ベクトル：定義、材料、式、問題の例

July 06, 2021
にその他

ベクトル：定義、材料、式、および問題の例– 数学演算におけるベクトルとはどういう意味ですか？この機会に Knowledge.co.idについてベクターとそれに関する他のことについて議論します。それをよりよく理解するために、以下の記事の議論を見てみましょう。

ベクトル：定義、材料、式、問題の例
- ベクトルタイプ
- R ^ 2でのベクトル
- R ^ 2でのベクトル演算
  - R ^ 2のベクトルの加法と減法
  - R ^ 2のベクトルにスカラーを掛ける
  - R ^ 2での2つのベクトルのスカラー乗法
- R ^ 3でのベクトル
- R ^ 3でのベクトル演算
  - R ^ 3のベクトルの加法と減法
  - R ^ 3のベクトルにスカラーを掛ける
  - R ^ 3の2つのベクトルの内積
- ベクトル正射影
- サンプルの質問とディスカッション
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ベクトル：定義、材料、式、問題の例

ベクトルは方向性のある量です。ベクトルは矢印として表され、ベクトルの方向と線の長さはベクトルの大きさと呼ばれます。書面では、ベクトルが点Aから始まり、点Bで終わる場合、小文字で書くことができ、その上に次のような線/矢印があります。 $\ vec {v}$

または $\ bar {v}$ またはまた：

$\ vec {AB}$

1827年、メビウスは線と円錐曲線の変換を研究した幾何学の本であるDer BarycentrischeCalculを出版しました。この作業の新機能は、重心座標の導入です。任意の三角形ABCが与えられた場合、重力線a、b、およびcがそれぞれA、B、およびCに描かれている場合、三角形の重心である点Pを決定できます。

メビウスは、平面上のすべての点Pが同次座標[a、b、c]によって定義されることを示しました。必要な重み線は、Pの重心を決定するために、A、B、およびCに配置されます。ここで最も重要なのは、ベクトルの概念の初期の出現である、指示された量に関するメビウスの見方です。

ベクトルは、大きさ/値と方向を持つ量です。 幾何学的に ベクトルは有向線分として記述され、線分の長さはベクトルの大きさを表し、線分の方向はベクトルの方向を表します。

数学では、ベクトルは長さと方向を持つ直線で表されます。

ベクトル名を書く：

大文字を使用する場合は、ベクトルなどの2文字を使用する必要がありますAB ⃗
は、長さが線分ABの長さに等しく、その方向がAからBであるベクトルです。
たとえば、小文字の場合は1文字だけです。 a̅

例として

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ベクトルを想定します $\ bar {v}$ 点から始まるベクトルです A（x_1、y_1）ポイントへ B（x_2、y_2）デカルト座標は以下のように記述できます。 x軸に平行な線の長さは v_1 = x_2-x_1 y軸に平行な線の長さは v_2 = y_2-y_1 ベクトルの成分です $\ bar {v}$ .

ベクトルコンポーネント $\ bar {v}$ ベクトルを代数的に表現するように書くことができます。

また読む：1つの変数線形方程式（PLSV）と問題の例を理解する

$\ vec {v} = \ left（\ begin {array} {r} v_1 \\ v_2 \ end {array} \ right）= \ left（\ begin {array} {r} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \ end {array} \ right）$ または $\ vec {v} =（v_1、v_2）$

ベクトルタイプ

特別なベクトルにはいくつかの種類があります。

位置ベクトル
始点が0（0,0）で、終点がAのベクトル
ゼロベクトル
長さがゼロで示されるベクトル $\ bar {0}$ . ゼロベクトルには明確なベクトル方向がありません。
単位ベクトル
長さが1単位のベクトル。の単位ベクトル $\ vec {v} = \ left（\ begin {array} {r} v_1 \\ v_2 \ end {array} \ right）$ は：
$\ bar {U_v} = \ frac {\ bar {v}} {\ mid \ bar {v} \ mid} = \ frac {1} {\ mid \ bar {v} \ mid} \ left（\ begin {array } {r} v_1 \\ v_2 \ end {array} \ right）$
基本ベクトル
基本ベクトルは、互いに垂直な単位ベクトルです。二次元ベクトル空間で 2つの基本ベクトルがあります。 $\ bar {l} =（1,0）$ そして $\ bar {j} =（0,1）$ . 三次元にいる間 3つの基本ベクトルがあります。 $\ bar {I} =（1、0、0）$ , $\ bar {J} =（0、1、0）$ 、および $\ bar {K} =（0、0.1）$ .

R ^ 2でのベクトル

ベクトルを表す線分の長さ $\ bar {v}$ またはとして示される $\ mid \ bar {v} \ mid$ ベクトルの長さ：

ベクトルの長さは角度に関連付けることができます $\ theta$ これは、ベクトルとx軸によって形成されます。ポジティブ。

ベクトルは、基本ベクトルの線形結合として表すことができます $\ bar {l} = \ binom {1} {0}$ そして $\ bar {J} = \ binom {0} {1}$ 以下：

$\ bar {v} = \ left（\ begin {array} {r} v_1 \\ v_2 \ end {array} \ right）= v_1 \ left（\ begin {array} {r} 1 \\ 0 \ end {array } \ right）+ v_2 \ left（\ begin {array} {r} 0 \\ 1 \ end {array} \ right）$

$\ bar {v} = v_1 \ bar {i} + v_2 \ bar {j}$

R ^ 2でのベクトル演算

R ^ 2のベクトルの加法と減法

2つ以上のベクトルを追加することができ、その結果は結果と呼ばれます。ベクトルの加算は、隣接するコンポーネントを加算することで代数的に行うことができます。場合 $\ vec {a} = \ left（\ begin {array} {r} a_1 \\ a_2 \ end {array} \ right）$ そして $\ vec {b} = \ left（\ begin {array} {r} b_1 \\ b_2 \ end {array} \ right）$ その後：

$\ vec {a} + \ vec {b} = \ left（\ begin {array} {r} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \ end {array} \ right）$

合計は、以下の画像でグラフィカルに確認できます。

ベクトル減算では、同じことが加算にも当てはまります。

$\ bar {a}-\ bar {b} = \ left（\ begin {array} {r} a_1-b_1 \\ a_2-b_2 \ end {array} \ right）$

ベクトル加算のプロパティは次のとおりです。

$\ bar {a} + \ bar {b} = \ bar {b} + \ bar {a}$
$\ bar {a} +（\ bar {b} + \ bar {c}）=（\ bar {a} + \ bar {b}）+ \ bar {c}$

R ^ 2のベクトルにスカラーを掛ける

ベクトルにスカラー（実数）を掛けると、新しいベクトルが生成されます。場合 $\ bar {v}$ はベクトル、kはスカラーです。次に、ベクトル乗算：

$k。\ bar {v}$

条件の下で：

k> 0の場合、ベクトル $k。\ bar {v}$ ベクトルの方向に $\ bar {v}$
k <0の場合、ベクトル $k。\ bar {v}$ ベクトルと反対方向 $\ bar {v}$
k = 0の場合、ベクトル $k。\ bar {v}$ アイデンティティベクトルです $\ bar {o} = ^ 0_0$

グラフィカルに、この乗算はベクトルの長さを変更する可能性があり、次の表で確認できます。

代数的にベクトル乗算 $\ bar {v}$ スカラーkを使用すると、次のように定式化できます。

$k。\ bar {v} = \ left（\ begin {array} {r} k.v_1 \\ k.v_2 \ end {array} \ right）$

R ^ 2での2つのベクトルのスカラー乗法

2つのベクトルの内積は、ベクトルの内積とも呼ばれ、次のように記述されます。

$\ bar {a}。\ bar {b}$ （読む：ドットb）

ベクトルスカラー乗法 $\ bar {a}$ そして $\ bar {b}$ ベクトルの長さを乗算することによって行われます $\ bar {a}$ およびベクトルの長さ $\ bar {b}$ コサイン付き $\ theta$ . コーナー $\ theta$ これはベクトル間の角度です $\ bar {a}$ とベクトル $\ bar {b}$ .

そう：

$\ bar {a} \ cdot \ bar {b} = \ mid \ bar {a} \ mid \ mid \ bar {b} \ mid cos \ theta$

どこ：

ご了承ください：

2つのベクトルの内積はスカラーを与えます
$\ bar {a}。\ bar {a} =（\ bar {a} ^ 2）$
$\ bar {a}。（\ bar {b} + \ bar {c}）=（\ bar {a}。 \ bar {a}）+（\ bar {a}。（\ bar {c}）$

R ^ 3でのベクトル

3次元空間（x、y、z）にあるベクトル。 R ^ 3 ピタゴラスの公式を開発することによって決定することができます。ドットの場合 A（x_1、y_1、z_1）とドット B（x_2、y_2、z_2）その場合、距離ABは次のようになります。

$AB = \ sqrt {（x_2 --x_1）^ 2 +（y_2 --y_1）^ 2 b +（z_2 --z_1）^ 2}$

または $\ bar {v} = \ left（\ begin {array} {r} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \ end {array} \ right）$ 、その後

$\ mid \ bar {v} \ mid = \ sqrt {（v_1）^ 2 +（v_2）^ 2 +（v_3）^ 2}$

ベクター $\ bar {AB}$ 2つの形式、つまり列で表すことができます $\ bar {AB} = \ left（\ begin {array} {r} b_1 --a_1 \\ b_2 --a_2 \\ b_3 --a_3 \ end {array} \ right）$ またはインライン $\ bar {AB} =（b_1 --a_1、b_2 --a_2、b_3 --a_3）$ . ベクトルは、基本ベクトルの線形結合として表すこともできます。 $\ bar {l}（1,0,0）$ そして $\ bar {J}（0,1,0）$ そして $\ bar {K}（0,0,1）$ 以下：

また読む：多項式：定義、値、条件、除算、および問題の例

$\ bar {v} = \ left（\ begin {array} {r} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \ end {array} \ right）= v_1 \ left（\ begin {array} {r} 1 \\ 0 \ \ 0 \ end {array} \ right）+ v_2 \ left（\ begin {array} {r} 0 \\ 1 \\ 0 \ end {array} \ right）+ v_3 \ left（\ begin {array} {r} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {array} \ right）$

$\ bar {v} = v_1 \ bar {I} + v_2 \ bar {J} + v_3 \ bar {K}$

R ^ 3でのベクトル演算

のベクトル演算 R ^ 3 一般に、のベクトル演算と同じ概念を持っています R ^ 2 さらに、減算、および乗算。

R ^ 3のベクトルの加法と減法

のベクトルの加法と減法 R ^ 3 ベクトルdiに等しい R ^ 2 あれは：

$\ bar {a} + \ bar {b} = \ left（\ begin {array} {r} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \ end {array} \ right）+ \ left（\ begin {array} {r} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \ end {array} \ right）= \ left（\ begin {array} {r} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ a_3 + b_3 \ end {array} \ right）$

そして

$\ bar {a}-\ bar {b} = \ left（\ begin {array} {r} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \ end {array} \ right）-\ left（\ begin {array} {r} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \ end {array} \ right）= \ left（\ begin {array} {r} a_1-b_1 \\ a_2-b_2 \\ a_3-b_3 \ end {array} \ right）$

R ^ 3のベクトルにスカラーを掛ける

場合 $\ bar {v}$ はベクトル、kはスカラーです。次に、ベクトル乗算：

$k。\ bar {v} = \ left（\ begin {array} {r} k.v_1 \\ k.v_2 \\ k.v_3 \ end {array} \ right）$

R ^ 3の2つのベクトルの内積

の式に加えて R ^ 3 、2つのベクトルの内積には別の式があります。場合 $\ bar {a} = a \ bar {I} + a_2 \ bar {J} + a_3 \ bar {K}$ そして $\ bar {b} = b_1 \ bar {i} + b_2 \ bar {j} + b_3 \ bar {k}$ その後 $\ bar {a}。\ bar {b}$ は：

$\ bar {a}。\ bar {b} =（a_1b_1）+（a_2b_2）+（a_3b_3）$

ベクトル正射影

ベクトルの場合 $\ bar {a}$ ベクトルに投影バー{b} と名前が付けられました $\ bar {c}$ 下の写真のように：

知られている：

$\ bar {a}。\ bar {b} = \ mid \ bar {a} \ mid \ mid \ bar {b} \ mid cos \ theta \ overset {then} {\ rightarrow} cos \ theta = \ frac {\ bar {a}。\ bar {b}} {\ mid \ bar {a} \ mid \ mid \ bar {b} \ mid}$

そう：

$\ mid \ bar {c} \ mid = \ mid \ bar {a} \ mid \ mid cos \ theta \ mid$ または $\ mid \ bar {c} \ mid = \ mid \ frac {\ bar {a}。\ bar {b}} {\ mid \ bar {b} \ mid} \ mid$

ベクトルを取得するには：

$\ bar {c} = \ mid \ frac {\ bar {a}。\ bar {b}} {\ mid \ bar {b} \ mid} \ mid \ bar {b}$

サンプルの質問とディスカッション

問題1

点A（2,4,6）、点B（6,6,2）、および点C（p、q、-6）が知られています。点A、B、およびCが一列に並んでいる場合は、p + qの値を決定します。

ディスカッション1：

点A、B、およびCが一列に並んでいる場合、ベクトル $\ bar {AB}$ とベクトル $\ bar {AC}$ 一方向または異なる方向にすることができます。したがって、倍数で方程式を形成する数mがあります

$m。\ bar {AB} = \ bar {AC}$

BがポイントAとCの間にある場合、次のようになります。

$\ bar {AB} + \ bar {BC} = \ bar {AC}$

そう：

$\ bar {AB} = \ left（\ begin {array} {r} 6-2 \\ 6-4 \\ 2-6 \ end {array} \ right）= \ left（\ begin {array} {r} 4 \\ 2 \\ -4 \ end {array} \ right）$

$\ bar {AC} = \ left（\ begin {array} {r} p-2 \\ q-4 \\ -6-6 \ end {array} \ right）= \ left（\ begin {array} {r } p-2 \\ q-4 \\ -12 \ end {array} \ right）$

次に、方程式のmの倍数：

$m。\ bar {AB} = \ bar {AC}$

$m。\ left（\ begin {array} {r} 4 \\ 2 \\ -4 \ end {array} \ right）= \ left（\ begin {array} {r} p-2 \\ q-4 \ \ -12 \ end {array} \ right）$

$-4.m =（-12）\ rightarrow m = 3$

取得：

$2.m =（q-4）\ rightarrow 6 =（q-4）$
$4.m =（p-2）\ rightarrow 12（p-2）$

結論：

p + q = 10 + 14 = 24

問題2

点A（2,4,6）、点B（6,6,2）、および点C（p、q、-6）があることが知られています。点A、B、およびCが一列に並んでいる場合は、p + qの値を決定します。

解決：

点A、B、およびCが一列に並んでいる場合、ベクトルとベクトル同じ方向または異なる方向にすることができます。したがって、倍数であり、次の方程式を形成できる数mがあります。

Bが点Aと点Cの間にある場合、次のようになります。

それが得られるように：

次に、方程式のmの倍数：

取得：

そう、 結論付けることができます：

p + q = 10 + 14 = 24

これは、ベクトル式を計算する方法の完全な議論です

問題3

以下に示すように、点Aと点Bのベクトルと、線Abの間にある点Cのベクトルがわかっている場合。ベクトル方程式Cを決定します。

ディスカッション2：

図から、次のことがわかります。

$\ bar {AB} + \ bar {a} = \ bar {b}$ そのため $\ bar {AB} = \ bar {b}-\ bar {a}$
$\ bar {AC} = \ frac {m} {m + n} \ bar {AB} = \ frac {m} {m + n}（\ bar {b}-\ bar {a}）$

そう：

$\ bar {c} = \ bar {AC} + \ bar {a}$

$= \ frac {m} {m + n}（\ bar {b}-\ bar {a}）+ \ bar {a} = \ frac {m} {m + n}（\ bar {b}）-\ frac {m} {m + n}（\ bar {a}）+ \ frac {m + n} {m + n}（\ bar {a}）$

$= \ frac {m} {m + n}（\ bar {b}）+ \ frac {n} {m + n}（\ bar {a}）$

質問4

ベクトルを想定します $\ bar {a} = 4 \ bar {i} + y \ bar {j}$ とベクトル $\ bar {b} = 2 \ bar {i} + 2 \ bar {j} + \ bar {k}$ . 射影ベクトルの長さが $\ bar {a}$ オン $\ bar {b}$ は4です。次に、yの値を決定します。

ディスカッション3：

知られている：

$\ mid \ bar {b} \ mid = \ sqrt {（2）^ 2 +（2）^ 2 +（1）^ 2} = \ sqrt {9} = 3$
$\ bar {a}。\ bar {b} =（4.2）+（2.y）+（0.1）= 8 + 2y$

次に：

$\ bar {c} = \ mid \ frac {\ bar {a}。\ bar {b}} {\ mid \ bar {b} \ mid} \ mid \ bar {b} \ overset {to} {\ rightarrow} 4 = \ mid \ frac {8 + 2y} {3} \ mid$

12 = 8 + 2y

y = 2

それはからのレビューです Knowledge.co.idについて約 ベクターうまくいけば、それはあなたの洞察と知識に追加することができます。ご覧いただきありがとうございます。他の記事もお読みください。