有理関数：定義、グラフ、ディスカッション問題の例

有理数が2つの整数の比率であるように、有理関数は2つの多項式の比率です。

有理関数

有理関数
有理関数は、一般的な形式の関数です。

ここで、pとdは多項式で、d（x）0です。 V（x）の定義域は、dのゼロ生成器を除いて、すべて実数です。

最も単純な有理関数は関数です y = 1/バツ と機能 y = 1/バツ².

ここで、両方に定数分子と1つの項を持つ多項式分母があります。 そして、両方の関数は、を除くすべての実数の定義域を持っています バツ ≠ 0.

関数 y = 1/バツ

この関数は、逆関数とも呼ばれます。 バツ （ゼロを除く）関数の値としてその逆数を返します。

つまり、 バツ 値が大きいと関数値が小さくなり、その逆も同様です。 これらの関数の表とグラフを下の画像に示します。

上記の表とグラフは、いくつかの興味深いことを示しています。

まず、グラフは垂直線テストに合格します。 これは、デカルト座標平面の各垂直線が最大1点でグラフと交差することを意味します。

そのため、 y = 1/バツ 関数です。

第二に、除算が定義されていないため、除数がゼロの場合、ゼロにはパートナーがなく、 バツ = 0.

これは、関数の定義域、つまりすべてに準拠しています。 バツ 0以外の実数。

第3に、この関数は奇関数であり、その分岐の1つが象限Iにあります。

他は象限IIIにありますが。

次に、象限Iの最後の1つは、 バツ 無限大まで、値 y ゼロに向かって、ゼロに近い。

象徴的に私たちはそれを次のように書くことができます バツ → ∞, y → 0. グラフィカルに、関数のグラフの曲線はバツ いつ バツ 無限に近い。

それだけでなく、 バツ 右からゼロに近づくと、 y 非常に大きな正の実数（無限に正）に近づきます： バツ → 0⁺, y → ∞.

記録のために、上記の+または–記号は アプローチの方向。 あれは ポジティブな面から （+）または マイナス面から (–).

例1

有理関数のグラフの端の特性を説明する

にとって y = 1/バツ 象限IIIでは、

1. 関数のグラフの両端のプロパティを説明します。
2. いつ何が起こるか説明してください バツ ゼロに近い。

討論 象限Iのグラフの性質と同様に、次のようになります。

1. いつ バツ 負の無限大に近づく、の値 y ゼロに近くなります。 シンボル化されている場合は、次のようになります。 バツ →–∞、y→0。
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2. いつ バツ 左からゼロに近づく、の値 y 負の無限大に近づきます。 このステートメントを記号で書くこともできます バツ → 0^–, y → –∞.

関数 y = 1/バツ²

上記の説明から、この関数のグラフは次の場合に一時停止することがわかります。 バツ = 0.

ただし、負の数の2乗は正の数であるため、この関数のグラフの分岐はk軸の上にあります。バツ.

関数に注意してください y = 1/バツ²は偶関数です。

及び y = 1/バツ、 スコア バツ 正の無限大に近づくと、 y これはゼロに近いです。 記号を書くと、次のようになります。 バツ → ∞, y → 0.

これは、水平方向の漸近線の性質を示す1つの指標です。 そして宣言します y = 0は関数の水平方向の漸近線です y = 1/バツ およびy = 1 /バツ². 一般的に、

水平方向の漸近線
定数kが与えられた場合、線y = kは関数V（x）の水平方向の漸近線であり、xが無限に増加すると、V（x）はkに近づきます：x→–∞、V（x）→kまたはx →、V（x）→k。

下の図（a）は、上の水平方向の漸近線を示しています。 y = 1、これはグラフを示しています f(バツ）グラフの翻訳として y = 1/バツ 1ユニットアップ。

図（b）は、上の水平方向の漸近線を示しています。 y = –2、これはグラフを示しています g(バツ）グラフシフトとして y = 1/バツ²2ユニットダウン。

例2

有理関数のグラフの端の特性を説明する

上記の図（b）に基づいて、数学表記を使用して次のことを行います。

1. 上のグラフの先端の特性を説明してください。
2. 現在何が起こっているか説明してください バツ ゼロに近い。

討論

1. いつ バツ → –∞, g(バツ) → –2. いつ バツ → ∞, y → –2.
2. いつ バツ → 0^–, g(バツ) → ∞. いつ バツ → 0⁺, y → ∞.

上記の例2bから、次のことがわかります。 バツ ゼロに近い、 g 非常に大きく、無期限に成長することが判明します。

これは、垂直方向の漸近線の性質を示しています。

そして、私たちはラインを呼び出します バツ = 0は、の垂直方向の漸近線です。 g (バツ = 0は、の垂直方向の漸近線でもあります。 f). 一般的に、

垂直方向の漸近線
定数hが与えられた場合、線x = hは、xがhに近づくときの関数Vの垂直漸近線であり、V（x）は無限に増加または減少します。x→hの場合⁺、V（x）→±∞またはx→hの場合^–、V（x）→±∞。

水平および垂直の漸近線から識別することは非常に便利です。

グラフィックを引き起こす y = 1/バツ そして y = 1/バツ²は、垂直または水平にスライドさせることで変形できます。 関数、

です 形状をシフト 関数から y = 1/バツ. 機能は、

です 形状をシフト 関数から y = 1/バツ². 次に、以下の例を検討してください。

例3

有理関数の方程式を書く

下の画像のグラフで与えられた関数を特定し、グラフを使用して関数の方程式を記述します。 仮定|a| = 1.

討論 上のグラフから、グラフは関数からのシフトであることがわかります y = 1/バツ 右側に2ユニット。 そして、1単位下にシフトしました。

そのため、上のグラフの水平方向と垂直方向の漸近線は次のようになります。 y = –1および バツ = 2. したがって、上のグラフの式は次のとおりです。

これはシフト関数の形式です y = 1/バツ.

したがって、私たちが伝えることができる有理関数の簡単なレビュー。 うまくいけば、有理関数の上記のレビューはあなたの研究資料として使用することができます。