ピタゴラスの定理：材料、式、問題の例、考察

ピタゴラスの定理は、直角三角形の一辺の長さを決定するために使用できる数学的規則です。

この定理から覚えておく必要があるのは定理です 直角三角形にのみ適用されます。 したがって、直角でない別の三角形の辺を決定するために使用することはできません。

ピタゴラスの定理は、非常に多くの拡張と利点を持つ基本的な数学の科目の資料の1つに含まれています。

この資料も非常に広く使用されており、国家試験の質問で頻繁に出題されます。

基本的に、ピタゴラスの定理は非常に単純で、他の辺がすでにわかっている直角三角形の辺の長さを計算するように求められるだけです。

反対側がわからない場合は、少なくとも事前に別の方法で見つけることができます。

ピタゴラスの定理の詳細については、次のレビューを注意深くお読みください。

ピタゴラス定理の性質

ピタゴラスの定理には、次の2つのプロパティがあります。

1. 直角三角形のみ
2. 少なくとも2つの側面を事前に知ることができます

よく遭遇するもう1つの問題は、直角三角形を特定することです。

どちら側が斜辺であり、反対側も同様です。 そのために、直角三角形を提供し、直角三角形の各コンポーネントを理解するように勧めます。

しかしその前に、まず三角形の特徴を知りましょう。ここに完全なレビューがあります。

三角形の特徴

1. 斜辺の二乗=反対側の二乗の合計の場合、三角形は直角三角形です。
2. 斜辺の二乗
3. 斜辺の二乗>反対側の二乗の合計の場合、三角形は鈍角三角形です。

直角三角形の特定

覚えておくべき三角形の辺に名前を付けます

上の写真を見ると、それぞれの面に名前を付けた3つの面があります。

斜辺は（SM）と略され、基部側は（SA）と略され、直立側は（ST）と略されます。

上の写真では、斜辺が三角形の直角の真正面にあることがわかります。

正方形は通常、上に黒い矢印で示されているように、内側に小さなボックスが表示されます。

斜辺は上の三角形の直角の真向かいにあります。 ベース側とアップライト側の場合、誤って識別しても実際にはそれほど問題にはなりません。

なぜ直角三角形の形に注意を払い、理解する必要があるのですか？

なぜなら、その後ろに直角三角形を見つけたり、名前を変更したりしても、問題が発生しないからです。

そのため、直角三角形を理解して特定する必要があります。

たとえば、以下の画像をよく見てください。

直角三角形を逆にしましたが、斜辺、底辺、直立した側面を特定することができました。

上の写真では、斜辺が側面です r、ベース側はサイドです p、および垂直側は側です q.

さらに、最も誤解を招く問題は、ピタゴラスの定理式を記憶する際のエラーです。

これが完全なレビューです。

ピタゴラス定理式

ピタゴラス式 は、ピタゴラス定理の資料から得られた式です。

ピタゴラス定理自体は、前述のように、直角三角形の辺の関係を説明する定理です。

この定理は、ギリシャのピタゴラスという数学者によって最初に提唱されました。

ピタゴラス定理の音または定理は次のとおりです。

直角三角形では、最も長い辺の正方形は、辺の正方形の合計に等しくなります。

この定理から、次のように説明できる式を作成できます。

たとえば、Bで直角の三角形について考えてみます。 斜辺（斜辺）の長さがcで、その相補的な辺（斜辺以外）の長さがaとbの場合。 次に、上記のピタゴラス定理を次のように定式化できます。

ピタゴラス式

c²=a²+b²

情報：

c =斜辺
a =高さ
b =ベース

ピタゴラスの公式は、一般的に次のように直角三角形の斜辺の長さを見つけるために使用されます。

辺ACの正方形=辺ABの正方形+辺BCの正方形。 またはAC²=AB²+BC²

ベースの辺の長さを見つけるための式は次のとおりです。

b²= c²–a²

三角形の辺または高さを見つけるための式は次のとおりです。

a²= c²–b²

直角三角形の斜辺を見つけるための式は次のとおりです。

c²=a²+b²

ピタゴラス定理の使用

三角形の未知の辺の長さを決定するために使用されることに加えて、ピタゴラスの定理は、次のようないくつかの計算にも使用できます。

1. 正方形の対角線の長さを決定します
2. 立方体と直方体の対角線を決定します

ここでは、それぞれの使用法について説明します。

1. 正方形の対角線の長さを決定します

次の図に示すように、長方形ABCDが与えられます。

線ACは正方形の対角線です。 正方形の辺の長さがわかっている場合、対角線の長さは、次のようにピタゴラスの定理を使用して計算できます。

空調² = AB² +紀元前²

空調² = AD² + CD²

問題の例：

正方形のABCDの長さは8cm、幅は6cmです。 正方形の対角線の長さを見つけます。

回答：

知られている：

• 長さ= p = 8 cm
• 幅= L = 6 cm

質問：

• 対角= d =…？

ピタゴラスの定理に基づいて、次のようになります。

d² = p² + L²
d² = 8² + 6²
d² = 64 + 36
d² = 100
d = 100
d = 10 cm

したがって、上記の問題の正方形の対角線の長さは10cmです。

2. 立方体と直方体の対角線を決定します 

次の図に示すように、ブロックABCD.EFGHが与えられます。

線AGは、ブロック内の体対角線の1つです。 ピタゴラスの定理に基づいて、空間AGの対角線の長さを次のように計算できます。

AG² = AC² + CG²

情報：

AG =体対角線
CG =ブロックの高さ
AC =ベース平面の対角線

次に、ブロックのベースである正方形ABCDについて考えます。 ピタゴラスの音に基づいて、次の式を使用してAC平面の対角線の長さを計算できます。

空調² = AB² +紀元前²

情報：

AB =ブロックの長さ
BC =ブロックの幅

なぜなら、AC² = AB² +紀元前²、次に、スペースAGの対角線の長さの式を次のように変更できます。

AG² = AC² + CG²
AG² = AB² +紀元前² + CG²
AG² = p² + L² + t²

したがって、式は次のようになります。

d_r² = p² + L² + t²

情報：

d_r =体対角線
p =ブロックの長さ
L =ビームの幅
t =ブロックの高さ

問題の例：

ブロックの長さ、幅、高さはそれぞれ12 cm、9 cm、8cmです。 スペースの対角線の1つの長さを決定します！

回答：

知られている：

• p = 12 cm
• L = 9 cm
• t = 8cm

質問：

• d_r = … ?

音またはピタゴラスの定理に基づいて、次のようになります。

d_r² = p² + L² + t²
d_r² = 12² + 9soup> 2 + 8²
d_r² = 144 + 81 + 64
d_r² = 289
d_r = √289
d_r = 17 cm

したがって、スペースの対角線の長さは17cmです。

直角三角形の辺の長さの決定

数学的には、ピタゴラスの公式は通常、直角三角形の辺の長さを決定するために使用されます。

詳細については、以下のサンプルの質問のいくつかを検討してください。

ピタゴラス問題（ピタゴラス）の例とその解決策

問題1。

Bに直角の直角三角形ABCは次のように記述されることが知られています。

上の写真で斜辺ACの長さを決定してください！

回答：

上の三角形は直角三角形なので、ピタゴラスの公式は次のように適用されます。

AC²=AB²+BC²
AC²=8²+6²
AC²= 64 + 36
AC²= 100
AC = 100
AC = 10

したがって、直角三角形の辺ACの長さは10cmです。

質問2。

Lで直角のKLM直角三角形を以下に示します。

上の写真で辺KLの長さを決めてください！

回答：

上の三角形は直角三角形であるため、ピタゴラスの公式は次のように適用されます。

KM²=KL²+LM²
KL²= KM²–LM²
KL²= 13²–12²
KL²= 169 – 144
KL²= 25
KL = 25
KL = 5

したがって、上の直角三角形の辺KLの長さは5cmです。

問題3。

Eで直角の直角三角形DEFは次のように記述されることが知られています。

上の写真で辺DEの長さを決定してください！

回答：

上記の三角形DEFは直角三角形であるため、ピタゴラスの公式は次のように適用されます。

DF²=DE²+EF²
DE²= DF²–EF²
DE²= 15²–9²
DE²= 225 – 81
DE²= 144
DE = 144
DE = 12

したがって、上の直角三角形の辺DEの長さは12cmです。

問題4。

直角の直角三角形ABCがBにあることが知られています。 辺の長さAB = 16 cm、辺の長さBC = 12cmの場合。

次に、上の三角形の辺ACの長さを計算します。

回答：

上記の質問から、次のような直角三角形を描くことができます。

上の三角形は直角三角形であるため、ピタゴラスの公式は次のように適用されます。

c²=a²+b²
c²=12²+16²
c²= 144 + 256
c²= 400
c = 400
c = 20

したがって、上記の問題の直角三角形ABCの​​辺ACの長さは20cmです。

辺の長さがわかっている場合の三角形のタイプの決定

直角三角形の辺の長さを見つけることに加えて、ピタゴラスの公式は三角形のタイプを決定するためにも使用されます。

三角形は直角三角形ですか、鋭角三角形ですか、それとも鈍角三角形ですか？ それでは、ピタゴラスの公式で三角形のタイプを決定する方法は？

ピタゴラスの定理を使用して三角形のタイプを決定するには、最も長い辺の正方形を辺の正方形の合計と比較する必要があります。

一例として、直角三角形の斜辺の長さ（最も長い辺）はcであることが知られています。 そして、正方形の長さはaとbなので、次のようになります。

• c²
• c²=a²+b²の場合、三角形は直角三角形です。
• c²>a²+b²の場合、三角形は鈍角三角形です。

詳細については、以下のサンプル質問のいくつかを検討してください。

問題1。

Bに直角の直角三角形ABC。 辺の長さがAB = 8 cm、BC = 15 cm、AC = 20 cmの場合、三角形のタイプを決定します。

回答：

たとえば、aが最も長い辺で、b、cが他の2つの辺である場合、次のことを知ることができます。

• c = 20 cm
• b = 8 cm
• a = 15cm。

c²=20²= 400
a²+b²=8²+15²= 64 + 225 = 289

なぜなら、

c²>a²+b²
400 > 289

したがって、三角形ABCは鈍角三角形です。

質問2。

辺の長さが10cm、12 cm、15 cmの場合は、下の三角形の種類を決定してください。

回答：

たとえば、cが最も長い辺で、b、aが他の2つの辺である場合、次のことがわかります。

• c = 15 cm
• b = 10 cm
• a = 12cm。

c²=15²= 225

a²+b²=12²+10²= 144 + 100 = 344

なぜなら、

c²225 < 344

したがって、三角形は鋭角三角形です。

ピタゴラストリプル

以下の数字の例をいくつか見てください。

3、4、および5
6、8、および10
5、12、および13

上記の数字のいくつかは、ピタゴラスの公式の規則に従う数字です。

この数はピタゴラストリプルとして知られています。 ピタゴラスの三重数は次のように定義できます。

ピタゴラストリプルは正の整数であり、最大数の2乗は他の数の2乗の合計と同じ値になります。

一般に、ピタゴラストリプルは、原始ピタゴラストリプルと非原始ピタゴラストリプルの2つのタイプに分けられます。

原始ピタゴラストリプル は、すべての数値のGCFが1に等しいピタゴラストリプルです。

たとえば、原始ピタゴラストリプル数、つまり3、4、5および5、12、13から。

のために 非原始ピタゴラストリプル はピタゴラストリプルであり、その数のGCFは1に等しいだけではありません。

たとえば、6、8、および10。 9、12、および15; 12、16、および20; また、15、20、および25。

ピタゴラス数パターン（ピタゴラストリプル）は、ピタゴラス問題を簡単に解決するために使用されます。次の数パターン（ピタゴラストリプル）は次のとおりです。

a B C
3 – 4 – 5
5 – 12 – 13
6 – 8 – 10
7 – 24 – 25
8 – 15 – 17
9 – 12 – 15
10 – 24 – 26
12 – 16 – 20
12 – 35 – 37
13 – 84 – 85
14 – 48 – 50
15 – 20 – 25
15 – 36 – 39
16 – 30 – 34
17 – 144 – 145
19 – 180 – 181
20 – 21 – 29
20 – 99 – 101

そして他の多く。

情報：

a =三角形の高さ
b =三角形の底
c =斜辺

ピタゴラストリプルを見つける方法：

aとbが正の整数で、a> bの場合、次の式を使用してピタゴラストリプルを見つけることができます。

2ab、² – b²、² + b²

詳細については、以下の表を参照してください。

日常の問題におけるピタゴラス式の適用

ピタゴラスの公式は、さまざまな日常の活動で広く見られます。 以下では、ピタゴラス式のいくつかのアプリケーションのレビューを提供します。

階段から壁までの距離を決定する問題の例

下の画像を注意深く見てください。

はしごが壁にもたれかかっていることが知られています。 はしごの長さが5m、壁の高さが4mの場合。 次に、はしごの足と壁の間の距離を計算します。

回答：

たとえば、はしごの足と壁の間の距離はxであるため、xの値を決定するには、次のようにピタゴラスの公式を使用できます。

知られている：

• 斜辺またはc = 5m
• 高さまたはb = 4m

質問：

• ベースまたはx？

x²= c²–b²
c²= 5²–4²
c²= 25 – 16
c²= 9
c = 9
c = 3

したがって、はしごの足と壁の間の距離は3mです。

出発点から終点までの距離を決定する問題の例

下の画像を注意深く見てください。

船はポートAからポートBまで北に15km航行します。 港Bに到着した後、船は36km東に戻った。 ポートAと終点の間の距離を決定してください！

回答：

上記の問題から、以下の解決策に含まれる情報を使用して画像を作成できます。

質問：

• 斜辺またはc

知られている：

• b = 36km
• a = 15km

そう：

ポートAから終点までの距離は次のとおりです。

c²=15²+36²
c²= 225 + 1296
c²= 1521
c = 1521
c = 39

したがって、ポートAから終点までの距離は39kmです。

今回は、私たちが伝えることができるピタゴラスの定理について簡単に説明します。 うまくいけば、ピタゴラス定理に関する上記のレビューがあなたの研究資料として使われることができます。