多項式: 定義、値、項、分布、および問題例

August 19, 2023
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多項式: 定義、値、条件、割り算、および問題例 – 多項式とはどういう意味ですか? この機会にナレッジ.co.idについて多項式とその周囲のものについて説明します。よりよく理解するために、以下の記事を見てみましょう。

多項式: 定義、値、項、分布、および問題例

多項式、または一般に多項式と呼ばれるのは、変数と定数で構成される多くの値を持つ項の形式です。使用される演算は、加算、減算、乗算、および非負の整数のべき乗のみです。

この多項式の一般的な形式は次のとおりです。

多項式の一般形式: ある_n バツⁿ +a_n-1 バツ^n-1 +... +a₁ x + a

情報：

とともに_n、_n-1、…、₁、₀€ R 係数または定数

多項式a_n ≠ 0、n は正の整数です。

x の最大累乗が多項式の次数になります。一方、変数 (a) を含まない項は固定 (定数) 項と呼ばれます。

多項式は次のようになります。
25倍² +19x – 06

多項式形式の別の例は次のとおりです。

3倍
× – 2
-6歳² – (1/2)x
3xyz + 3xy²z – 0.1xz – 200y + 0.5
512v⁵+99w⁵
5 (定数は変数の累乗が 0 である係数であるため、数値は多項式になります。)

多項式には次のものを含めることができます。

変数 (方程式の x、y、z のような変更可能な値です。複数の変数がある場合があります)
係数（変数に付随する定数）
定数（変化しない固定値）
指数またはべき乗は変数のべき乗です。とも呼ばれます度多項式の。

多項式の項

方程式を「多項式」と呼ぶには、次のようないくつかの条件もあります。

変数には小数または負の指数を含めることはできません。
変数を三角方程式に含めることはできません。

多項式と非多項式

以下に、多項式形式に含まれない形式をいくつか示します。

3xy^-2, ランクがマイナスになっているためです。指数またはべき乗は {0,1,2…} のみです。
2/(x+2) 。変数による除算は許可されていないためです (分母のべき乗が負です)。
1/x 、同じ理由で ^。
√x 、ルートは分数のべき乗であるため、これは許可されません。
x cos x 、三角関数には変数 x があるため

多項式形式で許可されているもの、または多項式形式に含まれているものは次のとおりです。細心の注意を払ってください。

定数で割っても問題ないため、x/2 が許可されます。

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√x² はい、結果を説明した後では指数分数は存在しないためです。
√2 はルートが変数ではなく定数であるためかもしれません。
1/2×⁵ – (cos∏)x³– (tan 60°)x – 1 が可能なのは、三角関数は定数であり、変数が存在しないためです。

多項式の値

代入法またはホーナースキームを使用して、x=k または f (k) の多項式 f (x) の値を求めることができます。詳細は次のとおりです。

置換方法：
x = k を多項式に代入すると、次のようになります。

f(x) = a_n kⁿ +a_n-1 k^n-1 +... +a₁ k+a

ホーナースキームの方法:
例として:
(f(k) = x³ +bx² +cx +d それで: f(k) = ak³ +bk² + CK + D
ザ³ +bx² + cx + d = (ak² + bk + c) k+d
= ((ak + b) k + c) k+d

多項式の除算

一般に、多項式内の除算は次のように記述できます。

式： f(x) = g(x) h(x) + s(x)

情報：

f (x) は割り切れる多項式です。
g (x) は乗数項です。
h (x) は商の多項式項です。
s (x) は剰余項です。

多項式の除算法を理解する前に、まず剰余定理について知る必要があります。

F(x) を n 次の多項式とします。

F(x) を (x-k) で割ると、結果は F(k) になります。

F(x) を (ax-b) で割ると、結果は F(b/a) になります。

F(x) を (x-a)(x-b) で割ると、結果は次のようになります。

通常の配布方法

例としては、2x の場合です。³ – 3倍² + x + 5 を 2x で割った² – × – 1

商と余りは商 = x-1、余り = x+4 となります。

ホーナー除算法

ホーナー法を使用して、多項式 f (x) を (x-k) で除算できます。

この方法は、次数 1 の約数、または次数 1 の約数に因数分解できる約数に使用できます。

方法は次のとおりです。

係数を書き留めるだけです → 係数は x 係数から開始して一貫性があるか連続的である必要がありますⁿ、バツ^n–1, … を定数に変換します (存在しない変数がある場合、係数は 0 と書き込まれます)

例: 4x の場合³ – 1、係数は 4、0、0、および -1 (x の場合)³、バツ²、x、および定数)

最高次数 P(x) ≠ 1 の場合、商を最高次数 P(x) の係数で再度除算する必要があります。
約数を因数分解できる場合は、次のようになります。
- 約数が P に因数分解できる場合₁ Pも同様に₂、S(x) = P₁.S₂ +S₁
- 約数が P に因数分解できる場合₁、P₂、P₃、S(x) = P₁.P₂.S₃ +P₁.S₂ +S₁
- 約数を P に因数分解できる場合₁、P₂、P₃、P₄、S(x) = P₁.P₂.P₃.S₄ +P₁.P₂.S₃ +P₁.S₂ +S₁
- 等々。

不定係数法

基本的に、この方法は、次数 m の F(x) と次数 n の P(x) を多項式除算の一般形式に代入し、次に H(x) と S(x) を次のように埋めることによって行われます。

H(x) は k 次の多項式です。ここで、k = m – n

S(x) は n ～ k 次の多項式です。

多項式問題の例

質問1。

知られている

F(x) = 2x³ – 3倍² + x + 5

P(x) = 2x² – × – 1

商と余りを求める

答え：

F(x) = 2x³ – 3倍² + x + 5

P(x) = 2x² – x – 1 = (2x + 1)(x – 1)

したがって、p1: (2x + 1) = 0 -> x = -1/2、p2: (x – 1) = 0 -> x = 1

次に、ホーナーステップを次の図に示します。

したがって、結果と剰余は次のように得られます。

H(x) = x-1

S(x) = P₁×S₂ +S₁ = x + 4

問題2。

多数のXの部族⁴ – 3倍³ – 5倍² + x – 6 を x² – x -2 で割った余りは…

ａ． 16x + 8
b. 16x – 8
c. -8x+16
d. -8x – 16
e. -8x – 24

答え：

約数は x² – x -2 であることがわかっているため、次のようになります。
x² – x -2= 0
(x – 2) (x + 1) = 0
x = 2 および x = -1

次の式を覚えておいてください。 P(x) = H(x) + (px + q) なので、 残り (px + q) の場合、次のようになります。

x = 2

f(2) = 2p + q
24 – 3(2)3 – 5(2)2 + 2 – 6 = 2p + q
16 – 24 – 20 + 2 – 6 = 2p + q
-32 = 2p + q … (i)

x = -1

f(-1) = -p + q
(-1) – 3(-1)3 – 5(-1)2 + (-1) – 6 = -p + q
1 + 4 – 5 – 1 – 6 = -p + q
-8 = -p + q …(ii)

方程式 (i) と (ii) を消去すると、次のようになります。

-32 =2p +q
-8 =-p +q
-24 =3p
p = -8

p = –p + q = -8 を代入すると
-(-8) + q = -8
q = -16

したがって、剰余は = p + q = -8x – 16 となります。

答え：D

問題3。

F(x) = 2x であることが知られています³ – 3倍² + x + 5 、P(x) = 2x² – × – 1

不定法を使用して商と余りを求める

質問についてのディスカッション:

m = 3、n = 2、k = 1

H(x) は次数 1 です。H(x) = ax+b としましょう。

S(x) は次数 2-1=1 です。例: S(x) = px+q

F(x)、P(x)、H(x)、S(x)を式に代入します。

F(x) = P(x)。 H(x) + S(x)、その後取得

2倍³ – 3倍² + x + 5 = (2x² – x – 1)(ax+b) + px+q

2倍³ – 3倍² + x + 5 = 2ax³+ 2bx²– 斧²– bx – ax – b + px + q

(2)×³ +(-3)x² + (1)x + (5) = (2a)x³+ (2b-a)x²+ (- b – a + p) x + (- b + q)

次に、左辺と右辺の係数を次のように等しくします。

2a = 2

a = 1

2b – a = -3

2b – 1 = -3

2b = -2

b = -1

– b – a + p = 1

1 – 1 + p = 1

p = 1

– b + q = 5

1 + q = 5

q = 4

それで、

H(x) = ax + b = x – 1

S(x) = px + q = x + 4

問題4。

(2x3 -5x2 – px =3) の因数の 1 つは (x + 1) です。多さのもう一つの要因は…

ａ． (x – 2) および (x – 3)
b. (x + 2) および (2x – 1)
c. (x + 3) と (x + 2)
d. (2x + 1) および (x – 2)
e. (2x – 1) および (x – 3)

答え：

因数は x + 1 -> x = -1 です。

f(-1) = 0
2(-1) 3 – 5(-1) 3 – p(-1) + 3 = 0
-2 – 5 + p + 3 = 0
p = 4

次に、 f (x) = 2x3 -5x3 – 4x =3

= (x + 1)(2×2 – 7x + 3)
= (x + 1)(2x – 1)(x – 3)

したがって、他の係数は (2x – 1) と (x – 3) になります。

答え: E

問題5。

2 つの多項式 x3 -4x3 – 5x + m および x があります。² -3x – 2 ÷ x + 1 の余りは同じなので、2m + 5 = …

ａ． 17
b. 18
c. 24
d. 27
e. 30

答え：

たとえば、f(x) = x³ -4x² – 5x + m および x² -3x – 2

÷(x + 1 ) –> x = -1 の余りが同じ場合、次のようになります。
f(-1) = g(-1)
(-1)³ – 4(-1)² + 5(-1) + m = (-1)² + 3(-1) – 2
-1 -4 – 5 + m = 1 – 3 – 2
-10 + m = -4
m = -4 + 10
m = 6

したがって、2m + 5 = 2(6) + 5 = 17 の値になります。

答え: A

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