Algebrai derivált függvények: képletek, alkalmazások, jelölések, osztás két függvénnyel szorzása és példafeladatok

August 30, 2023
Ban benLinkekre Vonatkozó Szabályzat Kapcsolatba Lépni

A függvény deriváltjának képlete

Ne feledje, ha f(x)x^n , így:

$f'(x)\frac{df (x)}{dx} \frac{dx^n}{dx} nx^n-1$

Mert f (x) (u (x))^nu^n , így:

$f'(x) \frac{df (x)}{dx} \frac{du^n}{dx} \cdot \frac{du}{du}$

Vagy

$f'(x) \frac{du^n}{du} \cdot \frac{du}{dx} nu^{n-1} \cdot u'$

Tehát a függvény deriváltjának képlete:

$f'(x) nu^(n-1) \cdot u'$

Trigonometria származékos képletek

A derivált definíciója alapján többféle képletet kaphatunk a trigonometriai deriváltokhoz, mégpedig a következőképpen: (u és v mindegyik függvényével), beleértve: y' =

y = sin x→ y' = cos x
y = cos x → y' = -sin x
y = barna x → y' = mp²x
y = gyermekágy x → y' = -csc²x
y = mp x → y'
y = csc x → y' = csc × gyermekágy x
y = bűnⁿxy' = n sin^n-1× cos x
y = cosⁿx → y' = -n cos^n-1× sin x
y = sin u → y' = u' cos u
y = cos u → y' = u' sin u
y = barna u → y' = ui sec²u
y = kiságy u → y' = -u' csc²u
y = sec u → y' = u' sec u tan u
y = csc u → y' = u' csc u cot u
y = bűnⁿu → y' = n.u' sin^n-1cos u
y = cosⁿ u → y' = -n.u' cos^n-1. sin u

Származékos alkalmazások

Meghatározza a görbe érintőjének gradiensét

Az y = f (x) görbe érintőjének (m) gradiense a következőképpen van megfogalmazva:

Az y = f (x) görbe érintőjének egyenlete az érintési pontban (x_1, y_1) így fogalmazva:

$y - y_1 m (x - x_1) \jobbra nyíl m f'(x_1)$

Határozza meg a növekvő és a csökkenő függvények intervallumát!

instagram viewer
- A növekvő függvényintervallum feltétele $\jobbra nyíl f'(x) 0$
- A csökkenő függvényintervallum kifejezése $\jobbra nyíl f'(x) 0$
Meghatározza egy függvény stacionárius értékét és típusát

Ha az y = f (x) függvény folytonos és differenciálható x = a és f'(x) = 0, akkor a függvény stacionárius értéke x = a helyen. Az y = f(x) függvény stacionárius értéktípusa lehet minimális visszatérési érték, maximális visszatérési érték vagy inflexiós érték. Ez a típusú stacionárius érték a függvény második deriváltjával határozható meg.

- Maximális érték $\jobbra nyíl f'(x) 0$ És $\jobbra nyíl f$

Ha f'(x_1) 0 És , így f'(x_1) az y = f(x) függvény és a pont maximális visszatérési értéke (x_1f(x)) az y = f(x) görbe legnagyobb fordulópontja.

- Minimális érték $\jobbra nyíl f'(x) 0$ És

Ha f'(x_1) 0 És , így f(x_1) a függvény minimális visszatérési értéke y f (x) és pont (x_1f(x)) az y = f(x) görbe minimális fordulópontja.

- Fordulati érték $\jobbra nyíl f'(x) 0$ És

Ha f'(x_1) 0 És f''(x_1 0) , így f(x_1) az y = f(x) függvény és a pont inflexiós értéke (x_1f(x)) az y = f(x) görbe inflexiós pontja.

Határozatlan alakú határfeladatok megoldása $\frac{0}{0}$ vagy $\frac{\infty}{\infty}$

Ha $\lim \limits_{x\to a}\frac{f (x)}{g (x)}$ a határozatlan forma határa $\frac{0}{0}$ vagy $\frac{\infty}{\infty}$ , akkor a megoldás használhat deriváltokat, nevezetesen f (x) és g (x) származtatható.

$\lim\limits_{x\to a}\frac{f (x)}{g (x)} \lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \frac{f'(a)}{g'(a)}$

Ha az első származék egy bizonyos formát hozott létre, akkor ez a forma a megoldás. De ha az első derivált még mindig határozatlan alakot hoz létre, akkor f(x) és f(x) ismét lecsökken, amíg egy bizonyos alakzatot nem kapunk. Ezt a megoldási módot L'hopital-tételnek nevezik.

Határozza meg a sebesség és a gyorsulás képletét!

Ha ismert a képlet vagy egyenlet egy objektum mozgási helyzetére az idő függvényében, nevezetesen s = f (t), akkor meghatározható a sebesség és a sebesség képlete, nevezetesen:

- Sebesség képlet $\rightarrow v s'f'(t)$
- Gyorsulási képlet $\jobbra nyíl a s'f$

Származékos jelölés

Az f(x) függvény x-hez viszonyított deriváltja a következőképpen definiálható:

Az exponenciális függvények deriváltjának képlete

feltéve, hogy a határ létezik.

Az y = f (x) függvény első deriváltját x-ben a következőképpen jelölhetjük:

y' = f'x ⇒ lagrange
⇒ leibniz
D_xy = D_x[f(x)]⇒ euler

A fenti definícióból több származékos képletet is levezethetünk az alábbiak szerint:

f(x) = k ⇒ f'(x) = 0
f(x) = k x ⇒ f'(x) = k
f(x) = xⁿ ⇒ f'(x) = nx^n-1
f (x) = k u (x) ⇒ f ‘(x) = k u'(x)
f (x) = u (x) ± v (x) ⇒ f ‘(x) = u'(x) ± v'(x)

ahol k = állandó

Vegyünk néhányat a következő példák közül:

f(x) = 5 ⇒ f'(x) = 0
f(x) = 2x ⇒ f'(x) = 2
f(x) = x² ⇒ f'(x) = 2x^2-1= 2x
y = 2x⁴ ⇒ y' = 2. 4x^4-1= 8x³
y = 2x⁴ + x² − 2x ⇒ y' = 8x³ +2x−2

Ahhoz, hogy megtaláljuk a gyököket vagy törteket tartalmazó függvény deriváltját, az első lépés, hogy először a függvényt exponenciális alakra változtassuk.

Íme néhány, többek között a gyökök és kitevők gyakran használt tulajdonságai:

x^m. xⁿ = x^m+n
x^m/xⁿ = x^{M N}
1/xⁿ = x^-n
√x = x^1/2
ⁿ√xm = x^{M N}

Példa:

1. probléma.

Keresse meg f (x) = x√x deriváltját

Válasz:

f(x) = x√x = x. x^1/2= x^3/2

f(x) = x^3/2 →

2. probléma.

Határozza meg a származékát

Válasz:

Algebrai derivált függvények: képletek, alkalmazások, jelölések, osztás két függvénnyel szorzása és példafeladatok

Két függvény szorzásának és osztásának származékai

Tegyük fel, hogy y = uv, akkor y deriváltja a következőképpen fejezhető ki:

y' = u'v + uv'

Tegyük fel, hogy y = u/v, akkor y deriváltja a következőképpen fejezhető ki:

Példa a problémákra.

1. probléma.

f (x) = (2x + 3)(x) deriváltja² + 2) nevezetesen:

Válasz:

Például:

u = 2x + 3 ⇒ u' = 2
v = x² + 2 ⇒ v' = 2x

f'(x) = u'v + u v'
f'(x) = 2(x² + 2) + (2x + 3) 2x
f'(x) = 2x² +4 +4x² +6x
f'(x) = 6x² +6x +4

A láncszabály

Ha y = f (u), ahol u olyan függvény, amely x-re vonatkoztatva származtatható, akkor y deriváltja x-re vonatkozóan a következő formában fejezhető ki: dydx=dydu×dudx

A fenti láncszabály fogalmából akkor y = u-raⁿ, megkapják: dydx=d(un)du×dudx

y′=nun−1.u′

Általánosságban a következőképpen fogalmazható meg:

Ha f(x) = [u(x)]ⁿ ahol u (x) egy függvény, amely levezethető x-hez képest, akkor: f′(x)=n[u(x)]n−1.u′(x)

A fenti láncszabály fogalmából akkor y = u-raⁿ, kapni fog:

Általánosságban a következőképpen fogalmazható meg:

Ha f (x) = [u (x)]ⁿ ahol u (x) egy x-ből származtatható függvény, akkor:

f'(x) = n[u (x)]^n-1. u'(x)

Példa a problémákra.1. probléma.

Keresse meg f (x) = (2x + 1) deriváltját⁴

Válasz:

Például:

u(x) = 2x + 1 ⇒ u'(x) = 2
n = 4
f '(x) = n[u (x)]^n-1. u'(x)
f'(x) = 4(2x + 1)^4-1. 2
f'(x) = 8(2x + 1)³

2. probléma.

Keresse meg y = (x²- 3x)⁷

Válasz:

y' = 7(x²- 3x)^7-1. (2x–3)
y' = (14x − 21). (x²- 3x)⁶

Példakérdések és vita

1. probléma

Az első származéka $f (x) 4 \sqrt{2x^3 - 1}$ van

1. vita:

Ez a probléma az y = alak függvénye au^n amely a képlet segítségével megoldható $y' n \cdot a \cdot u^{n-1} \cdot u'$ . Így:

$f (x) 4 \sqrt{2x^3-1} 4(2x^3-1)^{\frac{1}{2}}$

Tehát a származék:

$f'(x) \frac{1}{2} \cdot 4(2x^3-1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 6x^2$

$2(2x^3-1) \cdot 6x^2$

$12x^2(2x^3-1)^{-\frac{1}{2}}$

$\frac{12x^2}{(2x^3-1)^{\frac{1}{2}}}$

$\frac{12^2}{\sqrt{2x^3-1}}$

2. probléma

Keresse meg az első származékát

$f (x) \frac{6}{\sqrt[3]{\sin (3x-\frac{\pi}{5})}}$

2. vita:

A probléma megoldásához használja a vegyes formulát, nevezetesen $f'(x) \frac{u'v-uv'}{v^2}$ és még $y' n \cdot u' \sin^{n-1}u \cdot \cos u$ . Tehát, hogy:

$f (x) \frac{6}{\sqrt[3]{sin (3x-\frac{\pi}{5})}}$

$f (x) \frac{6}{(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{1}{2}}}$

$f'(x) \frac{0 - 6 \cdot 3 \cdot \frac{1}{3}(\sin (3x - \frac{\pi}{5}))^{- \frac{2}{ 3}} \cdot \cos (3x - \frac{\pi}{5})}{(\sin (3x - \frac{\pi}{5}))^\frac{2}{3}}$

$f'(x) \frac{-6(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{-\frac{2}{3}}.cos (3x-\frac{\pi}{ 5})}{(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{2}{3}}}. \frac{(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{1}{3}}}{(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{ -\frac{1}{3}}}$

$f'(x) \frac{-6(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{-1} cos (3x-\frac{\pi}{5})}{\sqrt[ 3]{sin (3x-\frac{\pi}{5}})}$

$f'(x) \frac{-6cot (3x-\frac{\pi}{5})}{\sqrt[3]{sin (3x-\frac{\frac{\pi}{5})}}$

3. probléma

Határozza meg a maximális értékét f (x) x^3 - 6x^2 + 9x a -1 ≤ x ≤ 3 intervallumon.

3. vita:

Ne feledje, hogy a függvény maximális értéke f (x). f'(x) 0 És így:

$f_{max}$ Ha

És x_1 1 És x_2 3

$f_{max} f (1) 1^3 - 6,1^2 + 9,1$

$f_{max} 4$

4. probléma.

f (x) = (x – 1) származéka²(2x + 3) az…

Válasz:

Például:

u = (x − 1)² ⇒ u' = 2x − 2
v = 2x + 3 ⇒ v' = 2

f'(x) = u'v + uv'
f '(x) = (2x - 2) (2x + 3) + (x - 1)². 2
f'(x) = 4x² + 2x − 6 + 2(x² − 2x + 1)
f'(x) = 4x² + 2x − 6 + 2x² − 4x + 2
f'(x) = 6x² − 2x − 4
f '(x) = (x − 1)(6x + 4) vagy
f '(x) = (2x − 2)(3x + 2)

5. probléma.

Ha f (x) = x² – (1/x) + 1, akkor f'(x) =... .

A x – x²
B. x + x²
C. 2x – x^-2 + 1
D. 2x – x² – 1
E. 2x + x^-2

Válasz:

f(x) = x² – (1/x) + 1

= x² - x^-1 + 1

f'(x) = 2x -(-1)x^-1-1

= 2x + x^-2

A válasz: E

Így a felülvizsgálat a A know.co.id ról ről Algebrai függvények származéka, remélhetőleg gyarapíthatja belátását és tudását. Köszönjük látogatását, és ne felejtsen el elolvasni más cikkeket sem

Algebrai derivált függvények: képletek, alkalmazások, jelölések, osztás két függvénnyel szorzása és példafeladatok

A függvény deriváltjának képlete

Trigonometria származékos képletek

Származékos alkalmazások

Meghatározza a görbe érintőjének gradiensét

Határozza meg a növekvő és a csökkenő függvények intervallumát!

Meghatározza egy függvény stacionárius értékét és típusát

Határozatlan alakú határfeladatok megoldása vagy

Határozza meg a sebesség és a gyorsulás képletét!

Származékos jelölés

Két függvény szorzásának és osztásának származékai

A láncszabály

Példakérdések és vita

Határozatlan alakú határfeladatok megoldása $\frac{0}{0}$ vagy $\frac{\infty}{\infty}$