代数微分関数: 公式、応用、表記法、2 つの関数による除算の乗算および問題例

August 30, 2023
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関数の導関数の公式

覚えておいてください f(x)x^n 、それで：

$f'(x)\frac{df (x)}{dx} \frac{dx^n}{dx} nx^n-1$

なぜなら f (x) (u (x))^nu^n 、それで：

$f'(x) \frac{df (x)}{dx} \frac{du^n}{dx} \cdot \frac{du}{du}$

または

$f'(x) \frac{du^n}{du} \cdot \frac{du}{dx} nu^{n-1} \cdot u'$

したがって、関数の導関数の式は次のようになります。

$f'(x) nu^(n-1) \cdot u'$

三角法の微分公式

導関数の定義に基づいて、三角関数導関数のいくつかの公式を得ることができます。つまり、次のとおりです: (x の各関数 u と v を使用)、次のものが含まれます: y' =

y = sin x→ y' = cos x
y = cos x → y' = -sin x
y = タン x → y' = 秒²バツ
y = cot x → y' = -csc²バツ
y = 秒 x → y'
y = csc x → y' = csc × cot x
y = 罪ⁿxy' = n sin^n-1×cos×
y = cosⁿx → y' = -n cos^n-1×罪×
y = sin u → y' = u' cos u
y = cos u → y' = u' sin u
y = Tan u → y' = ui 秒²あなた
y = cot u → y' = -u' csc²あなた
y = 秒 u → y' = u' 秒 u タン u
y = csc u → y' = u' csc u cot u
y = 罪ⁿu → y' = n.u' sin^n-1あなただから
y = cosⁿ u → y' = -n.u' cos^n-1. あなたは罪を犯します

派生アプリケーション

曲線の接線の勾配を決定します

曲線 y = f (x) の接線 (m) の勾配は次のように定式化されます。

曲線の接点における接線の方程式 y = f (x) (x_1、y_1) 次のように定式化されます。

$y - y_1 m (x - x_1) \rightarrow m f'(x_1)$

増加関数と減少関数の間隔を決定する
- 関数間隔が増加する条件 $\rightarrow f'(x) 0$
- 降順関数区間の項 $\rightarrow f'(x) 0$
関数の定常値とその型を決定します

関数 y = f (x) が連続で、x = a および f'(x) = 0 で微分可能である場合、関数は x = a で定常値を持ちます。関数 y = f(x) の定常値タイプには、最小戻り値、最大戻り値、または変曲値を指定できます。このタイプの定常値は、関数の 2 次導関数を使用して決定できます。

- 最大値 $\rightarrow f'(x) 0$ そして $\rightarrow f$

もし f'(x_1) 0 そして、それで f'(x_1) は関数 y = f(x) の最大戻り値であり、点 (x_1f(x)) は、y = f(x) 曲線の最大転換点です。

- 最小値 $\rightarrow f'(x) 0$ そして

もし f'(x_1) 0 そして、それで f(x_1) 関数の最小戻り値です y f (x) そしてポイント (x_1f(x)) は、y = f(x) 曲線の最小転換点です。

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- 回転値 $\rightarrow f'(x) 0$ そして

もし f'(x_1) 0 そして f''(x_1 0) 、それで f(x_1) は関数 y = f(x) の変曲値であり、点 (x_1f(x)) は、y = f(x) 曲線の変曲点です。

不定形式の極限問題を解く $\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$

もし $\lim \limits_{x\to a}\frac{f (x)}{g (x)}$ は不定形式の極限です $\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$ の場合、解は導関数を使用できます。つまり、 f (x) と g (x) がそれぞれ導出されます。

$\lim\limits_{x\to a}\frac{f (x)}{g (x)} \lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \frac{f'(a)}{g'(a)}$

一次導関数が特定の形式を生成した場合、その特定の形式が解になります。しかし、一次導関数がまだ不定の形式を生成する場合は、特定の形式の結果が得られるまで、それぞれ f(x) と f(x) が再び下げられます。この解き方はロピタルの定理と呼ばれます。

速度と加速度の公式を決定する

時間の関数としての物体の運動位置の公式または方程式、つまり s = f (t) がわかっている場合、速度と速度の公式を次のように決定できます。

- 速度の計算式 $\rightarrow v s' f'(t)$
- 加速度計算式 $\rightarrow a s' f$

微分表記

x に関する関数 f(x) の導関数は次のように定義されます。

制限が存在する場合に限ります。

x における関数 y = f (x) の一次導関数は次のように表すことができます。

y' = f'x ⇒ ラグランジュ
⇒ ライプニッツ
D_バツy = D_バツ[f(x)]⇒オイラー

上記の定義から、以下のようないくつかの導関数を導き出すことができます。

f(x) = k ⇒ f'(x) = 0
f(x) = k x ⇒ f'(x) = k
f(x) = xⁿ ⇒ f'(x) = nx^n-1
f (x) = k u (x) ⇒ f ‘(x) = k u’(x)
f (x) = u (x) ± v (x) ⇒ f '(x) = u'(x) ± v'(x)

k = 定数の場合

次の例をいくつか考えてみましょう。

f(x) = 5 ⇒ f'(x) = 0
f(x) = 2x ⇒ f'(x) = 2
f(x) = x² ⇒ f'(x) = 2x^2-1= 2倍
y = 2x⁴ ⇒ y' = 2。 4倍^4-1= 8x³
y = 2x⁴ +×² − 2x ⇒ y' = 8x³ +2x−2

根または分数を含む関数の微分を求めるには、最初に関数を指数形式に変更する必要があります。

以下に、特によく使用される根と指数のプロパティの一部を示します。

バツ^メートル. バツⁿ = x^m+n
バツ^メートル/バツⁿ = x^MN
1/xⁿ = x^-n
√x = x^1/2
ⁿ√xm = x^MN

例：

問題１．

f (x) = x√x の導関数を求めます。

答え：

f(x) = x√x = x。バツ^1/2= x^3/2

f(x) = x^3/2 →

問題2。

の導関数を求めます

答え：

2 つの関数の乗算と除算の導関数

y = uv と仮定すると、y の導関数は次のように表すことができます。

y' = u'v + uv'

y = u/v と仮定すると、y の導関数は次のように表すことができます。

問題例。

問題１．

f (x) = (2x + 3)(x の導関数² + 2) つまり:

答え：

例えば：

u = 2x + 3 ⇒ u' = 2
v = x² + 2 ⇒ v' = 2x

f'(x) = u' v + u v'
f'(x) = 2(x² + 2) + (2x + 3) 2x
f'(x) = 2x² +4 +4倍² +6倍
f'(x) = 6x² +6x +4

連鎖の法則

y = f (u) (u が x に関して導出できる関数) の場合、x に関する y の導関数は次の形式で表すことができます。 dydバツ=dydあなた×dあなたdバツ

上記の連鎖規則の概念から、y = u の場合、ⁿ、次のように取得されます。 dydバツ=d(あなたn)dあなた×dあなたdバツ

y′=nあなたn−1.あなた′

一般に、次のように言えます。

f(x) = [u(x)] の場合ⁿ ここで、u (x) は x に関して導出できる関数であり、次のようになります。 f′(バツ)=n[あなた(バツ)]n−1.あなた′(バツ)

上記の連鎖規則の概念から、y = u の場合、ⁿ、取得します：

一般に、次のように言えます。

f (x) = [u (x)] の場合ⁿ ここで、u (x) は x から導出できる関数であり、次のようになります。

f'(x) = n[u (x)]^n-1. u'(x)

問題例。問題１．

f (x) = (2x + 1) の導関数を求めます。⁴

答え：

例えば：

u(x) = 2x + 1 ⇒ u'(x) = 2
n = 4
f '(x) = n[u (x)]^n-1. u'(x)
f'(x) = 4(2x + 1)^4-1. 2
f'(x) = 8(2x + 1)³

問題2。

y = (x の導関数を求めます²− 3倍）⁷

答え：

y' = 7(x²− 3倍）^7-1. (2x − 3)
y' = (14x − 21)。（バツ²− 3倍）⁶

質問例とディスカッション

問題 1

の最初の導関数 $f (x) 4 \sqrt{2x^3 - 1}$ は

ディスカッション 1:

この問題は、y = という形式の関数です。ああ^n 公式を使って解くことができます $y' n \cdot a \cdot u^{n-1} \cdot u'$ . それで：

$f (x) 4 \sqrt{2x^3-1} 4(2x^3-1)^{\frac{1}{2}}$

したがって、導関数は次のようになります。

$f'(x) \frac{1}{2} \cdot 4(2x^3-1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 6x^2$

$2(2x^3-1) \cdot 6x^2$

$12x^2(2x^3-1)^{-\frac{1}{2}}$

$\frac{12x^2}{(2x^3-1)^{\frac{1}{2}}}$

$\frac{12^2}{\sqrt{2x^3-1}}$

問題 2

次の 1 次導関数を求めます

$f (x) \frac{6}{\sqrt[3]{\sin (3x-\frac{\pi}{5})}}$

ディスカッション 2:

この問題を解決するには、混合公式を使用します。 $f'(x) \frac{u'v-uv'}{v^2}$ そしてまた $y' n \cdot u' \sin^{n-1}u \cdot \cos u$ . となることによって：

$f (x) \frac{6}{\sqrt[3]{sin (3x-\frac{\pi}{5})}}$

$f (x) \frac{6}{(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{1}{2}}}$

$f'(x) \frac{0 - 6 \cdot 3 \cdot \frac{1}{3}(\sin (3x - \frac{\pi}{5}))^{- \frac{2}{ 3}} \cdot \cos (3x - \frac{\pi}{5})}{(\sin (3x - \frac{\pi}{5}))^\frac{2}{3}}$

$f'(x) \frac{-6(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{-\frac{2}{3}}.cos (3x-\frac{\pi}{ 5})}{(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{2}{3}}}。 \frac{(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{1}{3}}}{(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{ -\frac{1}{3}}}$

$f'(x) \frac{-6(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{-1} cos (3x-\frac{\pi}{5})}{\sqrt[ 3]{sin (3x-\frac{\pi}{5}})}$

$f'(x) \frac{-6cot (3x-\frac{\pi}{5})}{\sqrt[3]{sin (3x-\frac{\frac{\pi}{5})}}$

問題 3

の最大値を決定します。 f (x) x^3 - 6x^2 + 9x -1 ≤ x ≤ 3 の区間で。

ディスカッション 3:

関数の最大値 f (x) は次のとおりであることに注意してください。 f'(x) 0 そしてそれで：

$f_{最大}$ もし

そして x_1 1 そして x_2 3

$f_{max} f (1) 1^3 - 6.1^2 + 9.1$

$f_{最大} 4$

問題4。

f (x) = (x – 1) の導関数²(2x + 3) は…

答え：

例えば：

u = (x − 1)² ⇒ u' = 2x − 2
v = 2x + 3 ⇒ v' = 2

f'(x) = u'v + uv'
f '(x) = (2x − 2)(2x + 3) + (x − 1)². 2
f'(x) = 4x² + 2x − 6 + 2(x² − 2x + 1)
f'(x) = 4x² + 2x − 6 + 2x² − 4x + 2
f'(x) = 6x² − 2x − 4
f '(x) = (x − 1)(6x + 4) または
f '(x) = (2x − 2)(3x + 2)

問題5。

f (x) = x² – (1/x) + 1 の場合、f'(x) = となります。.. .

あ x – x²
B. x + x²
C. 2x – x^-2 + 1
D. 2x – x² – 1
E. 2倍 + ×^-2

答え：

f(x) = x² – (1/x) + 1

= x² - バツ^-1 + 1

f'(x) = 2x -(-1)x^-1-1

= 2x + x^-2

答え: E

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