Matematikai indukció: alapelvek, sorozatok bizonyítása, oszthatóság, egyenletek és példafeladatok

August 13, 2023
Ban benLinkekre Vonatkozó Szabályzat Kapcsolatba Lépni

Matematikai indukció: alapelvek, sorozatok bizonyítása, oszthatóság, egyenletek és példafeladatok – Mi az a matematikai indukció? A know.co.id a Kasti Ballról és a körülötte lévő dolgokról fog beszélni. Nézzük meg az alábbi cikk vitáját, hogy jobban megértsük.

Matematikai indukció: alapelvek, sorozatok bizonyítása, oszthatóság, egyenletek és példafeladatok

A matematikai indukció a deduktív bizonyítási módszer, amelyet a rendezett sorrendben rendezett számhalmazhoz kapcsolódó matematikai állítások bizonyítására használnak.

Ezek a számok például természetes számok vagy számok nem üres részhalmazai A matematikai indukciót csak egy állítás igazának ellenőrzésére vagy bizonyítására használjuk vagy képlet. A matematikai indukció pedig nem képletek származtatására szolgál. A matematikai indukció nem használható képletek származtatására vagy keresésére.

Íme néhány példa olyan matematikai állításokra, amelyek igazak matematikai indukcióval:

P(n): 2 + 4 + 6 + … + 2n = n (n + 1), n természetes szám
P(n): 6

instagram viewer

ⁿ + 4 osztható 5-tel, n természetes szám esetén.
P(n): 4n < 2ⁿ, minden természetes számra n ≥ 4

A matematikai indukció alapelveinek kiterjesztése

Például P(n) egy olyan kifejezés, amely n-től függ. P(n) minden n ≥ m természetes számra igaz, ha teljesíti a következő 2 feltételt:

P(m) igaz, ami azt jelenti, hogy ha n = m, akkor P(n) igaz
Minden k ≥ m természetes számra, ha P(k) igaz, akkor P(k + 1) is igaz.

Annak bizonyításához, hogy P(1) igaz, elegendő P(n) n = 1-gyel helyettesíteni.

Ha P(n) egyenlet alakban van megadva, az azt jelenti, hogy a bal oldalnak egyenlőnek kell lennie a jobb oldallal n = 1-nél, és akkor azt a következtetést vonjuk le, hogy P(1) igaz.

Ugyanezt a módszert alkalmazhatjuk annak kimutatására, hogy P(m) igaz.

Visszatérve a fenti dominóesetre, ahhoz, hogy a dominó (k + 1) leessen, a legkorábbi k dominónak kell leesnie.

Majd ezt követi a "ha k dominó esik, akkor dominó (k + 1) esik" következhet.

Tehát a „ha P(k) igaz, akkor P(k + 1) igaz” implikáció bemutatásához először azt kell feltételeznünk, hogy P(k) igaz.

Majd ezeket a feltevéseket tekintve megmutatjuk, hogy P(k + 1) is igaz.

A P(k) igaz feltételezésének folyamatát indukciós hipotézisnek nevezzük.

Annak bizonyítására, hogy P(k + 1) igaz, kiindulhatunk a hipotézisből. Vagyis abból a feltevésből, hogy P(k) igaz, vagy a következtetésből, vagyis magából a P(k + 1)-ből.

A matematikai indukció bizonyítása a következő sorrendben történhet:

Kezdeti lépés: Mutasd, hogy P(1) igaz.
Indukciós lépés: Tegyük fel, hogy P(k) igaz bármely k természetes számra, majd mutassuk meg, hogy P(k+ 1) is igaz ezen feltételezés alapján.
Következtetés: P(n) minden n természetes számra igaz.

Sorozat igazolása

Mielőtt belevágnánk a sorozat próbatételébe, számos dolgot alaposan meg kell fontolni a sorozattal kapcsolatban. Többek között:

P(n): u₁ +u₂ +u₃ + … + u_n = S_n, így
P(1): u₁ = S₁
P(k): u₁ +u₂ +u₃ + … + u_k = S_k
P(k + 1): u₁ +u₂ +u₃ + … + u_k +u_k+1 = S_k+1

1. példa:

Bizonyítsuk be, hogy 2 + 4 + 6 + … + 2n = n (n + 1), n természetes szám mindegyikére.

Válasz:
P(n): 2 + 4 + 6 + … + 2n = n (n + 1)

Bebizonyosodik, hogy P(n) minden n ∈ N-re igaz

Kezdő lépés:

Azt mutatja, hogy P(1) igaz
2 = 1(1 + 1)

Tehát megkapjuk, P(1) igaz

Indukciós lépés:

Legyen P(k) igaz, mégpedig:
2 + 4 + 6 + … + 2k = k (k + 1), k ∈ N

Megmutatja, hogy P(k + 1) is igaz, azaz:
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)

A fenti feltételezésekből akkor:
2 + 4 + 6 + … + 2k = k (k + 1)

Adja hozzá mindkét oldalát u-val_k+1 :
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = k (k + 1) + 2 (k + 1)
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1) (k + 2)
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)

Tehát P(k + 1) igaz

A matematikai indukció elve alapján bebizonyosodott, hogy P(n) minden n természetes számra igaz.

2. példa:

Bizonyítsd be 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n² így van, minden n természetes számra.

Válasz:
P(n): 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²

Ekkor megmutatja, hogy P(n) igaz minden n ∈ N-re

Kezdő lépés:
Megmutatja, hogy P(1) igaz
1 = 1²

Tehát P(1) igaz

Indukciós lépés:
Képzelje el, hogy P(k) igaz, nevezetesen:
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) = k², k ∈ N

Ez megmutatja, hogy P(k + 1) is igaz, nevezetesen:
1 + 3 + 5 + … + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1)²

A fenti feltételezésekből akkor:
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) = k²

Adja hozzá mindkét oldalát u-val_k+1 :
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k² + (2(k + 1) − 1)
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k² +2k+1
1 + 3 + 5 + … + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1)²

Tehát P(k + 1) is igaz

A matematikai indukció elve alapján bebizonyosodott, hogy P(n) minden n természetes számra igaz.

A felosztás igazolása

Az „a osztható b-vel” állítás a következő szinonimája:

egy többszörös b
b tényező a
b oszt a

Ha p osztható a-val és q osztható a-val, akkor (p + q) is osztható lesz a-val.

Például a 4 osztható 2-vel és a 6 osztható 2-vel, akkor (4 + 6) is osztható lesz 2-vel

1. példa:

Bizonyítsd be a 6ⁿ + 4 osztható 5-tel, minden n természetes számra.

Válasz:

P(n): 6ⁿ + 4 osztható 5-tel

Bebizonyosodik, hogy P(n) minden n ∈ N-re igaz.

Kezdő lépés:

Megmutatja, hogy P(1) igaz
6¹ + 4 = 10 osztható 5-tel

Tehát P(1) igaz

Indukciós lépés:

Képzelje el, hogy P(k) igaz, nevezetesen:
6^k + 4 osztható 5-tel, k ∈ N

Ez megmutatja, hogy P(k + 1) is igaz, nevezetesen:
6^k+1 + 4 osztható 5-tel.

6^k+1 + 4 = 6(6^k)+ 4
6^k+1 + 4 = 5(6^k) + 6^k + 4

5. ok (6^k) osztható 5-tel és 6-tal^k + 4 osztható 5-tel, tehát 5(6^k) + 6^k + 4 is osztható 5-tel.

Tehát P(k + 1) igaz.

A matematikai indukció elve alapján bebizonyosodott, hogy 6ⁿ + 4 osztható 5-tel, minden n természetes számra.

Az a egész osztható b egész számmal, ha m egész számot találunk, így a = bm lesz érvényes.

Például a "10 osztható 5-tel" igaz, mert vannak m = 2, tehát 10 = 5,2 egész számok.

Ezért a "10 osztható 5-tel" állítás felírható így: "10 = 5m, m egész számra"

A fenti koncepció alapján az osztásbizonyítást a következő módszerrel is meg lehet oldani.

2. példa:

Bizonyítsd be n³ + 2n osztható 3-mal, minden n természetes számra

Válasz:

P(n): n³ + 2n = 3m, m ∈ ZZ

Bebizonyosodik, hogy P(n) minden n ∈-re igaz NN

Kezdő lépés:

Megmutatjuk, hogy P(1) igaz
1³ + 2.1 = 3 = 3.1

Tehát P(1) igaz

Indukciós lépés:

Képzelje el, hogy P(k) igaz, nevezetesen:
k³ + 2k = 3m, k ∈ NN

Ez megmutatja, hogy P(k + 1) is igaz, nevezetesen:
(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3p, p ∈ ZZ

(k + 1)³ + 2(k + 1) = (k³ +3k² + 3k + 1) + (2k + 2)
(k + 1)³ + 2(k + 1) = (k³ +2k) + (3k² +3k+3)
(k + 1)³ + 2 (k + 1) = 3 m + 3 (k² + k + 1)
(k + 1)³ + 2 (k + 1) = 3 (m + k² + k + 1)

Mivel m egy egész szám, k pedig természetes szám, akkor (m + k² + k + 1) egy egész szám.

Például p = (m + k² + k + 1), tehát:
(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3p, p ∈ ZZ

Tehát P(k + 1) igaz

A fenti matematikai indukció fogalma alapján bebizonyosodott, hogy n³ + 2n osztható 3-mal, minden n természetes számra.

Az egyenlőtlenség bizonyítása

Az alábbiakban felsorolunk néhány gyakran használt egyenlőtlenségi tulajdonságot, beleértve:

1. tranzitív természet
a > b > c ⇒ a > c vagy
a < b < c ⇒ a < c

2. a < b és c > 0 ⇒ ac < bc vagy
a > b és c > 0 ⇒ ac > bc

3. a < b ⇒ a + c < b + c vagy
a > b ⇒ a + c > b + c

Mielőtt belevágnánk a példakérdésekbe, célszerű a fenti tulajdonságok felhasználását gyakorolni, hogy megmutassuk, hogy „ha P(k) igaz, akkor P(k + 1) is igaz”.

Példa

P(k): 4k < 2^k
P(k + 1): 4 (k + 1) < 2^k+1

Ha feltételezzük, hogy P(k) igaz k ≥ 5-re, akkor mutassuk meg, hogy P(k + 1) is igaz!

Ne feledje, hogy a célunk az, hogy megmutassuk, tehát:
4(k + 1) < 2^k+1 = 2(2^k) = 2^k + 2^k (CÉL)

A fenti egyenlőtlenség bal oldaláról indulhatunk:
4(k + 1) = 4k + 4
4(k + 1) < 2^k + 4 (mert 4k < 2^k)
4(k + 1) < 2^k + 2^k (mert 4 < 4k < 2^k)
4(k + 1) = 2(2^k)
4(k + 1) = 2^k+1

A tranzitív jelleg alapján megállapíthatjuk, hogy 4(k + 1) < 2^k+1

Miért változhat a 4k 2-re?^k ?

Mert a 3. tulajdonság szerint egy egyenlőtlenség mindkét oldalát ugyanannyival összeadhatjuk.

Mert ez nem fogja megváltoztatni az egyenlőtlenség igazságértékét. Mert 4k < 2^k igaz, ami azt eredményezi, hogy 4k + 4 < 2^k +4 is igaz.

Honnan tudjuk, hogy a 4-et 2-re kell változtatni?^k ?

Figyeld a célokat.

Az ideiglenes eredmény, amit kapunk: 2^k + 4, míg a célunk 2^k + 2^k.

Ha k ≥ 5, akkor 4 < 4k és 4k < 2^k ez igaz, tehát 4 < 2^k is igaz (tranzitív tulajdonság). Ennek eredménye a 2^k + 4 < 2^k + 2^k igaz (3. tulajdonság).

Matematikai indukció: alapelvek, sorozatok bizonyítása, oszthatóság, egyenletek és példafeladatok

Példa a problémákra

Probléma1

Bizonyítsuk be, hogy minden természetes számra n ≥ 4 és teljesül
3n < 2ⁿ

Válasz:

P(n): 3n < 2ⁿ

Bebizonyosodik, hogy P(n) teljesül n ≥ 4, n ∈ esetén NN

Megmutatja, hogy P(4) igaz
3.4 = 12 < 2⁴ = 16

Tehát P(4) igaz

Képzelje el, hogy P(k) igaz, nevezetesen:
3k <2^k, k ≥ 4

Ez megmutatja, hogy P(k + 1) is igaz, nevezetesen:
3(k + 1) < 2^k+1

3(k + 1) = 3k + 3
3(k + 1) < 2^k + 3 (mert 3k < 2^k)
3(k + 1) < 2^k + 2^k (mivel 3 < 3k < 2^k)
3(k + 1) = 2(2^k)
3(k + 1) = 2^k+1

Tehát P(k + 1) is igaz.

A matematikai indukció koncepciója alapján bebizonyosodott, hogy P(n) minden n ≥ 4 természetes számra teljesül.

2. probléma

Bizonyítsd $1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 \frac{1}{4} n^2 (n + 1)^2$ .

Vita:

1. lépés

$1^3 \frac{1}{4}(1)^2(1 + 1)^2 \frac{2^2}{4}$

1 1 (igazolt)

2. lépés (n = k)

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 \frac{1}{4}k^2(k + 1)^2$

3. lépés (n = k + 1)

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3(k + 1)^3 \frac{1}{4}(k + 1)^2 (k + 2)^3$ .

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1 )^3 + (k + 1)^3 \frac{1}{4}k^2(k + 1) ^2 + (k + 1)^3$ (mindkét mező hozzáadva .

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + (k + 1)^3 (k + 1)^2 (\frac{1}{4}k^2 + (k + 1))$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k +1)^3 (k + 1)$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 \frac{1}{4}(k + 1)^2 (k^2 + 4k + 4)$

$1^3 + 2^3 +3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 \frac{1}{4}(k + 1)^2(k + 2) (k + 2) )$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 \frac{1}{4}(k + 1)^2(k + 2)^2$ {igazolt).

3. probléma

Bizonyítsuk be, hogy minden természetes számra n ≥ 2 és teljesül 3ⁿ > 1 + 2n

Válasz:

P(n): 3ⁿ > 1 + 2n

Bebizonyosodik, hogy P(n) teljesül n ≥ 2, n ∈ esetén NN

Megmutatja, hogy P(2) igaz, nevezetesen:
3² = 9 > 1 + 2.2 = 5

Tehát P(1) igaz

Képzelje el, hogy P(k) igaz, nevezetesen:
3^k > 1 + 2k, k ≥ 2

Meg fogja találni, hogy P(k + 1) is igaz, azaz
3^k+1 > 1 + 2 (k + 1)

3^k+1 = 3(3^k)
3^k+1 > 3(1 + 2k) (mert 3^k >1+2k)
3^k+1 = 3 + 6k
3^k+1 > 3 + 2k (mert 6k > 2k)
3^k+1 = 1 + 2k + 2
3^k+1 = 1 + 2 (k + 1)

Tehát P(k + 1) is igaz

A matematikai indukció koncepciója alapján bebizonyosodott, hogy P(n) minden n ≥ 2 természetes számra teljesül.

Bizonyítsd

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{n}{2^n} 2 - \frac{n + 2}{2^n}$

Vita:

1. lépés

$\frac{1}{2} 2 - \frac{(1)+2}{2^1} 2 - \frac{3}{2}$

$\frac{1}{2} \frac{1}{2}$ (igazolt)

2. lépés (n = k)

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \cdots + \frac{2}{2^k} 2 - \frac{k + 2}{2^k}$

3. lépés (n = k + 1)

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{k}{2^k} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}} 2 - \frac{k + 3}{2 ^{k +1}}$

Bizonyította:

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{k}{2^k} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}} 2 - \frac{k + 2}{2^k} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}}$ (mindkét oldal szorozva $\frac{k+1}{2^{k+1}}$ )

$2 - \frac{2(k + 2)}{2^{(k + 1)}} + \frac{k + 1}{2^{k +1}}$ (2^k 2-re módosítva^k+1)

$2 -\frac{2k + 4}{2^{(k + 1)}} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}}$

$2 + \frac{k + 1 - (2k + 4))}{2^{(k + 1)}}$

$2 - \frac{k + 3}{2^{(k + 1)}}$ (igazolt)

4. probléma

Bizonyítsuk be, hogy minden n ≥ 5 természetes szám esetén 2n − 3 < 2^n-2

Válasz:

P(n): 2n − 3 < 2^n-2

Bebizonyosodik, hogy P(n) teljesül n ≥ 5, n ∈ esetén NN

Megmutatjuk, hogy P(5) igaz
2.5 − 3 = 7 < 2^5-2 = 8

Tehát P(1) igaz

Képzelje el, hogy P(k) igaz, nevezetesen:
2k − 3 < 2^k-2, k ≥ 5

Ez megmutatja, hogy P(k + 1) is igaz, nevezetesen:
2(k + 1) − 3 < 2^k+1-2

2(k + 1) − 3 = 2k + 2 − 3
2(k + 1) − 3 = 2k − 3 + 2
2(k + 1) − 3 < 2^k-2 + 2 (mert 2k − 3 < 2^k-2)
2(k + 1) − 3 < 2^k-2 + 2^k-2 (mert 2 < 2k − 3 < 2^k-2)
2(k + 1) − 3 = 2(2^k-2)
2(k + 1) − 3 = 2^k+1-2

Tehát P(k + 1) is igaz

A matematikai indukció koncepciója alapján bebizonyosodott, hogy P(n) minden n ≥ 5 természetes számra teljesül.

5. probléma:

Bizonyítsuk be, hogy minden természetes számra n ≥ 4 és tartsuk be (n + 1)! > 3ⁿ

Válasz:

P(n): (n + 1)! > 3ⁿ

Bebizonyosodik, hogy P(n) teljesül n ≥ 4, n ∈ esetén NN

Megmutatja, hogy P(4) igaz
(4 + 1)! > 3⁴
bal oldal: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
jobb oldal: 3⁴ = 81

Tehát P(1) igaz

Képzelje el, hogy P(k) igaz, nevezetesen:

(k+1)! > 3^k, k ≥ 4

Megmutatjuk, hogy P(k + 1) is igaz, azaz
(k + 1 + 1)! > 3^k+1

(k + 1 + 1)! = (k + 2)!
(k + 1 + 1)! = (k + 2)(k + 1)!
(k + 1 + 1)! > (k + 2)(3^k) (mert (k + 1)! > 3^k)
(k + 1 + 1)! > 3(3^k) (mert k + 2 > 3)
(k + 1 + 1)! = 3^k+1

Tehát P(k + 1) is igaz.

A matematikai indukció koncepciója alapján bebizonyosodott, hogy P(n) minden n ≥ 4 természetes számra teljesül.

Így a felülvizsgálat a A know.co.id ról ről Matematikai indukció , remélhetőleg gyarapíthatja belátását és tudását. Köszönjük látogatását, és ne felejtsen el elolvasni más cikkeket sem

Tartalomjegyzék

Ajánlást:

A magyarázó szöveg nyelvi elemei: jellemzők, szerkezet, típusok,… A magyarázó szöveg nyelvi elemei: definíció, jellemzők, szerkezet, típusok és példák - Mi a magyarázó szöveg Ez alkalomból a Seputarknowledge.co.id megvitatja, hogy mi a magyarázó szöveg és elem…
Abszolútérték-egyenlet: magyarázat és példaproblémák Abszolútérték-egyenletek: Magyarázat és példaproblémák – Melyek az abszolútérték-egyenletek tulajdonságai?, Be Ebből az alkalomból a Seputarknowledge.co.id megvitatja ezt és persze más dolgokat is eltakarta. Lássuk…
Sharia számvitel: Megértés a szakértők szerint, alapvető… Syari'ah számvitel: Megértés a szakértők szerint, a jogalap, a jellemzők, a cél, az elvek, a jellemzők és Az előnyök - Mi a saría számvitel és előnyei? beszéljétek meg és...
A Qada és a Qadar iránti hit: megértés, bizonyíték, bölcsesség és… A Qada és a Qadar iránti hit: Definíció, tétel, bölcsesség és funkcióik – Mit jelent a Qada és Qadar iránti hit?
Írásjelek: meghatározás, függvények, típusok és példák Írásjelek: meghatározás, funkciók, típusok és példák – Ebben a beszélgetésben az írásjelekről fogunk beszélni. Ez magában foglalja az írásjelek jelentését, funkcióját, típusait és példáit…
A labdarúgás 12 meghatározása szakértők szerint A labdarúgás 12 definíciója szakértők szerint - Ebből az alkalomból a futballról szóló anyagokat vitatjuk meg. A futball a legszélesebb körben játszott sportjáték az egész világon…
Példa kulturális művészeti kérdésekre a 10. osztályhoz (X) SMA/MA/SMK 1. félév… Példák a 10. (X) osztályú kulturális művészeti kérdésekre az SMA/MA/SMK 1. és 2. félévhez (2019 és 2020) – Ebből az alkalomból a Seputarknowledge.co.id a 10. osztály többválasztásos kulturális művészeti kérdéseit és esszéit tárgyalja…
A vékonybél funkciója: meghatározás, szerkezet, részek, enzimek és… A vékonybél funkciói: meghatározás, szerkezet, részek, enzimek és magyarázat - Mik a vékonybél funkciói?, Ebből az alkalomból az Around the Knowledge.co.id megvitatja ezt, beleértve a szerkezetet, az enzimeket és természetesen a dolgokat mások, akik…
Környezeti beszéd: meghatározás, cél, jellemzők és… Környezeti beszéd: meghatározás, cél, jellemzők és példák – Hogyan épül fel a környezeti beszéd szövege? mi a jó és mi a helyes?, Ebből az alkalomból a Seputarknowledge.co.id megvitatja ezt és persze a dolgokat Melyik…
Tehetetlenségi momentum: definíció, tényezők, formaegyenletek… Tehetetlenségi momentum: definíció, tényezők, egyenletek objektumok formáiban és példaproblémák – mit jelent a Tehetetlenség Pillanatával?, Ebből az alkalomból Se a know.co.id-dal kapcsolatban megvitatja, és természetesen kb. ügy…
√ Kosárlabdajáték-technikák és -szabályok (teljes) Kosárlabda játéktechnikák és szabályok (komplett) - Ebből az alkalomból a kosárlabda meccsekről lesz szó. Ami ebben a beszélgetésben elmagyarázza, hogyan kezdődik a kosárlabda...
Manipulatív mozgások: Példák és magyarázatok A manipulatív mozgások a következők: Példák és magyarázatok – Mit jelent a manipulatív mozgás? Ebből az alkalomból a Seputarknowledge.co.id megvitatja, és persze azokról a dolgokról is, amelyek erre is vonatkoznak. Legyen…
Optikai műszerek: meghatározás, funkciók, típusok és alkatrészek Optikai műszerek: meghatározás, funkciók, típusok és alkatrészek – Mik azok az optikai eszközök és milyen típusaik vannak? Ebből az alkalomból a Seputarknowledge.co.id megvitatja ezt és persze más dolgokat is, amiket...
Marketingmenedzsment feladatok: fontos szakaszok és tényezők… Marketingmenedzsment feladatok: Kulcsmenedzsment szakaszok és tényezők - Mik a marketingmenedzsment feladatok? A know.co.id ezúttal arról lesz szó, hogy mik a marketingmenedzsment feladatai és egyéb tényezők...
√ A származékok, típusok, képletek és példaproblémák meghatározása Tanulmányozni kell a származékok tárgyalását. A tanult határfogalom használatával könnyen megtanulhatja a következő származékos anyagot. A származékos definíció A derivatíva a…
Focianyag: meghatározás, előnyök, célok, technikák,… Futballanyag: meghatározás, előnyök, célok, technikák, futballszabályok – Természetesen mindannyian tudjuk, mi a futball, igaz? A futball egy olyan sport, amely nagyon népszerű és nagyon…
Grafika: meghatározás, történelem, típusok, jellemzők, összehasonlítás… Grafikai művészetek: Definíció, történelem, típusok, jellemzők, összehasonlítások és példák a grafikai művészetekre - Hello srácok, ismeritek a grafikát? Ebből az alkalomból a Seputarknowledge.co.id megvitatja, mi a művészet…
Novella szövege: meghatározás, jellemzők, szerkezet, elemek és példák Novellaszöveg: meghatározás, jellemzők, szerkezet, elemek és példák – Mi az a novellaszöveg? Ebből az alkalomból a Seputarknowledge.co.id a novellaszövegeket és az azokat körülvevő dolgokat tárgyalja. Hadd…
Testnevelési kérdések minta a 11. osztályhoz (XI.) SMA/MA/SMK 1. és 2. félév Példák testnevelési kérdésekre a 11. (XI) osztályban az SMA/MA/SMK 1. és 2. félévhez (2019 és 2020) – Ebből az alkalomból a Seputarknowledge.co.id a 11. osztály testnevelési kérdéseinek példáit tárgyalja feleletválasztós és esszé ...
A tanulási módszerek meghatározása: jellemzők, cél, típusok és… A tanulási módszerek meghatározása: jellemzők, célja, típusai és megvitatása – Mit értünk módszer alatt Learning? Is…
Számminták: A számminták meghatározása és típusai Számminták: A számminták meghatározása és típusai – Mi az a számminta? Ebből az alkalomból szeretnénk áttekinteni, hogy mit is jelentenek a számminták és típusaik és...
A magyarázó szöveg célja: meghatározás, szerkezet, jellemzők, szabályok,… A magyarázó szöveg célja: definíció, szerkezet, jellemzők, szabályok, példák - Ebben a beszélgetésben a magyarázó szövegről fogunk beszélni. Ami magában foglalja a magyarázó szöveg megértését, a magyarázó szöveg célját, a szöveg szerkezetét...
A futball története belép Indonéziába A futball belépésének története Indonéziában – A sportjátékokat nagyon érdekes játszani és nézni. Ez a sportjáték amellett, hogy egészségessé teszi a testet, és…
Pályatenisz: történelem, technikák, ütéstípusok, tulajdonságok… Pályatenisz: története, technikák, ütéstípusok, mérkőzések tulajdonságai és rendszerei – Mi a teniszsport Court Melyik…
Római számok: történelem, alapvető számok, írásmód, képletek… Római számok: Történelem, Alapszámok, Hogyan írjunk, Képletek és Hátrányok – Tudod, mik ezek? Római számok és hogyan kell olvasni? borítók…
√ Egy változó lineáris egyenlőtlenség (PtLSV) definíciója,… Az egyváltozós lineáris egyenlőtlenség (PtLSV) definíciója, tulajdonságai, problémák példái és megoldása – Ebben a vitában egy változó lineáris egyenlőtlenségről fogunk beszélni. Ami magában foglalja a lineáris egyenlőtlenség fogalmát…
Háttér: meghatározás, tartalom, készítés módja és… Háttér: definíció, tartalom, készítés módja és példák – mit kell érteni háttér?, Ebből az alkalomból a Seputarknowledge.co.id megvitatja ezt és persze más dolgokat is Melyik…
Műveletek egész számok számlálására és példák (vita… Műveletek egész számok számlálására és teljes példák - Tudnunk kell, hogy egész számok számos aritmetikai művelettel rendelkezik, beleértve az összeadást, kivonást, szorzást, osztást és rang. Műveletek egész számok és…
√ Aritmetikai sorozat képletei, sorozatai, űrlapjai, példafeladatok és… Aritmetikai sorozatok képletei, sorozatai, űrlapjai, példák kérdésekre és válaszokra – Ebből az alkalomból, a Tudás körül, az aritmetikai sorozatokról fogunk beszélni. Ami ebben a vitában különféle kérdéseket magyaráz meg a…
A kiállítás célja: meghatározás, funkciók, előnyök, típusok, elemek… A kiállítás célja: Definíció, funkciók, előnyök, típusok, elemek és a kiállítás alapelvei – Mit értünk kiállításon vagy kiállításon? Ebből az alkalomból a Seputarknowledge.co.id megvitatja, mi az a kiállítás, és mi…