代数関数の導関数：式、アプリケーション、表記法、Pe

• 関数pangkatのべき乗導関数式

次の場合に覚えておいてください 、その後：

なぜなら 、その後：

または

したがって、関数の導関数の式は次のとおりです。

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三角関数の微分公式

導関数の定義に基づいて、次のようないくつかの三角関数の導関数式を取得できます。（uとvはそれぞれxの関数）。y '=

1. y = sinx→y '= cos x
2. y = cosx→y '= -sin x
3. y = tanx→y ’=秒² バツ
4. y = cotx→y ’= -csc² バツ
5. y =秒x→y '
6. y = cscx→y ’= csc×cotx
7. y = sinⁿ xy '= n sin^n-1 ×cosx
8. y = cosⁿ x→y '= -n cos^n-1 ×sinx
9. y = sinu→y '= u'cos u
10. y = cosu→y '= u'sin u
11. y = tanu→y ’= ui sec² u
12. y = cotu→y ’= -u’ csc² u
13. y = secu→y ’= u’sec u tan u
14. y = cscu→y ’= u’csc u cot u
15. y = sinⁿ u→y '= n.u' sin^n-1 cos u
16. y = cosⁿ u→y '= -n.u' cos^n-1 . sin u

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派生アプリ

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• 曲線の接線の勾配を決定します

曲線y = f（x）上の接線（m）の勾配は、次のように定式化されます。

接点での曲線の接線の方程式y = f（x） 次のように定式化：

• 昇順関数と降順関数の間隔を決定します

  • 区間関数の条件が大きくなります
  • 降順関数間隔の条件

• 関数の定常値とそのタイプを決定します

関数y = f（x）が連続であり、x = aおよびf '（x）= 0で微分可能である場合、関数はx = aで統計値を持ちます。 関数y = f（x）の停留値のタイプは、最小戻り値、最大戻り値、または反転値にすることができます。 このタイプの停留値は、関数の2次導関数を使用して決定できます。

• • 最大値 そして

場合 そして 、その後 関数y = f（x）と点の最大戻り値です。 は曲線の最大転換点y = f（x）です。

• • 最小値 そして

場合 そして 、その後 関数の最小戻り値です とドット は曲線の最小転換点y = f（x）です。

• • 回転値 そして

場合 そして 、その後 関数y = f（x）と点の屈折値です は曲線の変曲点y = f（x）です。

• 無期限の制限の問題を解決する または

場合 不定形の限界です または の場合、解は導関数を使用できます。つまり、f（x）とg（x）がそれぞれ導関数になります。

一次導関数で特定の形式が生成された場合、その特定の形式が解決策です。 ただし、一次導関数が依然として不定形を生成する場合は、特定の形が得られるまでf（x）とf（x）がさらに減少します。 この解決方法は、ロピタルの定理と呼ばれます。

• 速度と加速度の式を決定します

時間の関数としての物体の運動位置の式または方程式がわかっている場合、つまりs = f（t）の場合、速度と速度の式は次のように決定できます。

• • 速度式
  • 加速式

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微分表記

xに関する関数f（x）の導関数は、次のように定義されます。

制限が存在する場合。

x上の関数y = f（x）の一次導関数は次のように書くことができます。

• y '= f'x lagrange
• ライプニッツ
• D_バツy = D_バツ[f（x）]⇒オイラー

上記の定義から、次のようにいくつかの微分公式を導き出すことができます。

• f（x）= k f '（x）= 0
• f（x）= k x f '（x）= k
• f（x）= xⁿ f '（x）= nx^n-1
• f（x）= k u（x）f '（x）= k u'（x）
• f（x）= u（x）±v（x）f '（x）= u'（x）±v '（x）

根または分数を含む関数の導関数を見つけるために、私たちがしなければならない最初のステップは、関数を指数に変換することです。

とりわけ、よく使用される根と指数のいくつかのプロパティを次に示します。

• バツ^m. バツⁿ = x^{m + n}
• バツ^m/バツⁿ = x^{M N}
• 1 / xⁿ = x^-n
• x = x^1/2
• ⁿxm = x^{M N}

例：

問題1。

f（x）=x√xの導関数を求めます

回答：

f（x）=x√x= x。 バツ^1/2 = x^3/2

f（x）= x^3/2 →

質問2。

の導関数を決定する

回答：

2つの関数の乗算と除算

y = uvとすると、yの導関数は次のように表すことができます。

y '= u'v + uv'

y = u / vとすると、yの導関数は次のように表すことができます。

問題の例。

問題1。

f（x）=（2x + 3）（xの導関数² + 2）すなわち：

回答：

例えば：

u = 2x + 3 u '= 2
v = x² + 2 v '= 2x

f '（x）= u'v + u v'
f '（x）= 2（x² + 2）+（2x + 3）2x
f '（x）= 2x² + 4 + 4x² + 6x
f '（x）= 6x² + 6x + 4

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連鎖法則

y = f（u）の場合、uはxに関して導出できる関数であり、xに関するyの導関数は次の形式で表すことができます。 dydバツ=dydu×dudバツ

上記の連鎖律の概念から、y = uの場合ⁿ、 取得します： dydバツ=d(un)du×dudバツ

y′=nun−1.u′

一般的に、それは次のように述べることができます：

f（x）= [u（x）]の場合ⁿ ここで、u（x）はxに関して導出できる関数であり、次のようになります。 f′(バツ)=n[u(バツ)]n−1.u′(バツ)

上記の連鎖律の概念から、y = uの場合ⁿ、 取得します：

一般的に、それは次のように述べることができます：

f（x）= [u（x）]の場合ⁿ ここで、u（x）はxから導出できる関数であり、次のようになります。

f '（x）= n [u（x）]^n-1. u '（x）

問題の例。問題1。

f（x）=（2x + 1）の導関数を求めます⁴

回答：

例えば：

u（x）= 2x + 1 u '（x）= 2
n = 4
f '（x）= n [u（x）]^n-1. u '（x）
f '（x）= 4（2x + 1）^4-1 . 2
f '（x）= 8（2x + 1）³ 

質問2。

y =（xの導関数を見つける² 3x）⁷

回答：

y '= 7（x² 3x）^7-1 . （2x 3）
y '=（14x 21）。 （バツ² 3x）⁶

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サンプルの質問とディスカッション

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問題1

一次導関数 です

ディスカッション1：

この問題は、y =の形式の関数です。 これは次の式を使用して解くことができます . 次に：

したがって、導関数：

問題2

の1次導関数を見つける

ディスカッション2：

この問題を解決するには、次の混合式を使用します。 そしてまた . そう：

問題3

の最大値を決定します -1 x3の間隔で。

ディスカッション3：

関数f（x）の最大値の条件は次のとおりです。 そして その後：

• もし

そして そして

問題4。

f（x）=（x – 1）の導関数²（2x + 3）は…

回答：

例えば：

u =（x 1）² u '= 2x 2
v = 2x + 3 v '= 2

f '（x）= u'v + uv'
f ‘（x）=（2x 2）（2x + 3）+（x 1）². 2
f '（x）= 4x² + 2x 6 + 2（x² 2x + 1）
f '（x）= 4x² + 2x 6 + 2x² 4x + 2
f '（x）= 6x² 2x 4
f '（x）=（x 1）（6x + 4）または
f '（x）=（2x 2）（3x + 2）

質問5。

f（x）= x²–（1 / x）+ 1の場合、f '（x）=。.. .

A。 x –x²
B。 x +x²
C。 2x – x^-2 + 1
D。 2x – x² – 1
E。 2x + x^-2

回答：

f（x）= x² –（1 / x）+ 1

= x² - バツ^-1 + 1

f '（x）= 2x-（-1）x^-1-1

= 2x + x^-2

回答：E