Vonalak és szögek: 7. osztályú anyagok, problémák és megbeszélések

A vonalak és szögek a matematika azon anyagai, amelyeket a középiskola 7. osztályában fogunk megtanulni. Nos, ezúttal a vonalakkal és szögekkel kapcsolatos különféle dolgokat fogunk megtanulni.

A két vonal kapcsolatából kiindulva a szögek típusai, a szögek tulajdonságai, valamint a szögekhez használt egységek.

Gondosabban olvassa el az alábbi véleményeket.

Vonal

A vonal olyan pontok elrendezése (lehet végtelen), amelyek egymás mellett vannak és hosszában két irányban sorakoznak (jobbra / balra, fel / le).

Két vonal helyzete

Párhuzamos vonal

Két párhuzamos vonal vagyis ha az egyenes síkban van, és soha nem fog találkozni vagy keresztezni, ha a vonal a végtelenig meghosszabbodik.

A párhuzamos vonalak szimbóluma (//)

Két vonal párhuzamosnak mondható, ha a két egy vonalban van, vagy kiterjesztéseik soha nem keresztezik egymást.

Ami a párhuzamos vonalak néhány tulajdonságát illeti, többek között:

• A vonalon kívüli pont áthaladása pontosan egy másik vonalat tehet, amely párhuzamos a vonallal.
• Ha van olyan vonal, amely metszi a két párhuzamos vonal egyikét, akkor a vonal metszi a második vonalat.
• Ha az egyik vonal párhuzamos egy másik vonallal, akkor a két vonal is párhuzamos lesz egymással

Metsző vonalak

Két vonalat metszőnek nevezünk, ha a két vonalnak van metszéspontja, vagy általában közös pontnak nevezzük.

vonalas átfedés

Két vonal egybeesésnek mondható, ha legalább két metszéspontjuk van.

Például: az óramutató, amikor 12 órát mutat. Ekkor a két óramutató egybe fog esni egymással.

Keresztező vonalak

Két egyenesről elmondhatjuk, hogy keresztezik egymást, ha a két vonal nem párhuzamos és nem ugyanazon a síkon fekszik.

A fenti vonalak különböző pozícióinak megértéséhez nézze meg az alábbi képet:

Sarok

A szög két sugar vagy két egyenes találkozásából keletkezik.

Ez a szög egy olyan sugár által alkotott terület, amelyet a sugár tövében forgatnak. A szögeket a „∠” szimbólummal jelöljük.

A szög meghatározása

A matematikában egy szöget úgy határozhatunk meg, mint egy olyan területet, amelyet két sugár jelenléte képez, amelyek kiindulási pontjai szövetségesek vagy egybeesnek.

Sarok A geometriában egy vonalszakasz egyik kiindulási ponttól a másikig történő elforgatásának mértéke.

Ezenkívül szabályos kétdimenziós alakban egy szöget két metsző egyenes szakasz közötti térként is definiálhatunk. -sc: wikipédia

Alkatrészek szögben

A szögeknek három fontos része van, többek között:

Szögláb

Ez a sugarak alkotják a szöget.

Sarokpont

Ez a kiindulási pont vagy kereszteződés, ahol a sugarak egybeesnek.

Sarok terület

A sarok két lába közötti terület vagy tér.

További részletekért lásd a következő képet:

A szögek típusai

A szög méretének kifejezéséhez fokokat (°), perceket (’) és másodperceket („) is használunk, ahol:

Pozíció Két vonal

Íme többek között a két vonal helyzete:

• Két vagy több vonal párhuzamosnak mondható, ha ugyanabban a síkban fekszik és soha nem fognak találkozni vagy keresztezni egymást, ha a vonal a végtelenségig terjed véges.
• Két vonal akkor mondható el, hogy metszi egymást, ha síkban fekszenek, és egy metszéspontjuk van.
• Két vonalról azt mondják, hogy egybeesnek egymással, ha az egyenes egyenes, így csak egy egyenes látható.
• Két vonalról azt mondják, hogy keresztezik egymást, ha nem ugyanabban a síkban vannak, és nem hosszabbítják meg egymást.

A szögek kapcsolata

Szögletes szög

Ha két szög van, amelyek egybeesnek és derékszöget képeznek, akkor egy szög lesz kiegészítő szög a többi szög számára úgy, hogy a két szöget komplementer szögnek nevezzük (kiegészítés).

Itt van egy kép a ferde szögről:

Két egymást kiegészítő szög összege 90 °. Az egyik szög a másik szög kiegészítője.

Egyenes szög

Ha két szög van, amelyek egybeesnek egymással és egyenes szöget képeznek, akkor az egyik szög kiegészítő szög lesz a másik szög számára. Tehát a két szöget kiegészítő szögnek nevezhetjük.

Itt van egy kép az egyenes szögekről:

Két egymást kiegészítő szög összege 180 °. Az egyik szög a másik szög kiegészítője.

A szögek kapcsolata, ha két vonal párhuzamos

Vágta egy másik vonal

Nézze meg alaposan az alábbi képet:

Szemközti szög (azonos méretű)

Ez egy szög, amelynek ugyanaz a pozíciója és ugyanolyan nagysága. A fenti képen az ellentétes szögek a következők:

A = E
B = F
C = G
D = H

Szemközti belső szögek (azonos méretű)

Olyan szög van, amely belül van, és helyzete egymással szemben van. A fenti képen az ellentétes belső szögek a következők:

C = E
D = F

Szemközti külső szögek (azonos méretű)

Olyan szög, amely kívül helyezkedik el és szemben áll egymással, például:

A = G
B = H

Szemközti és ellentétes szögek

• Ha két párhuzamos vonalat elvág egy másik vonal, akkor négy ellentétes szögpár képződik, amelyek nagysága egyenlő.
• Ha két vonalat elvág egy másik vonal, akkor a kialakított ellentétes külső szögek méretei megegyeznek.
• Ha két párhuzamos vonalat elvág egy másik vonal, akkor a kialakított ellentétes belső szögek azonos méretűek.
• Ha két párhuzamos vonalat elvág egy másik vonal, akkor a belső szögek összege 180 °.

Belső szög

Ez egy szög, amely belül fekszik, és helyzete ugyanazon az oldalon fekszik. Összeadáskor az ugyanazon az oldalon lévő szögek 180 ° -os szöget zárnak be. Mint például:

D + E = 180 °
C + F = 180 °

Egyoldalú külső sarok

Olyan szög, amely kívül fekszik, és helyzete ugyanazon az oldalon fekszik. Összeadáskor az ugyanazon az oldalon lévő szögek 180 ° -os szöget zárnak be. Mint például:

B + G = 180 °
A + H = 180 °

Szemközti szögek (azonos méretű)

Olyan szög, amelynek pozíciói ellentétesek egymással, a fenti képen az ellentétes szögek:

A = C
B = D
E = G
F = H

Egy ellentétes szögpár akkor fordul elő, amikor két egyenes úgy metszik egymást, hogy kettő A metszésponttal ellentétes szögeket ellentétes szögeknek nevezzük.
Két ellentétes szög egyenlő.

Szögegység

Fokban az 1 fokos érték azt a szöget jelenti, amelyet 1/360 fordulattal elforgatnak. Ami 1 ° = 1/360 fordulatot jelent.

A foknál (°) kisebb szög megadásához használhatjuk a perc (‘) és a második (’) szimbólumokat.

Figyeljen fokozottan a fokok, percek és másodpercek viszonyára az alábbiak szerint:

1 fok (1 °) = 60 perc (60 ′)

1 perc (1 ') = 1/60 °

1 perc (1 ′) = 60 másodperc (60 ”)

1 fok (1 °) = 3600 másodperc (3600 ")

1 másodperc (1 ”) = 1/3600 °

A szög mértéke radiánban

1 ° = p / 180 radián

vagy

1 radián = 180 ° / p

Ha érték p = 3,14159 így:

1 ° = p / 180 radián = 3,14159 / 180 = 0,017453

vagy

1 radián = 180 ° / p = 180 ° / 3,14159 = 57,296 °

Minta kérdések és vita

Itt adunk néhány kérdést a vonalakkal és szögekkel kapcsolatban, beleértve:

1. feladat

Három egyenes, mindegyik k, l és m az elrendezésben, az alábbiak szerint.

A k egyenes párhuzamos az l vonallal, az m egyenes pedig metszik a k és l egyeneseket.

Tehát határozza meg:

a) ellentétes szögek
b) ellentétes szögek
c) ellentétes szögek
d) külsőleg ellentétes szögek
e) belső szögek az egyik oldalon
f) egyoldalú külső szögek
g) egyenes szögek

Válasz:

a) ellentétes szögek:

A1 és B1
A4 és B4
A2 és B2
B3 és B3

b) az ellentétes szögek:

A1 és A3
A2 A4-gyel
B1 és B3
B2 és B4

c) belső ellentétes szögek (belül ellentétes), nevezetesen:

A3 és B1
A4 B2-vel

d) a külső ellentétes szögek:

A2 és B4
A1 és B3

e) a belső szögek:

A3 B2-vel
A4 és B1

f) egyoldalú külső szögek, nevezetesen:

A2 és B3
A1 és B4

g) az egyenes szögek:

A1 és A2
A1 A4-gyel
A2 és A3
A3 és A4
B1 B2-vel
B1 és B4
B2 és B3
B3 és B4

2. kérdés.

Adott három egyenes, nevezetesen k, l és m, valamint a környezetben lévő szögek. k és l párhuzamosak, míg az m egyenes metszi a k ​​és l egyeneseket.

Ha P = 125 °, akkor határozza meg a többi hét szöget körülötte!

Válasz:

R = P = 125 ° (Mivel R ellentétes P-vel)
T = P = 125 ° (Mivel T megfelel P-nek)
V = R = 125 ° (Mivel V ellentétes az R-vel) ∠Q = 180 ° P = 180 ° - 125 ° = 55 ° (mert Q jelentése P egyengető)
S = Q = 55 ° (Mivel S ellentétes Q-val)
U = Q = 55 ° (Mivel U összefüggésben van Q-val)
W = U = 55 ° (Mivel W ellentétes az U-val)

3. feladat

Nézze meg az alábbi képet, ha az EF párhuzamos a DG-vel, és az ABC háromszög egyenlő szárú háromszög, amelynek C szöge 40 °.

Ezután adja meg:

a) A DBE szög nagysága
b) A BEF szög mértéke
c) Szög CAG

Válasz:

a) A DBE szög nagysága

Az első lépés az, hogy először meg kell találni az ABC szög méretét. Az ABC egy egyenlő szárú háromszög, így az ABC = BAC mérete. háromszög, ha összeadjuk, 180 °, tehát ABC = (180 40): 2 = 70 °, így a BAC is 70 ° ∠DBE = ABC = 70 °, mert ellentétesek vissza.

b) A BEF szög mértéke

BEF = ABC = 70 °, mert ellentétesek, vagy BEF = DBE = 70 °, mert ellentétesek.

c) Szög CAG

CAG = 180 BAC = 180 70 = 110 °, mert a CAG és a BAC egyenes vonalak.

4. feladat (ENSZ 2012/2013-as 54. csomag)

Nézd meg az alábbi képet!

Az SQR szögegyenesítő mérete ...

1. 101°
2. 100°
3. 95°
4. 92°

Válasz:

Figyelem ** ez a kérdés az egyik trükkös kérdés, sokan azt gondolják, ha felteszik a kérdést SQR annak ellenére, hogy PQS-t kértek.

A kérdés megválaszolásához először az x értékét kell keresnie.

Ebben az esetben ∠PQS és ∠Az SQR egy kiegészítő szög, tehát:

∠PQS + ∠SQR = 180 °(5x) ° + (4x + 9) ° = 180 °9x ° + 9 = 180 °9x ° = 171 °x ° = 19 °

Hajegyenesítő ∠SQR = PQSHajegyenesítő ∠SQR = (5x) °Hajegyenesítő ∠SQR = (5.19)°Hajegyenesítő ∠SQR = 95° (C válasz)

5. kérdés (ENSZ 2009/2010-es csomag 10)

Nézze meg a következő képet:

Az 1. szög mértéke 95 °, a 2. szög mértéke 110 °. A 3. szög mértéke ...

1. 5°
2. 15°
3. 25°
4. 35°

Válasz:

∠1 = ∠5 = 95 ° (ellentétes belső szögekkel)2 + 6 = 180 ° (egymáshoz igazítva)110° + ∠6 = 180°∠6 = 70°∠5 + ∠6 + ∠3 = 180°95° + 70° + ∠3 = 180°165° + ∠3 = 180°∠3 = 15° (B válasz)

6. kérdés (ENSZ 2010/2011 15. csomag)

Nézd meg az alábbi képet:

Nagy ∠A BCA…

1. 70°
2. 100°
3. 110°
4. 154°

Válasz:

ABC + CBD = 180 ° (egyszerű)ABC + 112 ° = 180 °ABC = 68 °BCA + ABC + BAC = 180 °BCA + 68 ° + 42 ° = 180 °BCA + 110 = 180 °BCA = 70 ° (Válasz A)

7. kérdés (ENSZ 2010/2011 15. csomag)

Nézd meg az alábbi képet:

Nagy ∠P3….

1. 37°
2. 74°
3. 106°
4. 148°

Válasz:

P2 = 74° (ellentétes külső szögekkel)P2 + P3 = 180 ° (egyszerű)74 ° + P3 = 180 °P3 = 106 ° (C válasz)

8. kérdés (ENSZ 2012/2013-as csomag 1)

Nézd meg az alábbi képet:

A KLN szögegyenesítő mérete ...

1. 31°
2. 72°
3. 85°
4. 155°

Válasz:

A kérdés megválaszolásához először meg kell találnia az x értékét.

Ebben a kérdésben ∠KLN és ∠Az MLN egy kiegészítő szög, tehát:

∠KLN + ∠MLN = 180 °(3x + 15) ° + (2x + 10) ° = 180 °5x ° + 25 ° = 180 °5x ° = 155 °x ° = 31 °

Hajegyenesítő ∠KLN = MLNHajegyenesítő ∠KLN = (2x + 10) °Hajegyenesítő ∠KLN = (2.31 + 10)°Hajegyenesítő ∠KLN = 72° (B válasz)

9. feladat (ENSZ 2012/2013-as csomag 2)

Nézd meg az alábbi képet:

Nagy horgász ∠Az SQR….

1. 9°
2. 32°
3. 48°
4. 58°

Válasz:

Figyelem ** ez a kérdés is csapda kérdése, ezért sokan úgy gondolják, hogy ez a kérdés felteszi a kérdést SQR, bár a PQS-t kérték.

A kérdés megválaszolásához először meg kell találnia az x értékét.

Ebben a kérdésben ∠SQR és ∠A PQS derékszög, tehát:

∠SQR + ∠PQS = 90 °(3x + 5) ° + (6x + 4) ° = 90 °9x ° + 9 ° = 90 °9x ° = 81 °x ° = 9 °

Szög ∠SQR = PQSSzög ∠SQR = (6x + 4) °Szög ∠SQR = (6.9 + 4)°Szög ∠SQR = 58° (D válasz)

10. kérdés (ENSZ 2012/2013 5. csomag)

Nézd meg az alábbi képet:

Remek egyengető ∠Az AOC….

1. 32°
2. 72°
3. 96°
4. 108°

Válasz:

A 10. kérdés megválaszolásához először meg kell találnia az x értékét.

Ebben a kérdésben ∠AOC és ∠A BOC egy kiegészítő szög, tehát:

∠AOC + ∠BOC = 180 °(8x - 20) ° + (4x + 8) ° = 180 °12x ° - 12 ° = 180 °12x ° = 192 °x ° = 16 °

Hajegyenesítő ∠AOC = BOCHajegyenesítő ∠AOC = (4x + 8) °Hajegyenesítő ∠AOC = (4.16 + 8)°Hajegyenesítő ∠AOC = 72° (B válasz)

Ez a rövid áttekintés ezúttal a vonalakról és szögekről, amelyeket át tudunk adni. Remélhetőleg a vonalak és szögek fenti áttekintése felhasználható tanulmányi anyagként.