√ 導関数、型、公式、および問題例の定義

August 15, 2023
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デリバティブに関する議論は研究する必要がある。学習した極限概念を利用すると、以下の派生教材を簡単に学習できます。

デリバティブの定義

微分とは、入力値（変数）の変化による関数値の変化を計算するものです。

導関数は微分とも呼ばれ、関数の導関数を決定するプロセスは微分と呼ばれます。

研究された極限概念を使用すると、導関数は次のように定義できます。

導関数は、変数 x に対する関数の値の平均変化の限界として定義されます。

以下に、継承の実装例を説明する。

派生アプリケーション

以下に派生実装をいくつか示します。

導関数を適用して、曲線の接線の勾配を計算できます。
導関数を使用して、関数が増加または減少する間隔を決定できます。
微分を適用して関数の定常値を決定できます。
微分は運動方程式に関連する問題を解く際に適用できます。
導関数を使用して最大最小問題を解くことができます。

以下、導関数について説明する。

導関数

導関数を求めるための基本的な式をいくつか示します。

f(x) = c、c は定数です

この関数の導関数は f'(x) = 0 です。

f(x) = x

この関数の導関数は f'(x) = 1 です。

f(x) = 斧ⁿ

この関数の導関数は f'(x) = anx です。^n–1

関数加算: h(x) = f(x) + g(x)

この関数の導関数は h'(x) = f'(x) + g'(x) です。

減算関数: h (x) = f (x) – g (x)

この関数の導関数は h'(x) = f'(x) – g'(x) です。

関数 (kf)(x) による定数乗算。

この関数の導関数は k です。 f'(x)。

次に微分関数について説明します。

関数の導出

f (x) = ax という関数があるとします。ⁿ. この関数の導関数は f'(x) = anx です。^n–1.

例は次のとおりです。

f(x) = 3x³

関数の導関数、つまり

f'(x) = 3 (3) x^{3 – 1} = 9x².

別の例は、たとえば g (x) = -5y です。^-3.

この関数の導関数は g'(y) = -5 (-3) y です。^{-3 – 1} = 15歳^-4.

以下に代数関数の微分について説明します。

代数関数の導関数

このセクションでの代数関数の導関数に関する説明には、乗算の形式での導関数と代数関数の分布での導関数が含まれます。

乗算形式の代数関数の導関数は次のとおりです。

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h (x) = u (x) という関数の乗算があるとします。 v(x)。

この関数の導関数は h'(x) = u'(x) です。 v(x) + u(x)。 v'(x)。

情報：

h(x): 乗算形式の関数。
h'(x): 乗算形式関数の導関数
u(x)、v(x): 変数 x を持つ関数
u'(x)、v'(x): 変数 x を使用した関数の導関数

除算形式の代数関数の導関数は次のとおりです。

h (x) = u (x)/v (x) という乗算関数があるとします。この関数の導関数は次のとおりです。

h'(x) = (u'(x)。 v(x) – u(x)。 v'(x))/v²（バツ）。

情報：

h(x): 乗算形式の関数。
h'(x): 乗算形式関数の導関数
u(x)、v(x): 変数 x を持つ関数
u'(x)、v'(x): 変数 x を使用した関数の導関数

ルート導関数について説明します。

ルート派生語

次のような root 関数があるとします。

この関数の導関数を決定するには、まずそれを指数関数に変更します。関数の指数形式は f (x) = x です。^a/b.

この関数の導関数は f'(x) = a/b です。バツ^{(a/b) – 1}.

関数が次のようになったらどうなるでしょうか?

上記の関数の導関数を決定するには、まず関数を指数形式に変更する必要があります。

f(x) = g(x)^z/b

この関数の導関数は f'(x) = a/b です。 g(x)^{(a/b) – 1}. g'(x)。

次に偏導関数について説明します。

部分デリバティブ

偏導関数とは何ですか? 偏導関数は、他の変数が維持されたまま、ある変数に関する多くの変数の関数の導関数です。

f (x, y) = 2xy という関数があるとします。変数 x に関する関数の偏導関数は f です。_バツ’(x, y) = 2y。

変数 y の偏導関数は f です。_y’(x, y) = -6xy。

以下に、陰的導関数について説明します。

暗黙的な導関数

陰的導関数は、関数に含まれる変数に基づいて決定されます。

変数 x を持つ関数、その導関数: x d/dx。

変数 y を持つ関数、その導関数: y d/dy。ダイ/DX。

変数 x と y をもつ関数、導関数: xy d/dx + xy d/dy。ダイ/DX。

別の例として、関数 g (x, y) = -3xy があります。²

デリバティブをより深く理解するには、次の質問に答えてから、以下のセクションの説明を使用して答えを確認してください。

派生質問の例

1. 次の関数の導関数を求めます。

f(x) = 8
g(x) = 3x + 5
h(x) = 6x³
k(x) = 3x^5/3
m(x) = (3x² + 3)⁴

議論

f'(x) = 0
g'(x) = 3
h'(x) = 6 (3) x^{3 – 1}= 18x²
k'(x) = 3 (5/3) x^{(5/3) – 1} = 5倍^2/3
m'(x) = 4。 (3x² + 3)^{4 – 1}. 6倍 = 24倍。 (3x² + 3)³
2. 次の関数の導関数を求めます。
f(x) = (3x + 2)。 (2x² – 1)

議論

例: u (x) = 3x + 2 および v (x) = 2x² – 1

f'(x) = u'(x)。 v(x) + u(x)。 v'(x)

f'(x) = 3。 (2x² – 1) + (3x + 2)。 (4倍)

f'(x) = 6x² – 3 + 12x² + 8x = 18x² +8x – 3

3. 以下の次数 2 の関数が与えられると、

f (0) + 3f'(1) の値を決定します。

議論

この問題を解決するには、関数に値 0 を入力します。

その後、f(0) の値を取得します。派生プロパティのいずれかを使用して、商関数の導関数を操作できます。

式を使用するには、以下の例とその派生を使用できます。

U = x2 + 3; U' = 2x

V = 2x + 1; V' = 2

次に、この例を前の微分公式に入力し、f'x (1) を直接入力できます。

したがって、結果は f (0) + 3f'(1) = 3 + 3(0) = 3 となります。

4. 導関数を求めます f (x) = (x² + 2x + 3)(3x + 2)

議論

前の問題と同様に、乗算形式の微分問題に取り組むには、次のように導出プロパティの公式を使用し、関数の例を使用できます。

F'(x) = u'v + uv'

U = x² +2x +3; U' = 2x + 3

V = 3x + 2; V' = 3

F'(x) = u'v + uv'

F'(x) = (2x+3)(3x + 2) + (x² + 2x + 3)(3)

F'(x) = 6x²+13倍 +6 +3倍²+6x+9

F'(x) = 9x² +19x +15

したがって、最終的な形式 F'(x) は 9x です。² +19x +15

5. f (x) = (2x-1) がある場合²(x+2)。 f'x の値は何ですか (2)
議論
この問題を解決するには、関数 f'(x) = u'v + v'u の導関数プロパティを使用して最終結果を取得します。それで、もう一度別れをすることができます。

F'(x) = u'v + uv'

U= (2x-1)² = 4x²– 4x + 1; U' = 8x – 4

V = x + 2; V' = 1

F'(x) = u'v + uv'

F'(x) = (8x – 4)(x + 2) + (4x²– 4x + 1)(1); 問題のように値 2 を入力できます

F'(2) = ((8(2) – 4)(2 + 2)) + ((4(2)²– 4(2) + 1)(1))

F'(2) = ((16-4)(4)) + ((16-8+1)(1))

F'(2) = 96 + 9 = 105

したがって、F'(2) の最終値は 105 になります。

6. 曲線 y= -2x の接線を見つけます² + 6x + 7 (直線 x に垂直) – 2y +13 = 0

議論

問題文には、互いに直交する 2 本の直線があると記載されているため、2 本の直線には一定の傾きがあると仮定できます。 mの値を決定できます₁ そしてM₂ 両方の線から。

メートル₁直線の傾き y= -2x² +6x+7。 mの値を求めるには₁、関数 y= -2x を導出することで実行できます。² +6x+7。

メートル₁= y'(x) = -4x + 6

メートル₂は x – 2y +13 の傾きです。 mの値を求めるには₂、関数を関数 y に変更する必要があります。

x – 2y +13 = 0

x + 13 = 2y

y = 0.5x + 6.5

メートル₂= y'(x) = 0.5

2 本の直線は互いに垂直であるため、m の値は₁×メートル₂= -1.

メートル₁×メートル₂= -1

(-4x + 6)0.5 = -1

-2x + 3 = -1

-2x = -4

X = 2

それを方程式 m に代入します。₁mの値が得られるようにする₁ = -2. x の値を見つけたら、その値を y 関数に入力して、値 y = 11 を取得します。

接線を作成するために使用される公式は (y-y₁) = m₁(x – x₁).

(y – 11) = -2 (x – 2)

Y – 11 = -2x +4

Y = -2x + 15

正接は y+2x-15 = 0 です。

7. 面積512cmの正方形の底を持つ蓋のない箱があります². ボリュームが最大値になるエッジの長さはどれくらいですか
議論
この質問では、箱には蓋がないと説明されています。したがって、ボックスは 4 つの側面と 1 つの底面で構成されます。底辺の辺をs、辺の高さをtとする。ボックス方程式は次のように書くことができます。

512 = ベースの面積 + ボックスの 4 辺

512 = s.s + 4.s.t
512 = 秒² +4番目
512 – 秒² = 4位

t を取得したら、箱の体積を求めることができます。

V = s³ = s². t

最大の体積を得るには、上記の体積方程式を導き出すことができます。

V'(s) = 0

S² = 170.67cm²

S = 13.07cm

したがって、最大体積に必要な長さ s は 13.07 cm です。

微分とは、入力値（変数）の変化による関数値の変化を計算するものです。

導関数には、代数導関数、根導関数、偏導関数、陰的導関数など、いくつかの種類があります。

それが相続に関する議論です。デリバティブについて学ぶのに役立つことを願っています。ありがとう。

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