3 変数一次方程式系: 特徴、構成要素、解法および問題例

3 変数一次方程式系: 特徴、構成要素、解法および問題例 –  3変数方程式系とは何を意味するのでしょうか? この機会に ナレッジ.co.idについて それについて、そしてもちろんそれを取り巻く事柄についても話し合います。 理解を深めるために、以下の記事でその議論を一緒に見てみましょう。

3 変数一次方程式系: 特徴、構成要素、解法および問題例

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3 変数方程式系 (一般に SPLTV と略称されます) は、3 つの変数を持つ線形方程式の集合です。 線形方程式は、方程式内の変数の最大指数が 1 であるという特徴があります。 また、式をつなぐ符号は等号である。

建築では、建物を建設するための数学的計算があり、その 1 つに連立一次方程式があります。 連立一次方程式は交点の座標を決定するのに役立ちます。 スケッチに適合する建物を作成するには、正確な座標が不可欠です。 この記事では、3 変数線形方程式系 (SPLTV) について説明します。

3 変数線形方程式系 - 2 変数線形方程式系 (SPLDV) の拡張形式です。 3 変数系の線形方程式では、3 つの方程式で構成され、各方程式は 3 つの変数 (x、y、z など) を持ちます。

3 変数線形方程式系は、3 つの変数を含むいくつかの線形方程式で構成されます。 3 変数線形方程式の一般的な形式は次のとおりです。

ax + by + cz = d

a、b、c、d は実数ですが、a、b、c がすべて 0 になることはできません。 この方程式には多くの解があります。 任意の値を 2 つの変数と比較して 3 番目の変数の値を決定することで、1 つの解を得ることができます。

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3 変数一次方程式系の特徴

方程式が次の特性を持つ場合、その方程式は 3 変数線形方程式系と呼ばれます。

• 等号 (=) 関係の使用
• 3 つの変数があります
• 3 つの変数の次数は 1 (ランク 1) です。

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3 変数一次方程式システムのコンポーネント

常に 3 変数線形方程式系に関連する 3 つのコンポーネントまたは要素が含まれます。

3 つのコンポーネントは、項、変数、係数、定数です。 以下に、SPLTV の各コンポーネントについて説明します。

• 民族

項は、変数、係数、定数で構成される代数形式の一部です。 各用語は、句読点を追加または削除することによって区切られます。

例：

6x – y + 4z + 7 = 0 の場合、方程式の項は 6x、-y、4z、および 7 となります。

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• 変数

変数とは、一般に x、y、z などの文字を使用して示される変数、または数値の代替品です。

例：

ユリサはリンゴ 2 個、マンゴー 5 個、オレンジ 6 個を持っています。 方程式の形で書くと次のようになります。

たとえば、リンゴ = x、マンゴー = y、オレンジ = z なので、方程式は 2x + 5y + 6z となります。

• 係数

係数とは、同じ種類の変数の数を表す数値です。

係数の方程式は変数の前に記述されるため、係数は変数の前の数値とも呼ばれます。

例：

ギランにはリンゴが 2 個、マンゴーが 5 個、オレンジが 6 個あります。 これを方程式の形で書くと次のようになります。

たとえば、リンゴ = x、マンゴー = y、オレンジ = z なので、方程式は 2x + 5y + 6z となります。

この式から、2、5、6 が係数であり、2 が x 係数、5 が y 係数、6 が z 係数であることがわかります。

• 絶え間ない

定数は、後に変数が続かない数値であるため、変数の値に関係なく、固定値または定数値を持ちます。

例：

2x + 5y + 6z + 7 = 0、この式から定数は 7 となります。 これは、7 が固定値であり、変数の影響を受けないためです。

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3 変数一次方程式系を解く方法

値 (x, y, z) が SPLTV の 3 つの方程式を満たす場合、値 (x, y, z) は 3 変数線形方程式系の解のセットになります。 SPLTV 解のセットは、置換法と消去法という 2 つの方法で決定できます。

• 置換方法

代入法は、ある方程式の変数の値を別の式に代入して、連立一次方程式を解く方法です。 この方法は、3 変数系の線形方程式ですべての変数値が得られるまで実行されます。

係数が 0 または 1 である方程式が含まれる SPLTV では、置換方法が使いやすくなります。 置換法で解く手順は以下の通りです。

1. 単純な形を持つ方程式を見つけます。 単純な形式の方程式の係数は 1 または 0 です。
2. 変数の 1 つを他の 2 つの変数の形式で表現します。 たとえば、変数 x は変数 y または z で表現されます。
3. 2 番目のステップで取得した変数値を SPLTV の他の式に代入すると、2 変数線形方程式系 (SPLDV) が得られます。
4. ステップ 3 で取得した SPLDV ソリューションを決定します。
5. すべての未知の変数の値を決定します。

次の例の問題をやってみましょう。 以下の 3 変数連立一次方程式の解のセットを決定します。

x + y + z = -6 … (1)

x – 2y + z = 3 … (2)

-2x + y + z = 9 … (3)

まず、式 (1) を z = -x – y – 6 から式 (4) に変更します。 次に、次のように式 (4) を式 (2) に代入できます。

x – 2y + z = 3

x – 2y + (-x – y – 6) = 3

x – 2y – x – y – 6 = 3

-3y = 9

y = -3

その後、次のように式 (4) を式 (3) に代入できます。

-2x + y + (-x – y – 6) = 9

-2x + y – x – y – 6 = 9

-3x = 15

x = -5

値 x = -5 および y = -3 が得られます。 これを式 (4) に代入して、次のように z の値を取得できます。

z = -x – y – 6

z = -(-5) – (-3) – 6

z = 5 + 3 – 6

z = 2

したがって、解セット (x, y, z) = (-5, -3, 2) が得られます。

• 消去法

消去法とは、2 つの方程式の変数のうち 1 つを消去することによって連立一次方程式を解く方法です。 このメソッドは、変数が 1 つだけ残るまで実行されます。

消去法は、すべての 3 変数系の線形方程式に使用できます。 ただし、この方法では各ステップで 1 つの変数しか除去できないため、長いステップが必要になります。 SPLTV ソリューションのセットを決定するには、消去法の少なくとも 3 倍が必要です。 この方法は、置換方法と組み合わせるとより簡単になります。

消去法で解く手順は以下の通りです。

1. SPLTV で 3 つの方程式を観察してください。 同じ変数に同じ係数値を持つ 2 つの式がある場合は、変数の係数が 0 になるように 2 つの式を減算または加算します。
2. どちらの変数も同じ係数を持たない場合は、両方の式の変数の係数を同じにする数値を両方の式に掛けます。 変数の係数が 0 になるように、2 つの方程式を減算または加算します。
3. 他の式のペアに対してステップ 2 を繰り返します。 このステップで省略された変数は、ステップ 2 で省略された変数と同じである必要があります。
4. 前のステップで 2 つの新しい方程式を取得した後、2 変数線形方程式系 (SPLDV) 解法を使用して、2 つの方程式の解セットを決定します。
5. ステップ 4 で取得した 2 つの変数の値をいずれかの SPLTV 方程式に代入して、3 番目の変数の値を取得します。

次の質問では消去法を使ってみます。 SPLTV ソリューションのセットを決定してください。

2x + 3y – z = 20 … (1)

3x + 2y + z = 20 … (2)

X + 4y + 2z = 15 … (3)

SPLTV は、変数 z を消去することによって解のセットを決定できます。 まず、式 (1) と (2) を加算して、次を求めます。

2x + 3y – z = 20

3x + 2y + z = 20 +

5x + 5y = 40

x + y = 8 … (4)

次に、式 (2) で 2 を乗算し、式 (1) で 1 を乗算すると、次のようになります。

3x + 2y + z = 20 |x2 6x + 4y + 2z = 40

x + 4y + 2z = 15 |x1 x + 4y + 2z = 15 –

5x = 25

x = 5

x の値がわかったら、次のように式 (4) に代入します。

x + y = 8

5 + y = 8

y = 3

式(2)にxとyの値を次のように代入します。

3x + 2y + z = 20

3(5) + 2(3) + z = 20

15 + 6 + z = 20

z = -1

したがって、SPLTV (x, y, z) の解のセットは (5, 3, -1) になります。

• 組み合わせた方法または混合した方法

結合法または混合法を使用して連立一次方程式を解くことは、2 つの方法を同時に組み合わせて解く方法です。

問題の方法は消去法と置換法です。

この方法は、置換法を最初に使用することも、消去法を最初に使用することもできます。

そして今回は、次の 2 つのテクニックを組み合わせた、または混合した方法を試してみます。

最初に削除してから、置換方法を使用します。
最初に置換し、次に消去法を使用します。

このプロセスは、消去法と置換法を使用して SPLTV を解く場合とほぼ同じです。

この組み合わせまたは組み合わせを使用して SPLTV を解決する方法をさらに理解していただくために、ここでは質問の例とその議論をいくつか紹介します。

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問題例

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問題１．

置換法を使用して、以下の SPLTV ソリューションのセットを決定します。
x – 2y + z = 6
3x + y – 2z = 4
7x – 6y – z = 10

答え：

最初のステップは、最も単純な方程式を決定することです。

3 つの式のうち、最初の式が最も単純です。 最初の方程式から、変数 x を y と z の関数として次のように表します。

⇒ x – 2y + z = 6

⇒ x = 2y – z + 6

変数 x を 2 番目の方程式に代入します。

⇒ 3x + y – 2z = 4

⇒ 3(2y – z + 6) + y – 2z = 4

⇒ 6y – 3z + 18 + y – 2z = 4

⇒ 7y – 5z + 18 = 4

⇒ 7y – 5z = 4 – 18

⇒ 7y – 5z = –14 …………式 (1)

変数 x を 3 番目の方程式に代入します。

⇒ 7x – 6y – z = 10

⇒ 7(2y – z + 6) – 6y – z = 10

⇒ 14y – 7z + 42 – 6y – z = 10

⇒ 8y – 8z + 42 = 10

⇒ 8y – 8z = 10 – 42

⇒ 8y – 8z = –32

⇒ y – z = –4 …………… 式. (2)

式 (1) と (2) は SPLDV y と z を形成します。
7y – 5z = –14
y – z = –4

次に、置換法を使用して上記の SPLDV を解きます。 最も単純な方程式の 1 つを選択してください。 この場合、2 番目の式が最も単純な式になります。

2 番目の方程式から、次のことが得られます。

⇒ y – z = –4

⇒ y = z – 4

変数 y を最初の式に代入します。

⇒ 7y – 5z = –14

⇒ 7(z – 4) – 5z = –14

⇒ 7z – 28 – 5z = –14

⇒ 2z = –14 + 28

⇒ 2z = 14

⇒ z = 14/2
⇒ z = 7

値 z = 7 を SPLDV の 1 つに代入すると、たとえば y – z = –4 となり、次のようになります。

⇒ y – z = –4

⇒ y – 7 = –4

⇒ y = –4 + 7

⇒ y = 3

次に、値 y = 3 と z = 7 を SPLTV の 1 つに代入します (たとえば、x – 2y + z = 6)。次のようになります。

⇒ x – 2y + z = 6

⇒ x – 2(3) + 7 = 6

⇒ x – 6 + 7 = 6

⇒ x + 1 = 6

⇒ x = 6 – 1

⇒ x = 5

したがって、x = 5、y = 3、z = 7 となります。 したがって、SPLTV 問題の解のセットは {(5, 3, 7)} となります。
取得した x、y、z の値が正しいことを確認するには、x、y、z の値を上記の 3 つの SPLTV に代入することで確認できます。 特に:

式I:

⇒ x – 2y + z = 6

⇒ 5 – 2(3) + 7 = 6

⇒ 5 – 6 + 7 = 6

⇒ 6 = 6 (真)

式 II:

⇒ 3x + y – 2z = 4

⇒ 3(5) + 3 – 2(7) = 4

⇒ 15 + 3 – 14 = 4

⇒ 4 = 4 (真)

式III:

⇒ 7x – 6y – z = 10

⇒ 7(5) – 6(3) – 7 = 10

⇒ 35 – 18 – 7 = 10

⇒ 10 = 10 (真)
上記のデータから、取得した x、y、z の値が正しく、問題の 3 つの変数の線形方程式系を満たしていることが確認できます。

問題2。

線形方程式系を考えると、次のようになります。

(i) x -3y +z =8

(ii) 2x =3y-z =1

(iii) 3x -2y -2z =7

x+y+z の値は次のとおりです。

A.-1

B. 2

C. 3

D. 4

議論：

式 (i) より、x – 3y + z = 8 → x = 3y – z + 8…。 (iv)

式 (iv) を式 (ii) に代入します。
2x + 3y – z = 1
2(3y – z + 8) + 3y – z = 1
6y – 2z + 16 + 3y – z = 1
9y – 3z + 16 = 1
3z = 9y + 15
z = 3y + 5 …。 (v)

式 (iv) を式 (iii) に代入します。
3x – 2y – 2z = 7
3(3y – z + 8) – 2y – 2z = 7
9y – 3z + 24 – 2y – 2z = 7
7y – 5z + 24 = 7
5z = 7y + 24 – 7
5z = 7y + 17…。 (vi)

式 (v) を式 (vi) に代入します。
5z = 7y + 17
5(3y + 5) = 7y + 17
15y + 25 = 7y + 17
15y – 7y = -25 + 17
8y = -8 → y = –1 …. (vii)

y = – 1 の値を式 (vi) に代入して、z 値を取得します。
5z = 7y + 17
5z = 7( – 1) + 17
5z = – 7 + 17
5z = 10 → z = 2 … (viii)

値 y = – 1 および z = 2 を式 (i) に代入して、値 x を取得します。
x – 3y + z = 8
x – 3(-1) + 2 = 8
x + 3 + 2 = 8
x + 5 = 8
x = 8 – 5 → x = 3

連立方程式を満たす 3 つの変数の値、つまり x = 3、y = – 1、z = 2 が得られます。

したがって、x + y + z = 3 + (-1) + 2 = 4 の値になります。

答え：D

線形方程式系が与えられた場合

(i) = x – 3y +

議論：

式 (i) より、x – 3y + z = 8 → x = 3y – z + 8…。 (iv)

式 (iv) を式 (ii) に代入します。
2x + 3y – z = 1
2(3y – z + 8) + 3y – z = 1
6y – 2z + 16 + 3y – z = 1
9y – 3z + 16 = 1
3z = 9y + 15
z = 3y + 5 …。 (v)

式 (iv) を式 (iii) に代入します。
3x – 2y – 2z = 7
3(3y – z + 8) – 2y – 2z = 7
9y – 3z + 24 – 2y – 2z = 7
7y – 5z + 24 = 7
5z = 7y + 24 – 7
5z = 7y + 17…。 (vi)

式 (v) を式 (vi) に代入します。
5z = 7y + 17
5(3y + 5) = 7y + 17
15y + 25 = 7y + 17
15y – 7y = -25 + 17
8y = -8 → y = – 1 …。 (vii)

y = – 1 の値を式 (vi) に代入して、z 値を取得します。
5z = 7y + 17
5z = 7( – 1) + 17
5z = – 7 + 17
5z = 10 → z = 2 … (viii)

値 y = – 1 および z = 2 を式 (i) に代入して、値 x を取得します。
x – 3y + z = 8
x – 3(-1) + 2 = 8
x + 3 + 2 = 8
x + 5 = 8
x = 8 – 5 → x = 3

連立方程式を満たす 3 つの変数の値、つまり x = 3、y = – 1、z = 2 が得られます。

したがって、x + y + z = 3 + (-1) + 2 = 4 の値になります。

答え：D

問題3。

結合法を使用して、以下の 3 変数線形方程式系の解セットを決定します。
x + 3y + 2z = 16
2x + 4y – 2z = 12
x + y + 4z = 20

答え：

置換メソッド (SPLTV)

最初のステップでは、最も単純な方程式を決定します。 上記の 3 つの式から、3 番目の式が最も単純な式であることがわかります。

3 番目の方程式から、変数 z を y と z の関数として次のように表します。

⇒ x + y + 4z = 20

⇒ x = 20 – y – 4z …………式 (1)

次に、上記の式 (1) を最初の SPLTV に代入します。

⇒ x + 3y + 2z = 16

⇒ (20 – y – 4z) + 3y + 2z = 16

⇒ 2y – 2z + 20 = 16

⇒ 2y – 2z = 16 – 20

⇒ 2y – 2z = –4

⇒ y – z = –2 …………。 パース。 (2)

次に、上記の式 (1) を 2 番目の SPLTV に代入します。

⇒ 2x + 4y – 2z = 12

⇒ 2(20 – y – 4z) + 4y – 2z = 12

⇒ 40 – 2y – 8z + 4y – 2z = 12

⇒ 2y – 10z + 40 = 12

⇒ 2y – 10z = 12 – 40

⇒ 2y – 10z = –28 …………式 (3)

式 (2) と式 (3) から、次のように SPLDV y と z が得られます。
y – z = –2
2y – 10z = –28

消去法（SPLDV）

y を消去または削除するには、2 つの方程式の y 係数が同じになるように、最初の SPLDV に 2 を掛けます。

次に、2 つの方程式を微分して、次のような z 値を取得します。

y – z = -2 |×2| → 2y – 2z = -4

2y – 10z = -28 |×1| → 2y – 10z = -28
__________ –
8z = 24
z = 3

z を消去するには、最初の SPLDV に 10 を掛けて、両方の式の z 係数が同じになるようにします。

次に、2 つの方程式を減算して、次のように y 値を取得します。

y – z = -2 |×10| → 10y – 10z = -20

2y – 10z = -28 |×1| → 2y – 10z = -28
__________ –
8y = 8
z = 1

この時点までで、y = 1 と z = 3 という値が得られます。

最後のステップは、x の値を決定することです。 x 値を決定する方法は、y 値と z 値をいずれかの SPLTV に入力することです。 たとえば、x + 3y + 2z = 16 なので、次のようになります。

⇒ x + 3y + 2z = 16

⇒ x + 3(1) + 2(3) = 16

⇒ x + 3 + 6 = 16

⇒ x + 9 = 16

⇒ x = 16 – 9

⇒x = 7

このようにして、値 x = 7、y = 1、z = 3 が得られるため、上記の問題に対する SPLTV 解のセットは {(7, 1, 3)} となります。

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