Egy változó lineáris egyenlőtlenség

Egy változó lineáris egyenlőtlenség Az egyik változó lineáris egyenlőtlenség egy nyitott mondat, amelynek csak egy változója van, első fokozata van, és összefüggést tartalmaz ( > vagy < ).

Nézzen meg például néhány mondatot, mint például az alábbi:

1. X> 9
2. 3x - 3 <8
3. 3b > b + 6
4. 5n - 3 < 3n + 2

A fenti nyitott mondatok némelyikében kötőjel szerepel, például , > vagy <. Ami a mondatot jelzi, egyenlőtlenség.

Ezen egyenlőtlenségek mindegyikének csak egy változója van, nevezetesen x, a és n. Ezt az egyenlőtlenséget egyváltozós egyenlőtlenségnek nevezzük. A fenti egyenlőtlenség változóját (változóját) az egyik hatványára vagy más néven első fokozatnak nevezzük lineáris egyenlőtlenségnek.

Egy változó lineáris egyenlőtlenség egy nyitott mondat, amelynek csak egy változója és egy fokozata van, és van összefüggés ( vagy £).

A PtLSV általános változata egy változóban az alábbiak szerint fejezhető ki:

ax + b <0, ax + b> 0 vagy ax + b > 0, vagy ax + b < 0, a-val < 0, a és b valós számok.

Az alábbiakban néhány példa az x változót használó PtLSV-re, többek között:

1. 3x - 2 <0
2. 3x - 2 <0
3. 5x - 1> 8
4. 3x + 1 > 2x - 4
5. 10 < 2 (x + 1)

Egy változó lineáris egyenlőtlenség tulajdonságai

Hasonlóan az egyváltozós lineáris egyenlethez, az egyváltozós lineáris egyenlőtlenség megoldását szubsztitúcióval lehet megoldani.

Ezt azonban megteheti úgy is, hogy kivonja, összeadja, szorozza vagy elosztja az egyenlőtlenség mindkét oldalát ugyanazzal a számmal.

Egyenlőtlenség a matematikában egy olyan mondat vagy matematikai állítás, amely két vagy több objektum méretének összehasonlítását mutatja.

Ahogy az A

Az A

1. A + C
2. A - C
3. A x C 0 minden x-re
4. A x C> B x C, ha C <0 minden x esetén
5. A / C 0 minden x esetén
6. A / C> B / C, ha C <0 minden x esetén

Meg kell jegyeznie, hogy a fenti tulajdonságok közül néhány a "" szimbólumra is vonatkozik>"vagy"<”.

Példák a PtLSV kérdésekre és azok megoldására

Az alábbiakban bemutatunk egy példát egy problémára, valamint annak megoldására, valamint az egyváltozós lineáris egyenlőtlenségi problémára adott választ. Itt a teljes áttekintés.

1. Egy változó lineáris egyenlőtlenség összeadása és kivonása (PtLSV)

Kérjük, vegye figyelembe az alábbi egyenlőtlenségeket:

x + 3 <8, ahol x egy egész szám változója.

Mellette:

x = 1, tehát 1 + 3 <8, igaz
x = 2, tehát 2 + 3 <8, igaz
x = 3, tehát 3 + 3 <8, igaz
x = 4, tehát 4 + 3 <8, hamis

Ha helyettesítjük az x-et 1,2-vel és 3-val úgy, hogy az x + 3 <8 egyenlőtlenség igaz legyen, az egyenlőtlenség megoldásának nevezzük.

2. Egy változó lineáris egyenlőtlenség (PtLSV) szorzása vagy felosztása

Vessen egy pillantást a következő egyenlőtlenségekre:

10-nél kisebb természetes x szám esetén a megoldás x = 7, x = 8 vagy x = 9

A fenti leírás alapján megállapíthatjuk, hogy:

 "Minden egyenlőtlenség egyenértékű marad, az egyenlőtlenség jele változatlan, annak ellenére, hogy mindkét oldal ugyanazzal a pozitív számmal szorozódik"

Példák a problémákra:

Most vegye figyelembe a következő egyenlőtlenségeket:

a. –X> - 5, ahol x 8-nál kisebb természetes szám. Az kielégítő x helyettesítője x = 1, x = 2, x = 3 vagy x = 4.

A fenti egyenlőtlenségi probléma megoldásának másik módja, ha mindkét oldalt megszorozzuk ugyanazzal a negatív számmal.

* –X> –5

–1 (–x)> - 1 (–5), (mindkét oldalt megszorozzuk –1-vel és az egyenlőtlenségi jel megmarad)

x> 5

A megoldás x = 6 vagy x = 7.

* –X> –5

–1 (–x) -ról

x <5

A megoldás x = 1, x = 2, x = 3 vagy x = 4.

Ezen megoldások alapján kiderül, hogy az azonos megoldást mutató egyenlőtlenségek a következők:

–X> –5 és –1 (–x)

tehát, –x> –5 <=> –1 (–x)

b. –4x <–8, ahol x 4-nél kisebb természetes szám. Az x megfelelő helyettesítője x = 2 vagy x = 3. Tehát a megoldás x = 2 vagy x = 3.

A fenti magyarázat alapján arra következtethetünk, hogy:

"Egyenlőtlenség, amikor mindkét oldalt megszorozzuk ugyanazzal a negatív számmal, akkor az egyenlőtlenség jele megváltozik"

Példa:

3. A történetről 

1. kérdés.

Két szám összege legfeljebb 120. Ha a második szám 10-gyel több, mint az első szám, akkor határozza meg az első szám határértékét.

Válasz:

A fenti problémából láthatjuk, hogy két ismeretlen mennyiség van. Ez az első szám és egyben a második szám is.

Tehát ezután ezt a két mennyiséget fogjuk megadni változóként.

Mint például:

Az első számot hívjuk x-nek, míg 

A második számot y-nek hívjuk.

Ebből a problémából azt is tudjuk, hogy a második szám "10-gyel több, mint az első szám", akkor a következő összefüggés lesz érvényes:

y = x + 10

A feladatban az is ismert, hogy a két szám összege "nem több", mint 120.

A "többé" mondat azt jelzi, hogy az egyenlőtlenség kisebb, mint egyenlő (≤). Tehát az egyenlőtlenségnek a problémának megfelelő formája az, hogy az egyenlőtlenség kevesebb, mint egyenlő.

Ezután az egyenlőtlenségeket így konstruáljuk:

⇒ x + y ≤ 120

Mivel y = x + 10, így az egyenlőtlenség:

⇒ x + x + 10 ≤ 120

⇒ 2x + 10 ≤ 120

⇒ 2x + 10 – 10 ≤ 120 – 10

⇒ 2x ≤ 110

⇒ x ≤ 55

így, az első szám határértéke legfeljebb 55.

2. sztori kérdés.

A gerendaváz modell huzalból, amelynek hossza (x + 5) cm, szélessége (x – 2) cm és magasság x cm.

• Határozza meg a szükséges huzalhosszegyenlet matematikai modelljét x-ben.
• Ha a felhasznált vezeték hossza nem haladja meg a 132 cm-t, akkor határozza meg a gerenda maximális értékének méretét.

Válasz:

Annak érdekében, hogy könnyebben megértsük a fenti problémát, akkor vegye fontolóra az alábbi blokk ábráját:

• Határozza meg a fenti probléma matematikai modelljét!

Például K jelentése a gerenda keretének elkészítéséhez szükséges huzal teljes hossza, akkor a szükséges huzal teljes hossza az összes él összege.

Tehát a K hossza a következő.

K = 4p (hossz) + 4l (szélesség) + 4t (magasság)

K = 4 (x + 5) + 4 (x – 2) + 4x

K = 4x + 20 + 4x – 8 + 4x

K = 12x + 12

Tehát megkapjuk a második számú matematikai modellt a vezeték teljes hosszára, amely K = 12x + 12.

• Határozza meg a blokk maximális méretét a fenti probléma alapján.

A vezeték hossza nem haladhatja meg a 132 cm hosszúságot, így az egyenlőtlenségi modellt a következőképpen írhatjuk fel:

K ≤ 132

12x + 12 ≤ 132

Ezután egy változó lineáris egyenlőtlenségét oldjuk meg a következő megoldás segítségével:

12x + 12 ≤ 132

⇒ 12x ≤ 132 – 12

⇒ 12x ≤ 120

⇒ x ≤ 10

Az x megoldásból ≤ 10, akkor x maximális értéke 10. Így a gerenda hossza, szélessége és magassága a következő:

Hossz = x + 5 ⇔ 10 + 5 = 15 cm

Szélesség = x – 2 ⇔ 10 – 2 = 8 cm

Magasság = x ⇔ 10 cm

Tehát megkapjuk a blokk maximális értékét (15 × 8 × 10) cm.

Történeti kérdések 3.

Két szám összege kevesebb, mint 80. A második szám az első szám háromszorosa.

Határozza meg a két szám határait.

Válasz:

Tegyük fel, hogy az első számot x-nek hívjuk, ekkor a második szám egyenlő 3x-mal.

E két szám összege kevesebb, mint 80. Ezért a matematikai modell a következő:

x + 3x <80 ⇔ 4x <80

Ennek a matematikai modellnek a megoldása 4x <80 ⇔ x <20.

Ezért az első szám határa legfeljebb 20, míg a második szám legfeljebb 60.

Történeti kérdések 4.

Egy téglalap alakú asztal felületének hossza 16 x cm, szélessége 10 x cm.

Ha a terület nem kevesebb, mint 40 dm2, majd határozza meg az asztal felületének minimális méretét.

Válasz:

Az asztal felületének hossza:

• (p) = 16x
• szélesség (l) = 10 x
• terület = L.

A téglalap területének matematikai modellje a következő:

L = p × l

L = 16x × 10x

L = 160x2

A problémából megállapítható, hogy a terület nem kevesebb, mint 40 dm2 = 4000 cm2 így az egyenlőtlenséget a következőképpen írhatjuk fel:

L = 160x2≥ 4.000

160x2≥ 4.000

Ezután megoldjuk az egyenlőtlenséget a következő megoldással:

160x2≥ 4.000

⇒ x2≥ 25

⇒ x ≥ ±5

Mivel méret nem lehet negatív, akkor az x = 5 cm minimális értéke, így kapjuk:

p = 16x cm = 16 (5) cm = 80 cm

l = 10x cm = 10 (5) cm = 50 cm

Így az asztal felületének minimális mérete (80 × 50) cm.

Történeti kérdések 5.

A kerékpár olyan úton halad, amelynek egyenlete s (t) = t2– 10t + 39.

Ha x méterben, t pedig másodpercben van, akkor határozza meg az időintervallumot úgy, hogy a kerékpár legalább 15 métert megtett.

Válasz:

A kerékpár legalább 15 méteres távolságot képes megtenni, ami s (t) ≥ 15.

Tehát a matematikai modell t2– 10t + 39 ≥ 15. Ezt a modellt a következőképpen tudjuk megoldani:

t2– 10t + 39 ≥ 15

⇒ t2– 10t + 39 – 15 ≥ 0

⇒ t2– 10t + 24 ≥ 0

⇒ (t – 6.) (t – 4) ≥ 0

⇒ t ≤ 4 vagy t ≥ 6

Így az az időintervallum, hogy a kerékpár legalább 15 méteres távolságot tegyen meg, t ≤ 4 másodperc vagy t ≥ 6 másodpercig.

Történeti kérdések 6.

Irvan úrnak van egy dobozos autója, amely legfeljebb 500 kg teherbírású árut szállít.

Pak Irvan súlya 60 kg, dobozokat fog szállítani, amelyek mindegyik doboza 20 kg. Azután:

• Határozza meg a maximális ládaszámot, amelyet Mr. Irvan szállíthat egy szállítás alatt!
• Ha Irvan úr 115 várost fog szállítani, akkor legalább hányszor lesz képes a dobozokat mind elszállítani?

Válasz:

A problémából számos matematikai modellt kapunk az alábbiak szerint:

1. Például az x azoknak a városoknak a számát jelöli, amelyeket egy autó egyirányúan szállíthat.
2. Minden doboz súlya 20 kg, tehát x doboz súlya 20x kg.
3. Az egyirányú össztömeg a doboz súlya plusz Irvan úr súlya, amely 20x + 60.
4. Az autó teherbírása nem haladja meg a következőt:≤”.
5. A teherbírás nem haladja meg az 500 kg-ot, így a (3) rendelkezésből a következő egyenlőtlenségi modellt kapjuk =
   20x + 60 ≤ 500

• Megadja az egy menetben szállítható dobozok maximális számát.

A négyzetek számának meghatározása megegyezik az x értékének meghatározásával, nevezetesen az alábbi egyenlőtlenségek megoldásával:

20x + 60 ≤ 500

⇒ 20x ≤ 500 – 60

⇒ 20x ≤ 440

⇒ x ≤ 22

Ebből a megoldásból megkapjuk x maximális értékét, amely 22. Így minden alkalommal, amikor a dobozos autó legfeljebb 22 dobozt képes szállítani.