Sistema di tre equazioni lineari variabili: caratteristiche, componenti, metodi di risoluzione e problemi di esempio
Sistema di tre equazioni lineari variabili: caratteristiche, componenti, metodi di risoluzione e problemi di esempio – Cosa si intende per sistema di tre equazioni variabili? In questa occasione Informazioni su knowledge.co.id ne discuterà e ovviamente anche le cose che lo circondano. Diamo un'occhiata alla discussione insieme nell'articolo qui sotto per capirlo meglio.
Sistema di tre equazioni lineari variabili: caratteristiche, componenti, metodi di risoluzione e problemi di esempio
Il sistema di equazioni a tre variabili o comunemente abbreviato in SPLTV è una raccolta di equazioni lineari che hanno tre variabili. Un'equazione lineare è caratterizzata dal fatto che l'esponenziale più alto delle variabili nell'equazione è uno. Inoltre, il segno che collega le equazioni è un segno di uguale.
In architettura esistono calcoli matematici per la costruzione di edifici, uno dei quali è un sistema di equazioni lineari. Un sistema di equazioni lineari è utile per determinare le coordinate dei punti di intersezione. Le coordinate precise sono essenziali per produrre un edificio che si adatti allo schizzo. In questo articolo discuteremo un sistema di tre equazioni lineari variabili (SPLTV).
Sistema di tre equazioni lineari variabili - è una forma estesa di un sistema di due equazioni lineari variabili (SPLDV). Che, in un sistema di equazioni lineari a tre variabili costituito da tre equazioni, ogni equazione ha tre variabili (es. x, y e z).
Il sistema di equazioni lineari a tre variabili è costituito da diverse equazioni lineari con tre variabili. La forma generale dell'equazione lineare a tre variabili è la seguente.
ax + by + cz = d
a, b, c e d sono numeri reali, ma a, b e c non possono essere tutti 0. Questa equazione ha molte soluzioni. Una soluzione può essere ottenuta confrontando valori arbitrari a due variabili per determinare il valore della terza variabile.
Caratteristiche di un sistema di tre equazioni lineari variabili
Un'equazione è detta sistema a tre variabili di equazioni lineari se ha le seguenti caratteristiche:
- Utilizzo di una relazione con il segno di uguale (=).
- Ha tre variabili
- Le tre variabili hanno grado uno (rango uno)
Componenti del sistema a tre equazioni lineari variabili
Contiene tre componenti o elementi che sono sempre correlati a un sistema a tre variabili di equazioni lineari.
Le tre componenti sono: termini, variabili, coefficienti e costanti. Quanto segue è una spiegazione di ciascuno dei componenti SPLTV.
Gruppo etnico
Il termine è una parte di una forma algebrica costituita da variabili, coefficienti e costanti. Ogni termine è separato aggiungendo o sottraendo segni di punteggiatura.
Esempio:
6x – y + 4z + 7 = 0, allora i termini dell'equazione sono 6x, -y, 4z e 7.
Variabile
Le variabili sono variabili o sostituti di un numero generalmente indicati dall'uso di lettere come x, y e z.
Esempio:
Yulisa ha 2 mele, 5 mango e 6 arance. Se scriviamo sotto forma di equazione allora:
Ad esempio: mele = x, manghi = y e arance = z, quindi l'equazione è 2x + 5y + 6z.
Coefficiente
Il coefficiente è un numero che esprime il numero di variabili dello stesso tipo.
Il coefficiente è anche noto come il numero davanti alla variabile, perché la scrittura di un'equazione per il coefficiente è davanti alla variabile.
Esempio:
Gilang ha 2 mele, 5 manghi e 6 arance. Se lo scriviamo sotto forma di equazione allora:
Ad esempio: mele = x, manghi = y e arance = z, quindi l'equazione è 2x + 5y + 6z.
Da questa equazione si può vedere che 2, 5 e 6 sono coefficienti dove 2 è il coefficiente x, 5 è il coefficiente y e 6 è il coefficiente z.
Costante
Una costante è un numero che non è seguito da una variabile, quindi avrà un valore fisso o costante indipendentemente dal valore della variabile o delle variabili.
Esempio:
2x + 5y + 6z + 7 = 0, da questa equazione la costante è 7. Questo perché 7 ha un valore fisso e non è influenzato da alcuna variabile.
Metodo di risoluzione di un sistema di tre equazioni lineari variabili
Un valore (x, y, z) è un insieme di soluzioni a un sistema di equazioni lineari a tre variabili se il valore (x, y, z) soddisfa le tre equazioni in SPLTV. L'insieme delle soluzioni SPLTV può essere determinato in due modi, vale a dire il metodo di sostituzione e il metodo di eliminazione.
- Metodo di sostituzione
Il metodo di sostituzione è un metodo per risolvere un sistema di equazioni lineari sostituendo il valore di una delle variabili da un'equazione a un'altra. Questo metodo viene eseguito fino a quando tutti i valori delle variabili non vengono ottenuti in un sistema a tre variabili di equazioni lineari.
Il metodo di sostituzione è più facile da usare su SPLTV che contiene un'equazione con un coefficiente di 0 o 1. Di seguito sono riportati i passaggi per la risoluzione con il metodo di sostituzione.
- Trova un'equazione che abbia una forma semplice. Le equazioni con forme semplici hanno coefficienti 1 o 0.
- Esprimi una delle variabili sotto forma di altre due variabili. Ad esempio, la variabile x è espressa in termini della variabile y o z.
- Sostituire i valori delle variabili ottenuti nel secondo passaggio nelle altre equazioni in SPLTV, in modo da ottenere un sistema di equazioni lineari a due variabili (SPLDV).
- Determinare la soluzione SPLDV ottenuta nel passaggio tre.
- Determina i valori di tutte le variabili sconosciute.
Proviamo a fare il seguente problema di esempio. Determina l'insieme delle soluzioni del sistema a tre variabili di equazioni lineari di seguito.
x + y + z = -6 … (1)
x – 2y + z = 3 … (2)
-2x + y + z = 9 … (3)
Innanzitutto, possiamo cambiare l'equazione (1) in z = -x – y – 6 nell'equazione (4). Quindi, possiamo sostituire l'equazione (4) nell'equazione (2) come segue.
x – 2y + z = 3
x – 2y + (-x – y – 6) = 3
x – 2y – x – y – 6 = 3
-3a = 9
y = -3
Successivamente, possiamo sostituire l'equazione (4) nell'equazione (3) come segue.
-2x + y + (-x – y – 6) = 9
-2x + y – x – y – 6 = 9
-3x = 15
x = -5
Abbiamo i valori x = -5 e y = -3. Possiamo inserirlo nell'equazione (4) per ottenere il valore di z come segue.
z = -x – y – 6
z = -(-5) – (-3) – 6
z = 5 + 3 – 6
z = 2
Quindi, otteniamo la soluzione insieme (x, y, z) = (-5, -3, 2)
- Metodo di eliminazione
Il metodo di eliminazione è un metodo per risolvere un sistema di equazioni lineari eliminando una delle variabili in due equazioni. Questo metodo viene eseguito finché non rimane una sola variabile.
Il metodo di eliminazione può essere utilizzato per tutti i sistemi a tre variabili di equazioni lineari. Ma questo metodo richiede lunghi passaggi perché ogni passaggio può eliminare solo una variabile. È necessario un minimo di 3 volte il metodo di eliminazione per determinare l'insieme di soluzioni SPLTV. Questo metodo è più semplice se combinato con il metodo di sostituzione.
I passaggi per risolvere utilizzando il metodo di eliminazione sono i seguenti.
- Osserva le tre equazioni su SPLTV. Se ci sono due equazioni che hanno lo stesso valore di coefficiente sulla stessa variabile, sottrai o somma le due equazioni in modo che la variabile abbia un coefficiente pari a 0.
- Se nessuna variabile ha lo stesso coefficiente, moltiplica entrambe le equazioni per il numero che rende uguale il coefficiente di una variabile in entrambe le equazioni. Sottrarre o sommare le due equazioni in modo che la variabile abbia un coefficiente pari a 0.
- Ripeti il passaggio 2 per l'altra coppia di equazioni. Le variabili omesse in questo passaggio devono essere le stesse delle variabili omesse nel passaggio 2.
- Dopo aver ottenuto due nuove equazioni nel passaggio precedente, determinare l'insieme di soluzioni per le due equazioni utilizzando il metodo di soluzione del sistema a due variabili di equazioni lineari (SPLDV).
- Sostituisci i valori delle due variabili ottenute nel passaggio 4 in una delle equazioni SPLTV per ottenere il valore della terza variabile.
Cercheremo di utilizzare il metodo di eliminazione nelle seguenti domande. Determina l'insieme delle soluzioni SPLTV!
2x + 3y – z = 20 … (1)
3x + 2y + z = 20 … (2)
X + 4y + 2z = 15 … (3)
SPLTV può essere determinato l'insieme delle soluzioni eliminando la variabile z. Innanzitutto, somma le equazioni (1) e (2) per ottenere:
2x + 3y – z = 20
3x + 2y + z = 20 +
5x + 5y = 40
x + y = 8 … (4)
Quindi, moltiplica 2 nell'equazione (2) e moltiplica 1 nell'equazione (1) per ottenere:
3x + 2y + z = 20 |x2 6x + 4y + 2z = 40
x + 4y + 2z = 15 |x1 x + 4y + 2z = 15 –
5x = 25
x = 5
Dopo aver conosciuto il valore di x, sostituirlo nell'equazione (4) come segue.
x + y = 8
5 + y = 8
y = 3
Sostituisci i valori x e y nell'equazione (2) come segue.
3x + 2y + z = 20
3(5) + 2(3) + z = 20
15 + 6 + z = 20
z = -1
In modo che l'insieme delle soluzioni per SPLTV (x, y, z) sia (5, 3, -1).
Metodi combinati o misti
Risolvere per sistemi di equazioni lineari utilizzando metodi combinati o misti è un modo di risolvere combinando due metodi contemporaneamente.
Il metodo in questione è il metodo di eliminazione e il metodo di sostituzione.
Questo metodo può essere utilizzato utilizzando prima il metodo di sostituzione o eliminando prima.
E questa volta proveremo un metodo combinato o misto con 2 tecniche, vale a dire:
Prima elimina e poi usa il metodo di sostituzione.
Prima sostituendo e poi utilizzando il metodo di eliminazione.
Il processo è quasi lo stesso della risoluzione di SPLTV utilizzando il metodo di eliminazione e il metodo di sostituzione.
Per farti capire di più su come risolvere SPLTV usando questa combinazione o mix, qui forniamo alcuni esempi di domande e la loro discussione.
Esempio di problemi
Problema 1.
Determina l'insieme di soluzioni SPLTV di seguito utilizzando il metodo di sostituzione:
x – 2y + z = 6
3x + y – 2z = 4
7x – 6y – z = 10
Risposta:
Il primo passo è determinare prima l'equazione più semplice.
Delle tre equazioni, la prima equazione è la più semplice. Dalla prima equazione, esprimi le variabili x in funzione di y e z come segue:
⇒ x – 2y + z = 6
⇒ x = 2y – z + 6
Sostituisci la variabile o le variabili x nella seconda equazione
⇒ 3x + y – 2z = 4
⇒ 3(2y – z + 6) + y – 2z = 4
⇒ 6y – 3z + 18 + y – 2z = 4
⇒ 7y – 5z + 18 = 4
⇒ 7y – 5z = 4 – 18
⇒ 7y – 5z = –14 …………… Eq. (1)
Sostituisci la variabile x nella terza equazione
⇒ 7x – 6y – z = 10
⇒ 7(2y – z + 6) – 6y – z = 10
⇒ 14y – 7z + 42 – 6y – z = 10
⇒ 8y – 8z + 42 = 10
⇒ 8y – 8z = 10 – 42
⇒ 8y – 8z = –32
⇒ y – z = –4 ……………… Eq. (2)
Equazioni (1) e (2) formano SPLDV y e z:
7y – 5z = –14
y – z = –4
Quindi risolvi l'SPLDV sopra usando il metodo di sostituzione. Scegli una delle equazioni più semplici. In questo caso la seconda equazione è l'equazione più semplice.
Dalla seconda equazione otteniamo:
⇒ y – z = –4
⇒ y = z – 4
Sostituisci la variabile y nella prima equazione
⇒ 7y – 5z = –14
⇒ 7(z – 4) – 5z = –14
⇒ 7z – 28 – 5z = –14
⇒ 2z = –14 + 28
⇒ 2z = 14
⇒ z = 14/2
⇒ z = 7
Sostituisci il valore z = 7 in uno degli SPLDV, ad esempio y – z = –4 così otteniamo:
⇒ y – z = –4
⇒ y – 7 = –4
⇒ y = –4 + 7
⇒y = 3
Quindi, sostituiamo i valori y = 3 e z = 7 ad uno degli SPLTV, ad esempio x – 2y + z = 6 così otterremo:
⇒ x – 2y + z = 6
⇒ x – 2(3) + 7 = 6
⇒ x – 6 + 7 = 6
⇒ x + 1 = 6
⇒ x = 6 – 1
⇒ x = 5
Quindi, otteniamo x = 5, y = 3 e z = 7. In modo che l'insieme delle soluzioni per il problema SPLTV sia {(5, 3, 7)}.
Per garantire che i valori x, yez ottenuti siano corretti, possiamo scoprirlo sostituendo i valori x, yez nei tre SPLTV sopra. Tra gli altri:
Equazione I:
⇒ x – 2y + z = 6
⇒ 5 – 2(3) + 7 = 6
⇒ 5 – 6 + 7 = 6
⇒ 6 = 6 (vero)
Equazione II:
⇒ 3x + y – 2z = 4
⇒ 3(5) + 3 – 2(7) = 4
⇒ 15 + 3 – 14 = 4
⇒ 4 = 4 (vero)
Equazione III:
⇒ 7x – 6y – z = 10
⇒ 7(5) – 6(3) – 7 = 10
⇒ 35 – 18 – 7 = 10
⇒ 10 = 10 (vero)
Dai dati di cui sopra si può accertare che i valori x, y e z che otteniamo sono corretti e soddisfano il sistema di equazioni lineari delle tre variabili in questione.
Problema 2.
Dato un sistema di equazioni lineari:
(i) x -3y +z =8
(ii) 2x =3y-z =1
(iii) 3x -2y -2z =7
Il valore x+y+z è
R. -1
B. 2
C. 3
D. 4
Discussione:
Dall'equazione (i) x – 3y + z = 8 → x = 3y – z + 8…. (iv)
Sostituire l'equazione (iv) nell'equazione (ii):
2x + 3y – z = 1
2(3y – z + 8) + 3y – z = 1
6y – 2z + 16 + 3y – z = 1
9y – 3z + 16 = 1
3z = 9a + 15
z = 3y + 5 …. (v)
Sostituire l'equazione (iv) nell'equazione (iii):
3x – 2y – 2z = 7
3(3y – z + 8) – 2y – 2z = 7
9y – 3z + 24 – 2y – 2z = 7
7y – 5z + 24 = 7
5z = 7y + 24 – 7
5z = 7y + 17…. (vi)
Sostituire l'equazione (v) nell'equazione (vi):
5z = 7y + 17
5(3a + 5) = 7a + 17
15 anni + 25 = 7 anni + 17
15a – 7a = -25 + 17
8y = -8 → y = –1 …. (vii)
Sostituisci il valore di y = – 1 nell'equazione (vi) per ottenere il valore z.
5z = 7y + 17
5z = 7( – 1) + 17
5z = – 7 + 17
5z = 10 → z = 2 … (viii)
Sostituisci il valore y = – 1 e z = 2 nell'equazione (i) per ottenere il valore x.
x – 3y + z = 8
x – 3(-1) + 2 = 8
x + 3 + 2 = 8
x + 5 = 8
x = 8 – 5 → x = 3
Si ottengono i valori delle tre variabili che soddisfano il sistema di equazioni, ovvero x = 3, y = – 1 e z = 2.
Quindi, il valore di x + y + z = 3 + (-1) + 2 = 4.
Risposta: d
Dato un sistema di equazioni lineari
(i) = x – 3y +
Discussione:
Dall'equazione (i) x – 3y + z = 8 → x = 3y – z + 8…. (iv)
Sostituire l'equazione (iv) nell'equazione (ii):
2x + 3y – z = 1
2(3y – z + 8) + 3y – z = 1
6y – 2z + 16 + 3y – z = 1
9y – 3z + 16 = 1
3z = 9a + 15
z = 3y + 5 …. (v)
Sostituire l'equazione (iv) nell'equazione (iii):
3x – 2y – 2z = 7
3(3y – z + 8) – 2y – 2z = 7
9y – 3z + 24 – 2y – 2z = 7
7y – 5z + 24 = 7
5z = 7y + 24 – 7
5z = 7y + 17…. (vi)
Sostituire l'equazione (v) nell'equazione (vi):
5z = 7y + 17
5(3a + 5) = 7a + 17
15 anni + 25 = 7 anni + 17
15a – 7a = -25 + 17
8y = -8 → y = – 1 …. (vii)
Sostituisci il valore di y = – 1 nell'equazione (vi) per ottenere il valore z.
5z = 7y + 17
5z = 7( – 1) + 17
5z = – 7 + 17
5z = 10 → z = 2 … (viii)
Sostituisci il valore y = – 1 e z = 2 nell'equazione (i) per ottenere il valore x.
x – 3y + z = 8
x – 3(-1) + 2 = 8
x + 3 + 2 = 8
x + 5 = 8
x = 8 – 5 → x = 3
Si ottengono i valori delle tre variabili che soddisfano il sistema di equazioni, ovvero x = 3, y = – 1 e z = 2.
Quindi, il valore di x + y + z = 3 + (-1) + 2 = 4.
Risposta: d
Problema 3.
Determina l'insieme di soluzioni del sistema a tre variabili di equazioni lineari di seguito utilizzando il metodo combinato.
x + 3y + 2z = 16
2x + 4y – 2z = 12
x + y + 4z = 20
Risposta:
Metodo di sostituzione (SPLTV)
Il primo passaggio determina l'equazione più semplice. Dalle tre equazioni precedenti, possiamo vedere che la terza equazione è l'equazione più semplice.
Dalla terza equazione, esprimi la variabile z come funzione di y e z come segue:
⇒ x + y + 4z = 20
⇒ x = 20 – y – 4z ………… Eq. (1)
Quindi, sostituisci l'equazione (1) sopra nel primo SPLTV.
⇒ x + 3y + 2z = 16
⇒ (20 – y – 4z) + 3y + 2z = 16
⇒ 2y – 2z + 20 = 16
⇒ 2y – 2z = 16 – 20
⇒ 2y – 2z = –4
⇒ y – z = –2 …………. pers. (2)
Quindi, sostituisci l'equazione (1) sopra nel secondo SPLTV.
⇒ 2x + 4y – 2z = 12
⇒ 2(20 – y – 4z) + 4y – 2z = 12
⇒ 40 – 2a – 8z + 4a – 2z = 12
⇒ 2y – 10z + 40 = 12
⇒ 2y – 10z = 12 – 40
⇒ 2y – 10z = –28 ………… Eq. (3)
Dall'equazione (2) e dall'equazione (3) otteniamo SPLDV y e z come segue:
y – z = –2
2y – 10z = –28
Metodo di eliminazione (SPLDV)
Per eliminare o eliminare y, moltiplica il primo SPLDV per 2 in modo che i coefficienti y delle due equazioni siano gli stessi.
Successivamente, differenziamo le due equazioni in modo da ottenere valori z come i seguenti:
y – z = -2 |×2| → 2y – 2z = -4
2y – 10z = -28 |×1| → 2y – 10z = -28
__________ –
8z = 24
z = 3
Per eliminare z, moltiplica il primo SPLDV per 10 in modo che i coefficienti z in entrambe le equazioni siano gli stessi.
Quindi sottraiamo le due equazioni in modo da ottenere il valore y come segue:
y – z = -2 |×10| → 10y – 10z = -20
2y – 10z = -28 |×1| → 2y – 10z = -28
__________ –
8 anni = 8
z = 1
Fino a questo punto, otteniamo i valori y = 1 e z = 3.
Il passaggio finale consiste nel determinare il valore di x. Il modo per determinare il valore x è inserendo i valori y e z in uno degli SPLTV. Ad esempio x + 3y + 2z = 16 quindi otterremo:
⇒ x + 3y + 2z = 16
⇒ x + 3(1) + 2(3) = 16
⇒ x + 3 + 6 = 16
⇒ x + 9 = 16
⇒ x = 16 – 9
⇒x = 7
In questo modo, otteniamo i valori x = 7, y = 1 e z = 3 in modo che l'insieme delle soluzioni SPLTV per il problema precedente sia {(7, 1, 3)}.
Così la recensione di Informazioni su knowledge.co.id DiSistema di tre equazioni lineari variabili, si spera che possa aggiungere alla tua intuizione e conoscenza. Grazie per la visita e non dimenticare di leggere altri articoli
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