√ A származékok, típusok, képletek és példaproblémák meghatározása

August 15, 2023
Ban benLinkekre Vonatkozó Szabályzat Kapcsolatba Lépni

Tanulmányozni kell a származékok tárgyalását. A tanult határfogalom használatával könnyen megtanulhatja a következő származékos anyagot.

A származék definíciója

A derivált a függvényértékek változásainak kiszámítása a bemeneti értékek (változók) változása miatt.

A derivált differenciálisnak is nevezhető, a függvény deriváltjának meghatározásának folyamatát pedig differenciálásnak.

A vizsgált határfogalom felhasználásával a derivált így definiálható

a derivált a függvény értékének x változóra való átlagos változásának határa.

A következőkben egy példát mutatunk be az öröklődés megvalósítására.

Származtatott alkalmazás

Íme néhány származtatott megvalósítás.

A derivált felhasználható a görbe érintőjének gradiensének kiszámítására.
A derivált felhasználható annak meghatározására, hogy egy függvény mennyi idő alatt nő vagy csökken.
Egy függvény stacionárius értékének meghatározására derivatívákat lehet alkalmazni.
A származékok a mozgásegyenletekkel kapcsolatos problémák megoldásában alkalmazhatók.
A származékos eszközökkel maximum-minimális problémákat lehet megoldani.

instagram viewer

Az alábbiakban a derivált képletet ismertetjük.

Származékos képletek

Íme néhány alapvető képlet a derivált meghatározásához.

f(x) = c, ahol c egy állandó

Ennek a függvénynek a deriváltja f'(x) = 0.

f(x) = x

Ennek a függvénynek a deriváltja f'(x) = 1.

f(x) = axⁿ

Ennek a függvénynek a deriváltja f'(x) = anx^n–1

Függvényösszeadás: h(x) = f(x) + g(x)

Ennek a függvénynek a deriváltja: h'(x) = f'(x) + g'(x).

Funkciócsökkentés: h (x) = f (x) – g (x)

Ennek a függvénynek a deriváltja: h'(x) = f'(x) – g'(x)

Állandó szorzás függvénnyel (kf)(x).

Ennek a függvénynek a deriváltja k. f'(x).

A következőkben a derivált függvényt ismertetjük.

Függvény származtatás

Tegyük fel, hogy van egy f (x) = ax függvényⁿ. Ennek a függvénynek a deriváltja f'(x) = anx^n–1.

Példák:

f(x) = 3x³

a függvény deriváltja i.e

f'(x) = 3 (3) x^{3 – 1} = 9x².

Egy másik példa például g (x) = -5y^-3.

Ennek a függvénynek a deriváltja: g'(y) = -5 (-3) y^{-3 – 1} = 15 év^-4.

Az alábbiakban elmagyarázzuk az algebrai függvények deriváltját.

Algebrai függvények származéka

Ebben a részben az algebrai függvények deriváltjainak tárgyalása magában foglalja a szorzás formájú deriváltokat és az algebrai függvények eloszlásának deriváltjait.

Az algebrai függvény deriváltja szorzás formájában a következő.

Tegyük fel, hogy van függvények szorzata: h (x) = u (x). v(x).

Ennek a függvénynek a deriváltja h'(x) = u'(x). v(x) + u(x). v'(x).

Információ:

h(x): függvény szorzó formában.
h'(x): a szorzási forma függvény deriváltja
u(x), v(x): függvények x változóval
u'(x), v'(x): x változós függvények deriváltja

Az algebrai függvény deriváltja osztás formájában:

Tegyük fel, hogy van egy szorzófüggvény: h (x) = u (x)/v (x). Ennek a függvénynek a deriváltja

h'(x) = (u'(x). v(x) – u(x). v'(x))/v²(x).

Információ:

h(x): függvény szorzó formában.
h'(x): a szorzási forma függvény deriváltja
u(x), v(x): függvények x változóval
u'(x), v'(x): x változós függvények deriváltja

A következőkben a gyökérszármazékokról lesz szó.

Gyökér származékok

Tegyük fel, hogy van egy gyökérfüggvény a következőképpen

A függvény deriváltjának meghatározásához először exponenciális függvényre változtatjuk. A függvény exponenciális alakja f (x) = x^a/b.

Ennek a függvénynek a deriváltja f'(x) = a/b. x^{(a/b) – 1}.

Mi van, ha a függvény így néz ki?

A fenti függvény deriváltjának meghatározásához először exponenciális formára kell változtatni.

f(x) = g(x)^z/b

Ennek a függvénynek a deriváltja f'(x) = a/b. g(x)^{(a/b) – 1}. g'(x).

Az alábbiakban a részleges deriváltokról lesz szó.

Részleges származék

Mi az a részleges származék? A parciális derivált sok változó függvényének deriváltja egy változóhoz képest, miközben a többi változó megmarad.

Tegyük fel, hogy van egy függvény: f (x, y) = 2xy, a függvény parciális deriváltja az x változóhoz képest f_x’(x, y) = 2y.

Az y változó parciális deriváltja f_y’(x, y) = -6xy.

Az alábbiakban az implicit származékokat ismertetjük.

Implicit származék

Az implicit derivált a függvényben szereplő változók alapján kerül meghatározásra.

Egy függvény x változóval, deriváltja: x d/dx.

Egy y változójú függvény, deriváltja: y d/dy. dy/dx.

Egy függvény x és y változókkal, deriváltja: xy d/dx + xy d/dy. dy/dx.

Egy másik példa, hogy van egy g (x, y) = -3xy függvény²

A származékok jobb megértése érdekében próbálja meg megtenni a következő kérdéseket, majd ellenőrizze válaszait az alábbi részben található megbeszélés alapján.

Példák származékos kérdésekre

1. Keresse meg a következő függvény deriváltját!

f(x) = 8
g(x) = 3x + 5
h(x) = 6x³
k(x) = 3x^5/3
m(x) = (3x² + 3)⁴

Vita

f'(x) = 0
g'(x) = 3
h'(x) = 6 (3) x^{3 – 1}= 18x²
k'(x) = 3 (5/3) x^{(5/3) – 1} = 5x^2/3
m'(x) = 4. (3x² + 3)^{4 – 1}. 6x = 24x. (3x² + 3)³
2. Keresse meg a következő függvény deriváltját!
f(x) = (3x + 2). (2x² – 1)

Vita

Például: u (x) = 3x + 2 és v (x) = 2x² – 1

f'(x) = u'(x). v(x) + u(x). v'(x)

f'(x) = 3. (2x² – 1) + (3x + 2). (4x)

f'(x) = 6x² – 3 + 12x² + 8x = 18x² +8x – 3

3. Adott egy 2. rendű függvény az alábbiak szerint

Határozza meg f(0) + 3f'(1) értékét

Vita

Ennek a feladatnak a végrehajtásához beírhatjuk a függvénybe a 0 értéket.

Ön után kapja meg az f(0) értékét. A hányadosfüggvény deriváltján a származtatott tulajdonságok bármelyikével dolgozhatunk.

A képlet használatához használhatjuk az alábbi példát és származékait.

U = x2 + 3; U' = 2x

V = 2x + 1; V' = 2

Ezután beírhatjuk ezt a példát az előző derivált képletbe, és közvetlenül beírhatjuk az f'x (1)-et.

Tehát az eredmény f (0) + 3f' (1) = 3 + 3 (0) = 3

4. Keresse meg az f (x) = (x) deriváltot² + 2x + 3) (3x + 2)

Vita

Az előző feladathoz hasonlóan a derivált probléma szorzási formában történő feldolgozásához használhatjuk a származtatott tulajdonság képletét, és használhatunk egy példát a függvényben az alábbiak szerint.

F'(x) = u'v + uv'

U = x² +2x +3; U' = 2x + 3

V = 3x + 2; V' = 3

F'(x) = u'v + uv'

F'(x) = (2x+3)(3x + 2) + (x² + 2x + 3) (3)

F'(x) = 6x²+13x +6 +3x²+6x+9

F'(x) = 9x² +19x +15

Tehát az F'(x) végső alak 9x² +19x +15

5. Ha van f (x) = (2x-1)²(x+2). Mi az f'x értéke (2)
Vita
Ennek a feladatnak az elvégzéséhez használhatjuk az f'(x) = u'v + v'u függvény derivált tulajdonságát, hogy megkapjuk a végeredményt. Így újra elvégezhetjük a szétválasztást.

F'(x) = u'v + uv'

U= (2x-1)² = 4x²– 4x + 1; U' = 8x – 4

V = x + 2; V' = 1

F'(x) = u'v + uv'

F'(x) = (8x – 4) (x + 2) + (4x²– 4x + 1) (1); beírhatjuk a 2-es értéket, mint a feladatban

F'(2) = ((8(2) – 4)(2 + 2)) + ((4(2)²– 4(2) + 1)(1))

F'(2) = ((16-4) (4)) + ((16-8+1) (1))

F'(2) = 96 + 9 = 105

Így az F'(2) végső értéke 105

6. Keresse meg az y= -2x görbe érintőjét² + 6x + 7, amely merőleges az x – 2y +13 = 0 egyenesre

Vita

A feladatban szerepel, hogy van 2 egymásra merőleges egyenes, tehát feltételezhetjük, hogy a két egyenesnek van egy bizonyos meredeksége. Meg tudjuk határozni m értékét₁ és M₂ mindkét sorból.

m₁az y= -2x egyenes meredeksége² +6x+7. Hogy megtaláljuk m értékét₁, az y= -2x függvény származtatásával tehető meg² +6x+7.

m₁= y'(x) = -4x + 6

m₂az x meredeksége – 2y +13. Hogy megtaláljuk m értékét₂, a függvényt y függvényre kell változtatnunk.

x – 2y +13 = 0

x + 13 = 2 év

y = 0,5x + 6,5

m₂= y'(x) = 0,5

Mivel a két egyenes merőleges egymásra, az m értéke₁x m₂= -1.

m₁x m₂= -1

(-4x + 6)0,5 = -1

-2x + 3 = -1

-2x = -4

X = 2

Beillesztjük az m egyenletbe₁hogy megkapjuk m értékét₁ = -2. Miután megtaláltuk x értékét, ezt az értéket beírjuk az y függvénybe, így az y = 11 értéket kapjuk.

Érintővonal létrehozásához a következő képletet kell használni: (y-y₁) = m₁(x – x₁).

(y – 11) = -2 (x – 2)

I – 11 = -2x +4

I = -2x + 15

Az érintő y+2x-15 = 0

7. Van egy fedél nélküli doboz, négyzet alakú alappal, melynek területe 512 cm². Mekkora az él hossza, hogy a térfogat maximális értéke legyen
Vita
Ebben a kérdésben elmagyarázzák, hogy a doboznak nincs fedele. Így a doboz 4 oldalból és 1 alapból áll. Tegyük fel, hogy az alap oldala s, az oldal magassága pedig t. A dobozegyenletet az alábbiak szerint írhatjuk fel.

512 = az alap területe + a doboz 4 oldala

512 = s.s + 4.s.t
512 = s² + 4
512 – s² = 4

A t megszerzése után megtaláljuk a doboz térfogatát

V = s³ = s². t

A maximális hangerő eléréséhez levezethetjük a fenti térfogategyenletet

V'(s) = 0

S² = 170,67 cm²

S = 13,07 cm

Így a maximális térfogathoz szükséges s hosszúság 13,07 cm.

A derivált a függvényértékek változásainak kiszámítása a bemeneti értékek (változók) változása miatt.

Többféle derivált létezik, nevezetesen algebrai származékok, gyökszármazékok, parciális deriváltok, implicit származékok és mások.

Ez az öröklésről szóló vita. Remélhetőleg segíthet a származékos termékek megismerésében. Köszönöm.

Tartalomjegyzék

Ajánlást:

Az érvényesség: Jelentés és megbízhatóság, típus,… Az érvényesség: Meghatározás és megbízhatóság, típusok, alapelvek, számítás módja – Ebben az áttekintésben az érvényességről és a megbízhatóságról fogunk beszélni. Ami magában foglalja a szakértők, típusok, érvényességi elvek megértését…
Két változó lineáris egyenlőtlenség rendszere Két Változó Lineáris Egyenlőtlenség Rendszere – Érted, miről szól a Két Változó Egyenlőtlenség Rendszere? Ebből az alkalomból a Seputarknowledge.co.id a két változó egyenlőtlenségének rendszerét tárgyalja olyan dolgokkal együtt, amelyek...
Pythagoras: Történelem, tételképletek és példaproblémák Pythagoras: Történelem, tételképletek és példaproblémák – Ki az a Pythagoras a tételével? Ebből az alkalomból a Seputarknowledge.co.id képletekkel és példákkal fogja megvitatni, hogy mi is az a Pythagoras a kérdés. Hadd…
√ Egy változó lineáris egyenlet (PLSV) meghatározása és példák… Egyváltozós lineáris egyenlet (PLSV) meghatározása és példaproblémák – Ebben a vitában egy változós lineáris egyenletet fogunk elmagyarázni. Amely magában foglalja a lineáris egyenlet fogalmának megértését egy változó és...
Abszolútérték-egyenlet: magyarázat és példaproblémák Abszolútérték-egyenletek: Magyarázat és példaproblémák – Melyek az abszolútérték-egyenletek tulajdonságai?, Be Ebből az alkalomból a Seputarknowledge.co.id megvitatja ezt és persze más dolgokat is eltakarta. Lássuk…
Szórási képlet: definíció és példaproblémák Szórási képlet: Definíció és példakérdések – Mit értünk szórás alatt és hogyan képlet segítségével számítja ki? Ez alkalommal a SeputihKnowledge.co.id a szórással foglalkozik együtt…
√ A fedezeti pont meghatározása, képletek, összetevők, kiszámítás… A töréspont meghatározása, képletek, komponensek, számítási módszer és példák – Ebben a beszélgetésben a fedezeti pontról fogunk beszélni. Ez magában foglalja az írást, a képleteket, az összetevőket, a számítás módját és a példákat...
Másodfokú egyenletek: definíció, típusok, tulajdonságok, képletek és… Másodfokú egyenletek: definíciók, típusok, tulajdonságok, képletek és példaproblémák – Mik azok a másodfokú egyenletek és képletek Ebből az alkalomból a Seputarknowledge.co.id megvitatja, mi az a másodfokú egyenlet, a gyökképlet És…
Az indonéz csillagászat helyzetének és hatásának megértése… Az indonéz csillagászati pozíciók és hatásuk megértése (teljes) - A csillagászati pozíciók ősidők óta léteznek. Hosszú idő telt el azóta, hogy a tengerészek, sofőrök, pilóták vagy a területük elhelyezkedéséhez kapcsolódó munkák határozzák meg…
Példák lapos alakzatokra: A lapos alakzatok típusai, jellemzői és képletei Példák lapos alakzatokra: lapos alakzatok típusai, tulajdonságai és képlete – Melyek a lapos alakzatok példái?
Baráti novellák: meghatározás, írási tippek és példák Barátságnovellák: meghatározás, írási tippek és példák – Milyenek a baráti novellák? Ebből az alkalomból a Seputarknowledge.co.id megvitatja, hogy ez a Barátság novellája és más dolgokról szól-e. Lássuk együtt…
√ Az elektromos áram meghatározása, képletek, példák az áramerősség problémáira… Az elektromos áram erősségének meghatározása, képletek, példák az elektromos áramerősség problémáira - Ebben a beszélgetésben az elektromos áram erősségéről fogunk beszélni. Ami magában foglalja az erős elektromos áram definícióját, az erős áram képletét…
Geometria sorozat: definíciók, képletek, tulajdonságok és példaproblémák Geometria sorozat: definíciók, képletek, tulajdonságok és példaproblémák - Mi a geometriai sorozat?
Statisztika: definíció, hatókör és képlet Statisztika: Definíció, hatókör és képletek – Mit értünk statisztikán A Seputarknowledge.co.id ebből az alkalomból a statisztikát és képleteit tárgyalja. Nézzük meg együtt a vitát a cikkben...
Egyenletesen változó körkörös mozgás: meghatározás, nagyság… Egyenletesen változó körmozgás: meghatározás, fizikai mennyiség, képletek és példák a problémákra – Mi a mozgás Rendszeres körkörös változások és példák? Ebből az alkalomból a Seputarknowledge.co.id megvitatja, és persze kb...
Sharia számvitel: Megértés a szakértők szerint, alapvető… Syari'ah számvitel: Megértés a szakértők szerint, a jogalap, a jellemzők, a cél, az elvek, a jellemzők és Az előnyök - Mi a saría számvitel és előnyei? beszéljétek meg és...
√ Pontok, vonalak és síkok meghatározása (teljes vita) Pontok, egyenesek és síkok meghatározása (Teljes vita) - Ebből az alkalomból pontokról, egyenesekről és síkokról szóló cikkeket fogunk megvitatni. Természetesen a pont, vonal és sík szavak...
Kocka: Elemek, Tulajdonságok, Térfogat- és Felületképletek és… Kockák: Elemek, Tulajdonságok, Térfogat- és Felületképletek és Példák a problémákra – A térfogat kiszámítása és egy kocka felülete? És…
Társadalmi aritmetika: összérték, elméletek és képletek és… Társadalmi aritmetika: általános érték, elmélet és képletek és példaproblémák – Megértetted? mit jelent a társadalmi aritmetika? megbeszélni…
Tehetetlenségi momentum: definíció, tényezők, formaegyenletek… Tehetetlenségi momentum: definíció, tényezők, egyenletek objektumok formáiban és példaproblémák – mit jelent a Tehetetlenség Pillanatával?, Ebből az alkalomból Se a know.co.id-dal kapcsolatban megvitatja, és természetesen kb. ügy…
√ Az összehasonlítás meghatározása: fajták, képletek, példaproblémák… Az összehasonlítás definíciója Az összehasonlítást a matematikában aránynak is nevezhetjük. Akkor mi az összehasonlítás vagy arány? Az összehasonlítás (arány) két mennyiség összehasonlításának technikája vagy módja. Írás…
Függőleges lefelé irányuló mozgás: meghatározás, jellemzők, fizikai mennyiségek,… Függőleges lefelé mozgás: meghatározás, jellemzők, fizikai mennyiségek, képletek és példaproblémák - ebből az alkalomból A know.co.id körül a függőleges lefelé mozgásról, a képletekről és természetesen más dolgokról lesz szó Is…
Három változós lineáris egyenletrendszer: jellemzők, összetevők,… Három változó lineáris egyenletrendszer: Jellemzők, komponensek, megoldási módszerek és példaproblémák – mi van mit értesz háromváltozós egyenletrendszer alatt? Ebből az alkalomból a Se a know.co.id vitassuk meg...
Tollaslabda játék: történelem, technikák, szabályok, eszközök… Tollaslabda játék: Történelem, technikák, szabályzatok, létesítmények és infrastruktúra – ebből az alkalomból A know.co.id-ről szó lesz a tollaslabda játékról és természetesen más dolgokról is eltakarta. Lássuk…
A henger térfogatának meghatározására szolgáló képlet A képlet a henger térfogatának meghatározásához - Hogyan számítsuk ki a hengeres alak térfogatát?, Ebből az alkalomból a know.co.id-ről szó lesz róla és persze egyéb dolgokról is eltakarta. Lássuk együtt…
Kompozíciós függvények: képletek, tulajdonságok és példafeladatok Kompozíciós függvények: képletek, tulajdonságok és példaproblémák – Mit értünk kompozíciós függvényeken? ezúttal a know.co.id a kompozíció funkciójáról és egyéb dolgokról lesz szó eltakarta. Legyen…
Folyamatábra: Megértés a szakértők szerint, cél, funkciók,… Folyamatábra: Megértés a szakértők szerint, a cél, a funkciók, a típusok és a szimbólumok – mit jelent folyamatábra?, Ebből az alkalomból a Seputarknowledge.co.id megvitatja ezt és persze más dolgokat is eltakarta. Legyen…
Ívhossz-képlet: Példák problémákra és megoldásokra Ívhossz-képlet: Példák problémákra és megoldásokra - Hogyan mérjük meg a körív hosszát a képlettel? Ebből az alkalomból a Seputarknowledge.co.id megvitatja az ívhossz-képletet a problémák példáival együtt. Nézzük együtt a vitát...
A Cash Flow képlet: A 2023-as üzleti tevékenység meghatározása, típusai és jelentősége aroundknowledge.co.id – Van egy kulcsfontosságú képlet, amelyet egy kisvállalkozás tulajdonosának tudnia kell a bejövő és kimenő pénzáramlás nyomon követéséhez. Ez a cash flow képlet segít abban, hogy elegendő pénzed legyen ahhoz, hogy ne csak...
Számítógépes hardver: Hogyan működik, típusok, példák és… Számítógépes hardver: Hogyan működik, típusok, példák és funkciók – A mai számítógépes korszakban határozottan ismerjük a számítógépeket és eszközeiket. Néhányan azonban nem tudják...