順列: 定義、公式、問題例

September 07, 2023
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順列: 定義、公式、問題例 – 順列とは何を意味し、どのように計算するのでしょうか? この機会にナレッジ.co.idについて Permutation とそれに関することについて話します。理解を深めるために、以下の記事でその議論を一緒に見てみましょう。

順列: 定義、公式、問題例

n 階乗数表記は n! で表されます。は、乗算数 n x (n-1) x (n-2) x (n-2) x … x 1 を表します。たとえば、7! = 7x6x5x4x3x2x1 = 5,040。この表記は、順列と組み合わせの計算に使用されます。 0を定義しました! = 1.

順列とは、集合のメンバーから特定の数のメンバーを配置する方法の数を意味します。

順列の公式

通常の順列の公式

たとえば、集合には n 個のメンバーがあることがわかっており、その場合、順序付けされた配置は r で構成されます。メンバーは n の順列 r と呼ばれ、P(n, r) と書きます。r は以下です。 nと一緒に。順列の公式は次のとおりです。

r = n の場合、P(n, n) = n! (0!=1 を覚えておいてください)

文字 a、b、c から 2 つの文字を並べる方法の数を計算する例は次のとおりです。

6 つの方法は、ab、ac、ba、bc、ca、cb です。

等しい要素の置換式

セットに n 個のメンバーがあり、タイプ 1 のメンバーが n1 個あることがわかっているとします。同じ、同じ型 2 の n2 個のメンバーなど、セットのメンバーの順列は次のように書かれます。 P(n; n1,n2,…,nk)。同じタイプ 1 のメンバーが n1 個、同じタイプ 2 のメンバーが n2 個ある場合の置換式は次のとおりです。

「KATAKKU」という単語の文字の並べ方の数を計算する例は次のとおりです。

K の文字は 3 つあるので、n1 = 3
A という文字が 2 つあるので、n2 = 2
文字 T は 1 なので、n3 = 1
文字 U は 1 なので、n4 = 1

巡回置換の公式

循環順列は、特定の回転方向に従って要素を円形に配置することによって作成される順列です。非常に一般的なもので、通常、問題は夕食のテーブルや会議テーブルなどでの人の配置に関するものです。

式は単純です: (n-1)!、n は存在する物体/人の数です。

例: 5 人の取締役が円形のテーブルに座って会議を行っています。取締役の椅子を配置する方法は何通りありますか?

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答え: (5-1)! = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

順列と組み合わせの違い

順列と組み合わせの違いは、順列はメンバーの配置順序に注意を払うのに対し、組み合わせはメンバーの配置順序に注意を払わないことです。これは、上記の 2 つの例、つまり文字 a、b、c からなるセットの 2 つのメンバーの順列と組み合わせからわかります。
P(3,2) = 6 6 つの方法は、ab、ac、ba、bc、ca、cb です。
C(3,2) = 3 3 つの方法は、ab、ac、bc です。

順列問題の例

問題 1: 3人の子供たちが長いベンチに一緒に座ります。彼らは何通りの方法でベンチに一緒に座ることができますか?
答え：
3 人の子供は一緒に座るため、順列公式 P(3,3) が使用されます。
P(3,3) = 3! = 2x2x1 = 6
3人の子供は6つの方法で一緒に座ることができます

問題 2: P(5,4) の順列値はいくらですか?
ａ． 60
b. 80
c. 20
d. 22

考察: P(5,3)= 5!(5-3)!= 5.4.3.2!2! = 60

答え: a

問題 3:招待された4人の役人は別々に（同時にではなく）やって来た。 4 人の役人がたどり着く方法は何通りありますか?
ａ． 4
b. 8
c. 18
d. 12

議論：

それは既知です: n = 4、招待された役人の数を示します r = 1、

状態は独立して発生します P(4,1)= 4!(4-1)!= 4.3!3! = 4

答え: a

問題4: 学校は、選手として指名される 5 人の生徒からなるスポーツチームを編成します。ただしメインプレイヤーになれるのは3人だけ。主力選手を選択するために使用できる方法は何通りあるかを決定しますか?
ａ． 60
b. 20
c. 90
d. 12

考察: 既知: n = 5、スポーツチームに指名される生徒の数を示します。 r = 3、主なプレーヤーになる可能性のある生徒の数を示します。 P(5,3)= 5!(5-3)!= 5.4.3.2!2!2! = 60

答え: a

問題 5:チェストーナメントでは 5 人のチェスプレイヤーが 1 位、2 位、3 位を争うことになります。この 5 人の選手から 1 位、2 位、3 位のオーダーをいくつ形成できるでしょうか?

上記の問題から、5 人のチェスプレイヤーから 3 人のチャンピオンのシーケンスを作成します。つまり、k = 3k=3 および n = 5n=5 となります。順列公式を使用すると、多くの有利な配置を形成できます。
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答え: nPk=5P3=(5−3)!5!=2!5!=3×4×5=60

問題6：「LIFE」の2文字の並べ方は何通りあるでしょうか？
答え：
5 文字のうち 2 文字を配置し、順列 P(5,2) を使用する方法
P(5,2) = (5!)/(5-2)! =(5x4x3!)/(3)! = 5×4 =20
つまり、「LIFE」という単語の2文字を並べる方法は20通りあります。

問題 7: 赤い横断幕 2 つと黄色の横断幕 3 つからなる路地に 5 つの横断幕を取り付ける方法は何通りありますか?
答え：
ペナントの数 = 5 (赤 2 つと黄色 3 つ)、同じメンバーを使用した順列 P(5;2,3)
P(5;2,3) = (5!)/(2! 3!) = (5×4)/(2×1) = 10
バナーを設置する方法は 10 通りあります

問題8: 12 人の参加者が参加した会議で。参加者一人ひとりが握手を交わします。彼らの間で何回握手がありましたか?
答え：
各ハンドシェイクには 2 人だけが関与するため、組み合わせ C(12,2) が使用されます
C(12,2) = (12!)/(2!(12-2)!) = (12x11x10!)/(2x1x10!) = 66

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