数学関数の限界：三角法、無限大、問題例

数学の限界は、関数のプロパティを記述するために一般的に使用される数学の分野の概念です。

引数が無限遠点に近づくとき、またはインデックスが無限遠に近づくときのシーケンスの性質。

極限は、導関数や拡張を見つけるために使用される微積分やその他の数学的分析の分野で一般的に使用されます。

数学では、微積分を導入すると、一般に限界が研究され始めます。

関数の極限

場合 f(バツ）は実関数であり、 c が実数の場合、式は次のようになります。

次に、に等しい f(バツ）可能な限り近い値になるように作成できます L 価値を創造することによって バツ に近い c.

上記の例では、 f(バツ）if バツ 近づいています c、 あれは L. 前の文が当てはまる場合でも、覚えておく必要があります f(c) ≠ L. 実際、 f(バツ）その時点で再度定義する必要はありません c.

これは、特性を説明する2番目の例です。

例として：

いつ バツ 値2に近い。 この例では、 f(バツ）はポイント2で明確な定義があり、値は制限と同じで、0.4です。

場合 バツ 2に近いほど、 f(バツ）は0.4に近いため、

その場合 f 連続と呼ばれる バツ = c. ただし、この場合は常にそうであるとは限りません。

例として：

制限 g(バツ） 当時の バツ 0.4である2に近い（と同じ f(バツ）、 だが : g ポイントで不連続 バツ = 2.

または、例をとることができます。 f(バツ）その時点で定義されていません バツ = c：

この例では、 バツ 1に近い f(バツ）その時点で定義されていません バツ = 1 ただし、制限は2のままです。 バツ 1に近い場合、 f(バツ）は2に近づいています。

したがって、次のように結論付けることができます。

その後、 バツ できるだけ近くにすることができます 1、それが完全に同じでない限り 1したがって、の制限f（x）} f（バツ）は2です。

制限の正式な定義

正式な定義 制限 次の場合に定義 f ポイントを含む開区間で定義された関数です  （ポイントを除いて ） 及び L は実数です。 そのため;

つまり、それぞれの場合 > 0を取得します。これはすべてに当てはまります バツ ここで0 x – c | 、その後有効になります| f（x）– L | <

無限大での関数の極限

制限の概念 バツ 無限大に近づくと、正と負の両方が限界に関連する概念です バツ 数に近い。

これは、 バツ 無限大は数ではないので、無限大は小さくなります。

むしろそれはそれを意味します バツ 非常に大きいから無限大、または非常に小さいから負の無限大になります。

たとえば、次の関数について考えてみます。

1. f(100) = 1.9802
2. f(1000) = 1.9980
3. f(10000) = 1.9998

つまり、もっと バツ 増加すると、の値は f(バツ）は2に近くなります。 上記の例では、次のように言うことができます。

回線制限

次のシーケンスを検討してください：1.79、1.799、1.7999…..

上記のさまざまなリフトがラインの限界である1.8に近づいているかどうかを確認できます。

正式には、例えば バツ₁, バツ₂、…は実数のシーケンスです。 実数と言います（L） なので 制限 この行を次のように記述します。

つまり、0より大きいすべての実数には自然数があります。 n だからすべてのために： n > n, |バツ_n − L| < ε.

沿って 直感的 つまり、最終的にシーケンスのすべての要素が限界に近づくと、絶対値|バツ_n − L| 間の距離です バツ そしてまた L.

すべてのシーケンスに制限があるわけではありません。 どちらかといえば、私たちはそれを呼びます 収束。 そうでなければ、それは呼ばれます 発散.

収束シーケンスは、制限が1つしかないことを示すことができます。

シーケンス制限と機能制限は密接に関連しています。 一方では、数列の極限は、自然数に関して定義された関数の無限区間での極限です。

しかし一方で、関数の極限 f オン バツ、もしあれば、数列の極限に等しい バツ_n = f(バツ + 1/n).

代数関数の限界

代数関数の限界は、特定の入力点に近づく関数の動作に関する微積分と分析の基本概念の1つです。

関数マッピング出力 f（x） 入力ごとに バツ. この機能には制限があります L 入力ポイントで p いつ f（x） Lに「近い」場合 バツ に近い p.

つまり、言い換えれば、 f（x） に近づく L いつ バツ またに向かって近づいています p.

さらに、 f 各入力に適用 足りる に近い p、結果は（任意に）に近い出力になります L.

あなたは知っていますか？
17世紀と18世紀の微積分の開発には暗黙のうちに含まれていましたが、現代の限界の概念 新しい関数は、イプシロンデルタ技術の基礎を導入した1817年にボルツァーノによって議論されました。 しかし、彼の仕事は彼の生涯の間は不明です。 –sc：ウィキペディア

入力が 閉じる オン p 関数とは非常に異なる出力にマップされていることが判明しました f 制限はないと言われます。

限界の定義は19世紀から正式に策定されました。

代数関数の限界の概念

限界は、限界に達することとして定義できます。これは、近いが達成できないものです。

数学用語では、この状態は次のように呼ばれます。 制限.

限界は、何かが特定の数の値に「近い」または「近い」と言われる数学的概念です。 制限は、終域が特定の自然数の値に「ほぼ」または「近い」関数の形式にすることができます。

なぜ制限があるべきですか？ 限界に近づくと限界が機能を表すからです。

なぜあなたはそれに近づくべきですか？ 関数は通常、特定のポイントで定義されていないためです。

関数は特定の時点で定義されていないことがよくありますが、それでも見つけることができます 特定のポイントに近づいた場合、つまり関数によってどの値に近づいたか 制限。

数学言語では、制限は次のように記述されます。

つまり、xがaに近づくが、xがaに等しくない場合、f（x）はLに近づきます。 xのaへのアプローチを2つの側面、つまり左側と右側から、または次の単語で見ることができます。 そうしないと、xが左右の方向から近づく可能性があるため、左の制限と制限が生成されます。 正しい。

したがって、上記の説明から、次の式の例が得られます。

1に近いx値の場合：

グラフィック画像は次のとおりです。

上の図を見ると、次のように分類できます。

• xが左から1に近づくと、f（x）の値は2に近づきます。
  
• xが右から1に近づくと、f（x）の値は2に近づきます。
  
• したがって、xが1に近づくと、f（x）の値は2に近づきます。
  

定理またはステートメント

左と右の制限が同じ値である場合、関数には制限があると言われます。 したがって、左の制限と右の制限が同じでない場合、制限値は存在しません。

定義と極限定理。 上記のように、共通言語での制限は制限を意味します。

私たちが数学を勉強するとき、限界はアプローチであると言う教師がいます。

この制限の意味は、xが特定の値に近づくと、関数f（x）が特定の値に近づくことを示しています。

この近似は、と呼ばれる2つの非常に小さい正の数の間で制限されます。 イプシロンとデルタ.

これらの2つの小さな正の数の関係は、制限の定義に要約されます。

代数関数の極限の性質

場合 n は正の整数であり、 k 絶え間ない、 f そして g に制限がある関数です c、次に、次のプロパティのいくつかが適用されます。

代数的極限解法の種類

代数的限界を解くには、次のようないくつかの方法または方法があります。

• 代替方法
• 因数分解法
• 分母の最高指数で割る方法
• 公約数を掛ける方法

ここでは、方法を1つずつ説明します。 はい、注意深く聞いてください。

代数関数の限界値の決定

代数関数の限界を決定するには、次の2つのタイプがあります。

最初の形式：

そして2番目の形式は次のとおりです。

1. 代替方法

置換方法は、特定の値に近い変数のみを代数関数に置き換えます。

例として：

したがって、代数的極限関数の値は次のとおりです。

2. 因数分解法

因数分解法は、限界値を生成する置換の方法または方法を定義できない場合に使用されます。

例として：

因数分解法は、分子と分母の間の共通因子を決定することによって使用されます。

2番目の制限形式に関連して、関数制限の制限値を決定する方法はいくつかあります。 代数は、分母の最大の累乗で除算する方法または方法であり、係数を乗算する方法です。 友達。

3. 分母の最大パワーを分割する方法

例として：

以下の制限の代数関数の制限値を決定します。

問題の分子と分母の累乗は2なので、

そのため、 代数関数の限界値は次のとおりです。

質問2の例。

以下の制限の代数関数の制限値を決定します。

問題の分子と分母の累乗は3なので、

したがって、代数関数の極限の値は次のとおりです。

4. 複合因子を掛ける方法

この方法は、置換方法がすぐに不合理な制限値を生成する場合に使用されます。

関数はその共通のルートで乗算されるため、制限形式が不合理にならないため、値の直接置換を再度実行できます。 x→c .

例として：

無限代数関数の限界

代数関数の極限を操作する際に、無限大（∞）に近づくxの値もある場合があります。

したがって、関数を置き換えると、不確実な値が生成されます。

極限を運用する際には、注意を払う必要のあるいくつかの法則または極限定理があります。 nが整数、kが定数、関数fおよび関数gが、数値cに近い制限値を持つ関数である場合、次のようになります。

そして、無限形式の代数関数の限界を解くには、次の2つの方法があります。

1. 最高ランクで割る

このメソッドは、フォームの極限関数で使用されます .

この方法は、分子f（x）と分母g（x）を変数xで割ることによって実行できます。ⁿ 関数f（x）およびg（x）に含まれる最大電力。 そして、それを次のように置き換えることができます x→ ∞.

例として：

2. 複合形状の乗算

この方法は、フォームの極限関数に適用されます . この方法は、複合形式を乗算することで解決できます。

次に、最初の方法、つまり最大の累乗で除算して除算を進めます。

例として：

次に、分子と分母をxの最大の累乗であるxで除算します。¹:

三角関数の限界

制限は、三角関数でも使用できます。 解は代数的極限関数と同じです。 ただし、次の説明を理解するには、最初に三角法の概念を理解する必要があります。

三角関数のこの関数の限界に対する解決策は、正弦、余弦、および接線の形式にいくつかの変更を加えることで使用できます。

三角関数の制限には、次の3つの一般的な形式があります。

1. 形

この形式では、三角関数f（x）の限界は、三角関数からxにcの値を代入した結果です。

例として：

c = 0の場合、三角法の限界の式は次のとおりです。

2. 形

この形式では、制限は2つの異なる三角法の比率から取得されます。

これらの2つの三角法をcの値で直接置き換えると、f（c）= 0およびg（c）= 0が生成されます。

したがって、三角関数の制限の値は不確定な数値になります . 解は極限代数関数、つまり因数分解の解と同じです。

このフォームの例は次のとおりです。

3. 形

この形式では、限界は三角関数と代数関数の比較から得られます。

直接置換すると、不確定な数になります。 この形式では、デリバティブの概念で行われます。 この制限の基本的な式は次のとおりです。

上記の基本式に基づいて、さらに発展させると、次の式になります。

問題の例 とディスカッション

未定義の機能制限に取り組む方法

lim f（x）x→aでxをaに置き換えると、f（x）が未定義の値になる場合や、f（a）が0/0、/∞、または0.∞の形式を生成する場合があります。

この場合、解はf（x）の形式になります。 制限値を決定できるように、単純化してみてください。

フォーム制限0/0

フォーム0/0は、次の場所で発生する可能性があります。

そのような形に出くわしたら、消すことができる部分が見つかるまで関数を微調整してみてください。

二次方程式の形式である場合は、因数分解または関連付けを試すことができます。ルールがあることを忘れないでください。²-b² =（a + b）（a-b）。

ここに例を示します。

/∞.form

極限形式/∞は、次のように多項式関数で発生します。

問題の例：

以下の制限値を決定してみてください。

回答：

これは、/∞の形式の数学的限界式の簡単な要約です。

• mのとき
• m = nの場合、L = a / p
• m> nの場合、L =

極限形式（∞-∞）

フォーム（∞-∞）は、国家試験中によく表示されます。

質問の形式は非常にいくつかの種類があります。 しかし、解決策は単純化からそう遠くはありません。 ここでは、2013年の全国試験で出題された質問の例を示します。

2013年の国家試験の質問。

制限を設定する

x-> 1と入力すると、フォームは（∞-∞）になります。 そして、-∞フォームを削除するには、フォームを単純化して次のようにする必要があります。

クイック式は無限限界を解きます

最初の無限限界を解くための簡単な式を使用して、分数形式で無限限界問題を形成できます。

分数形式で無限の限界を見つけるには、各分子と分母の最大の累乗を考慮するだけで済みます。

発生する可能性のある3つの可能性があります。

• まず、分子の最高のパワーは分母の最高ランクよりも小さいです。
• 第二に、分子の最高ランクは分母の最高ランクと同じです。
• 第三に、分子の最高ランクは分母の最高ランクよりも高いです。

分数の形での無限限界値の3番目の式は、次の式で確認できます。

問題の例：

制限値： は…..

A。 – ∞

B。 – 5

C。 0

D。 5

E。 ∞

討論：

分子の最高ランク値は3で、分母の最高ランク値は2（m> n）です。 したがって、制限値はです。

回答：E

したがって、今回は数学的な限界について簡単に説明します。 うまくいけば、数学的な限界の上記のレビューはあなたの研究資料として使用することができます。