ფორმულა. თუკი და შემდეგ არის:

ვექტორული ორთოგონალური პროექცია

თუ ვექტორი a დაპროექტებულია ვექტორად ბარბი და დაარქვეს სახელი  ქვემოთ მოყვანილი სურათი:

Ცნობილია:

ისე:

ვექტორის მისაღებად:

ვექტორული აღნიშვნა

როგორც ზემოთ აიხსნება, აქ ვექტორი წარმოდგენილია ასოების გამოყენებით, რომლებსაც მოცემულია მის ზემოთ ხაზის მიმართულება.

ვექტორები შეიძლება გამოიხატოს ორ განზომილებაში ან თუნდაც სამ განზომილებაში ან მეტი. სამ განზომილებაში გამოხატვისას, ვექტორს აქვს ერთეული ვექტორი, რომელიც გამოხატულია i, j და k მიხედვით.

ერთეულის ვექტორი არის ვექტორი, რომლის სიდიდე ერთი ერთეულია და მისი მიმართულება ძირითადი ღერძის გასწვრივ, კერძოდ:

მე არის ერთეულის ვექტორი ღერძის მიმართულებით x (აბსცისა)

კ არის ერთეულის ვექტორი ღერძის მიმართულებით y (ხელდასმული)

კ არის ერთეულის ვექტორი ღერძის მიმართულებით ზ (განცხადება)

თან ნაჯახი როგორც x მიმართულების კომპონენტი და a_y y ღერძის მიმართულების კომპონენტები და a_z არის z მიმართულების კომპონენტი.

ვექტორული წერის ფორმა:

მათემატიკაში უფრო ხშირად წერია სახით:

კომპონენტი ციფრული ინდექსის სახით:

ვექტორის სიგრძე (დიდი, მნიშვნელობა) იწერება, როგორც აბსოლუტური ნიშანი ალგებრში

ან რიცხვითი ინდექსში

თუ ვექტორი განისაზღვრება კოორდინატებით

შემდეგ ვექტორი AB წარმოდგენილია

ვექტორის სიგრძე AB

ამასობაში, ვექტორის ერთეულის ვექტორისთვის, რომელიც გამოხატულია, როგორც

გამოხატული

კითხვებისა და დისკუსიის ნიმუში

პრობლემა 1.

თუ ცნობილია, რომ არსებობს A წერტილი (2,4,6), წერტილი B (6,6,2) და C წერტილი (p, q, -6). თუ A, B და C წერტილები წრფეშია, გაიგეთ რა მნიშვნელობა აქვს p + q- ს!

პასუხი:

თუ A, B და C წერტილები წრფეშია, მაშინ ვექტორი და ვექტორი ის ასევე შეიძლება იყოს ცალმხრივი ან სხვადასხვა მიმართულებით.

ასე რომ, იქნება რიცხვი m, რომელიც მრავლობითია და შეუძლია შექმნას განტოლება, როგორც ქვემოთ მოცემულია:

• მ =

თუ B მდებარეობს A და C წერტილებს შორის, ის მიიღება, როგორც ნაჩვენებია ქვემოთ:

ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ მიიღოთ:

ასე რომ, შეიძლება განისაზღვროს m- ის ჯერადი განტოლებაში:

ამრიგად, შედეგებს მივიღებთ:

ჩვენ შეგვიძლია შემდეგნაირად გამოვიტანოთ დასკვნები:

p + q = 10 + 14 = 24

კითხვა 2

თუ ცნობილია, რომ ვექტორი A წერტილსა და B წერტილში და ვექტორი C წერტილში, რომელიც მდებარეობს Ab ხაზს შორის, როგორც ეს ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში. იპოვნეთ C ვექტორის განტოლება.

პასუხი:

ზემოთ მოცემული სურათიდან ჩანს, რომ:

ისე:

ამრიგად, ვექტორული მათემატიკის მოკლე მიმოხილვა, რომლის გადმოცემაც შეგვიძლია. ვიმედოვნებთ, რომ ვექტორული მათემატიკის ზემოხსენებული მიმოხილვა შეგიძლიათ გამოიყენოთ როგორც თქვენი სასწავლო მასალა.