Logaritmusok: Tulajdonságok, logaritmikus egyenletek, feltételek, dombok, feladatok

Logaritmus egy matematikai művelet, ahol ez a művelet a kitevő vagy a teljesítmény inverz (vagy inverz) művelete. Az alap vagy a fő ebben a logaritmikus képletben általában az a betű formájában van.

Vagy van említés akkor is, ha ez a logaritmus inverz vagy inverze a meghatározza az alapszám kitevõjét.

Angolul a logaritmust hívják logaritmus.

Tehát lényegében a logaritmusok tanulmányozásával megtalálhatjuk a szám erejét egy ismert kitevővel.

Logaritmus

Miután megtudta, mi a logaritmus, akkor köteles ismernie ennek a logaritmusnak az általános formáját is.

Itt van a logaritmus általános formája:

A logaritmus általános formája:

Ha egyⁿ = x akkor ^alogx = n

Információ:

a: az alap, amelynek a következő feltételei vannak: a> 0 és a 1.

x: az algoritmus által keresett szám (numerus), a feltételek: x> 1

n: a logaritmus ereje.

Itt az ideje, hogy megnézze az alábbi példa kérdéseket, hogy jobban megértse a fenti leírást:

1. Amikor 3² = 9, akkor logaritmikus formában ezre változik ³log 9 = 2
2. Amikor 2³ = 8, akkor logaritmikus formában ezre változik ²log 8 = 3
3. Amikor 5³ = 125, akkor logaritmikus formában ezre változik ⁵log 125 = 3

Hogy vagy? Most kezdem megérteni jobb?

Jól, általában itt, akkor is gyakran tapasztalhat zavart annak meghatározása során, hogy melyik szám az alap, és melyik a szám.

Logaritmus olyan matematikai művelet, amely a kitevő vagy a teljesítmény inverze.

A logaritmus alapképlete: b^c = az a-t írják ^blog a = c (b-t alaplogaritmusnak nevezzük).

Nem?

Nyugodj meg srácok, a legfontosabb, amire csak emlékezni kell, ha alapszám Ez bázis, tetején található a „napló” jel előtt. És számrang eredmény úgy hívják numerus, alul található a „log” szó után. Könnyen jobb?

Logaritmikus egyenletek

Logaritmikus egyenleta olyan egyenlet, amelyben a változó a logaritmus alapja.

Ez a logaritmus matematikai műveletként is meghatározható, amely a kitevő vagy egy hatvány inverze (vagy inverze).

Példa Szám 

Itt adunk néhány példát a logaritmikus számokra, beleértve a következőket:

Ezután a logaritmusoknak van néhány tulajdonságuk is Kívánt hogy megértsd, itt. Miért kötelező?

Ennek oka, hogy ezek a jellemzők később az Ön rendelkezésére állnak a logaritmikus problémák könnyű kezelése során.

A logaritmus tulajdonságainak megértése nélkül nem fog tudni dolgozni a logaritmus problémáin, tudod!

Akkor bármi a pokol Milyen tulajdonságai vannak a logaritmusnak? Na gyere, vegye figyelembe az alábbi értékeléseket.

Logaritmikus tulajdonságok

Az alábbiakban bemutatjuk a logaritmusok néhány olyan tulajdonságát, amelyeket meg kell értenie, beleértve:

A fenti tulajdonságok némelyikén kívül a logaritmikus egyenleteknek is vannak bizonyos tulajdonságai, többek között:

A logaritmikus egyenletek tulajdonságai

A logaritmikus egyenletnek van néhány különleges tulajdonsága is, ezek a tulajdonságok a következők:

1. A szorzás logaritmikus tulajdonságai 

A szorzás logaritmikus tulajdonsága két másik logaritmus összeadásának eredménye, amelyben a két szám értéke a kezdeti numerikus érték tényezője.

^anaplók p. q = ^alog p + ^alog q

Ennek az egy tulajdonságnak több feltétele van, nevezetesen: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

2. Logaritmikus szorzás

A logaritmusok szorzása az a logaritmus olyan tulajdonsága, amelyet meg lehet szorozni b logaritmussal, ha az a logaritmus numerikus értéke megegyezik a b logaritmus alapszámával.

A szorzás eredménye egy új logaritmus, amelynek alapszáma megegyezik az a logaritmussal. És ugyanaz a numerikus értéke, mint a b logaritmus.

^alog b x ^blogc = ^anapló c

Ennek az egy tulajdonságnak több feltétele van, nevezetesen: a> 0, a \ ne 1.

3. A felosztás jellege 

Az osztás logaritmikus tulajdonsága két másik logaritmus kivonásának eredménye, ahol a két szám értéke a kezdeti logaritmus numerikus értékének töredéke vagy osztása.

^alog p / q: ^alog p - ^alog q

Ennek az egy tulajdonságnak több feltétele van, nevezetesen: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

4. Fordítva összehasonlítható tulajdonságok

Az inverz arányos logaritmus tulajdonság más logaritmusokkal megegyező tulajdonság, amelyeknek az alapszáma és a numerusa felcserélhető.

^alogb = 1 /^bnapló a

Ennek az egy tulajdonságnak több feltétele van, nevezetesen: a> 0, a \ ne 1.

5. Szemközti Jel 

Az ellentétes előjelű logaritmikus tulajdonság egy olyan logaritmusú tulajdonság, amelynek numerikus értéke a kezdeti logaritmus numerikus értékének inverz tört része.

^alog p / q = - ^alog p / q

Ennek az egy tulajdonságnak több feltétele van, nevezetesen: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

6. A hatalmak jellege 

A hatványok logaritmikus tulajdonsága olyan tulajdonság, amelynek számértéke hatványozó. És felhasználható új logaritmusként azáltal, hogy a hatalmat kiadja egy szorzónak.

^anapló b^o = p. ^anapló b

Ennek az egy tulajdonságnak több feltétele van, nevezetesen: a> 0, a \ ne 1, b> 0

7. A logaritmikus fő számok ereje 

A logaritmikus bázis ereje olyan tulajdonság, ahol az alapszám értéke a kitevő (teljesítmény), amely új logaritmusként használható egy szám hatványának eltávolításával osztó.

a^ologb = 1 / p^anapló b

Ennek az egy tulajdonságnak több feltétele van, nevezetesen: a> 0, a \ ne 1.

8. Logaritmikus fő számok összehasonlíthatók a numerikus teljesítményekkel 

Az alapszámnak a numerus teljesítményével arányos tulajdonsága olyan tulajdonság, amelynek numerikus értéke a az alapszám értékének kitevője (hatványa), amelynek az eredményértéke megegyezik a numerus teljesítményének értékével hogy.

^anapló a^o = p

Ennek az egy tulajdonságnak több feltétele van, nevezetesen: a> 0 és a \ ne 1.

9. Rang 

A logaritmusok ereje azoknak a számoknak az egyik tulajdonsága, amelyek hatványai logaritmus formájában vannak. A teljesítményérték eredménye az az érték, ahol a numerus a logaritmusból származik.

a ^alog m = m

Ennek az egy tulajdonságnak több feltétele van, nevezetesen: a> 0, a \ ne 1, m> 0.

10. A logaritmikus bázis módosítása 

Ennek a logaritmusnak az alapja megváltoztatásának jellege két logaritmus összehasonlítására is bontható.

^olog q = ^anapló p /^a log q

Ennek az egy tulajdonságnak több feltétele van, nevezetesen: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0

Logaritmikus egyenlet képlete

A fenti leírás alapján a logaritmus matematikai művelet, amely a kitevő vagy a teljesítmény inverze.

Példa a lian közötti exponenciális forma logaritmusára: a^b = c, ha logaritmikus jelöléssel fejezzük ki, akkor az lesz ^alogc = b.

Az állítás a következő:

• a az alap vagy az alapszám.
• b a logaritmus eredménye vagy tartománya.
• c a logaritmus numerusa vagy tartománya.

Jegyzetekkel:

Mielőtt további vitákat folytatnánk a logaritmus képletéről, meg kell értenie, ha van írás ^alog b ugyanazt jelenti, mint log_a b.

A logaritmikus egyenlet képlete többek között a következő:

Logaritmikus egyenlet képlete:

Ha van ^alogf (x) = ^alog g (x), majd f (x) = g (x).
Bizonyos feltételekkel, például: a> 0, a 1, f (x)> 0, g (x)> 0.

Logaritmikus egyenlőtlenségek:

Ha van log f (x)> ^alog g (x), akkor két állapotunk van:

Először is, ha a> 0 jelentése: f (x)> g (x)
Másodszor, a 0 időpontban

Minta kérdések és vita

A következőkben néhány kérdést, valamint azok megvitatását közöljük. Figyelj figyelmesen, igen.

Minta kérdések 1-3

1. ²rönk 4 + ²log 8 =

2. ²log 32 =

3. Amikor ismert ²log 8 = m és ²log 7 = n, majd keresse meg az értékét ¹⁶rönk 14!

Válasz:

1. feladat

Az első lépés, amit meg kell tennünk, az az ellenőrzés az alap.

A fenti logaritmus két egyenletének látszólag ugyanaz az alapértéke, amely 2.

Ezért az eredmény megtalálásához felhasználhatjuk a logaritmus második tulajdonságát.

így, ²rönk 4 + ²log 8 = ²log (4 × 8) = ²naplók 32 = 5. Emlékezik! A logaritmus célja az erő megtalálása.

Szóval, mi 2 a 32 erejéig? A válasz nem más, mint 5. Könnyű, nem igaz?

2. kérdés.

Térjünk át a 2. kérdésre.

A 2. számú kérdésben nem tudjuk azonnal megtenni, mert akkor biztosan zavart fog tapasztalni a 8-as ereje értékének megtalálásakor, ami 32-et eredményez. Akkor hogyan?

Ha alaposabban megvizsgáljuk a problémát, a 8 a 2 hatványának eredménye³ és 32 is, amely a 2 erejének eredménye⁵.

Ezért megváltoztathatjuk a logaritmikus formát a következőkre:

⁸log 32 = ²³2. napló

= 5/3 ²2. napló (használja a 6. tulajdonságot)

= 5/3(1) = 5/3

3. feladat

Hogy vagytok srácok? Már kezdett izgulni?

Jól, a 3. kérdés megvitatásakor ez még jobban felizgatja Önt!

Tudnia kell, hogy a 3. kérdésből származó modell gyakran megtalálható a nemzeti vizsgakérdésekben vagy az egyetemi kiválasztási kérdésekben tudod.

Első pillantásra meglehetősen bonyolultnak tűnik, igen, de ha már megértette a koncepciót, akkor ezt a problémát nagyon könnyű megtenni.

Ha talál egy ilyen problémamodellt, akkor megtalálja annak értékét a 4. szám logaritmikus tulajdonságának használatával.

Tehát a folyamat a következő lesz:

²log 8 = m és ²log 7 = n, ¹⁶rönkök 14?

¹⁶log 14 = ²napló 14 / ²napló 16

Jegyzet:

A bázis kiválasztásához közvetlenül a problémában leggyakrabban megjelenő számot tekinthetjük meg. Tehát tudjuk, hogy a 2-es szám kétszer jelenik meg, 8 annyi, mint 1 alkalommal, és 7 annyi, mint 1 alkalommal.

A legtöbbször megjelenő szám nem más, mint 2, ezért a 2-et választjuk alapul. Megvan?

= ²rönkök (7 x 2) / ²rönkök (8 x 2)

Aztán mi írja le a numerust.

Próbáljuk meg megváltoztatni a problémában már szereplő formára. Hogy érted?

itt srácok, az ismert kérdésről ²log 8 és szintén ²rönkök 7. Mivel a számok 8 és 7 egyaránt, a 14-et 7 × 2-re, a 16-ot pedig 8 × 2-re bontjuk, így láthatjuk a végeredményt.

= ²log 7 + ²log 2 / ²log 8 + ²2. napló (használja a 2. tulajdonságot)

= n + 1 / m + 1

Egy másik példa kérdés.

1. probléma (EBTANAS '98)

Ismert ³log 5 = x és ³log 7 = y. Számítsa ki a ³rönkök 245 ^1/2! (EBTANAS '98)

Válasz:

³rönkök 245 ^½ = ³rönkök (5 x 49) ^½

³rönkök 245 ^½ = ³rönkök ((5) ^½ x (49) ^½)

³rönkök 245 ^½ = ³rönkök (5) ^½ + ³rönkök (7²) ^½

³rönkök 245 ^½ = ½( ³log 5 + ³rönkök 7)

³rönkök 245 ^½ = (x + y)

Tehát, az értéke ³rönkök 245 ^½ azaz (x + y).

2. kérdés. (UMPTN '97)

Ha b = a⁴, az a és b értéke pozitív, akkor az ^alog b - ^blog a ie…?

Válasz:

Ismert, ha b = a⁴, akkor helyettesíthetjük a számításban:

^alog b - ^bloga = ^anapló a⁴ - a⁴ napló a

^alog b - ^bloga = 4 (^aloga) - 1/4 ( ^arönkök a)

^alog b - ^bloga = 4 - 1/4

^alog b - ^bloga = 3^3/4

Tehát, az értéke ^alog b - ^blog a a 2. kérdésben 3^3/4.

3. feladat (UMPTN '97)

Ha ^arönkök (1- ³log 1/27) = 2, majd számítsa ki az a értékét.

Válasz:

Ha a 2 értékből logaritmust készítünk, ahol a logaritmus alapszáma a lesz ^anapló a²= 2, akkor kapjuk:

^arönkök (1- ³log 1/27) = 2

^arönkök (1- ³rönkök 1/27) = ^anapló a²

A két logaritmus numerikus értéke egyenlet lehet, nevezetesen:

1- ³log 1/27 = a²

³rönkök 3 - ³log 1/27 = a²

³rönkök 3 - ³3. napló^(-3) = a²

³rönkök 3/3^-3 = a²

³3. napló⁴ = a²

4 = a²

Tehát megkapjuk az a = 2 értéket.

4. feladat

Ha ismert, hogy 2log 8 = a és 2log 4 = b. Ezután számítsa ki a 6log 14 értékét

a. 1 /2
b. (1+2) / (2+1)
c. (a + 1) / (b + 2)
d. (1 + a) / (1 + b)

Válasz:

2 log 8 esetén = a

= (log 8 / log 2) = a
= log 8 = log 2

2 log esetén 4 = b

= (log 4 / log 2) = b
= log 4 = b log 2

Tehát, 16 log 8 = (log 16) / (log68)
= (log 2.8) / (2.4 log)
= (log 2 + log 8) / (log 2 + log 4)
= (log 2 + a log a) / (log 2 + b log b)
= log2 (1+ a) / log 2 (1+ b)
= (1 + a) / (1 + b)

Tehát a fenti log 14 érték 6 log 14 értéke (1 + a) / (1 + b). (D)

5. kérdés

A (3log 5 - 3 log 15 + 3log 9) értéke?

a. 2
b. 1
c. 4
d. 5

Válasz:

(3log 5 - 3log 15 + 3log 9
= 3napló (5. 9) / 15
= 3log 45/15
= 3log 3
=1

Tehát a 3log 5 - 3log 15 + 3log 9 értéke 1. (B)

6. kérdés

Számítsa ki az alábbi logaritmusprobléma értékét:

1. (2log 4) + (2log 8)
2. (2log 2√2) + (2log 4√2)

Válasz:

1. (2log 4 + 2log 8) = (2log 4) x 8 = 2log 3 a 2 = 5 erejéig

2. (2log 2√2 + 2log 4√2) = (2log 2√2) x (4√2) = 2log 16 = 4

Tehát a fenti logaritmusproblémák értéke 5 és 4.

7. kérdés

Számítsa ki az alábbi logaritmusprobléma értékét:

1. 2log 5 x 5log 64
2. 2 rönk 25 x 5 napló 3 x 3 napló 32

Válasz:

1. (2log 5) x (5log 64) = 2log 64 = 2log 26 = 6

2. (2log 25) x (5log 3) x (3log 32) = (2log 52) x (5log 3) x (3log 25)
= 2. (2log 5) x (5log 3) x 5. (3napló 2)
= 2 x 5 x (2log 5) x (5log 3) x (3log 2)
= 10 x (2log 2) = 10 x 1 = 10

Tehát a fenti kérdés értéke 6 és 10.

8. kérdés

Számítsa ki a log 25 + log 5 + log 80 értékét ...

Válasz:

log 25 + log 5 + log 80
= log (25 x 5 x 80)
= rönk 10000
= log 104
= 4

9. feladat

Ismert, hogy log 3 = 0,332 és log 2 = 0,225. Ezután a kérdés 18. naplója….

a. 0,889
b. 0,556
c. 0,677
d. 0,876

Válasz:

Ismert:

• 3. log = 0.332
• 2. napló = 0,225

Kérdezte:

• log 18 =….?

Válasz:

Naplók 18 = 9. naplók. 2. napló
18. napló = (3. napló 3. napló). 2. napló
Naplók 18 = 2. (0,332) + (0,225)
Log 18 = 0,664 + 0,225
Log 18 = 0,889

Tehát a log 18 értéke a fenti kérdésben 0,889. (A)

10. kérdés

Konvertálja a következő kitevőket logaritmikus formába:

1.  24 = 16
2.  58 = 675
3.  27 = 48

Válasz:

* Alakítsa át a kitevőket logaritmikus formába az alábbiak szerint:

Ha a ba = c értéke, akkor a c = a blog értéke.

1.  24 = 16 → 2log 16 = 4
2.  58 = 675 → 5log 675 = 8
3.  27 = 48 → 2log 48 = 7

Így ezúttal egy rövid áttekintés, amelyet átadhatunk. Remélhetőleg a fenti áttekintés felhasználható tananyagként.