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√ घन की परिभाषा (परिभाषा, शुद्ध, क्षेत्रफल और आयतन, उदाहरण समस्याएं)

घन की परिभाषा

कमरे के निम्नलिखित चित्र को देखें।

घनक्षेत्र
आकृति 1। घनक्षेत्र

यह स्थान एक घन स्थान है। एक घन छह वर्ग भुजाओं से घिरा एक ज्यामितीय आकृति है।

ऊपर दिए गए चित्र से, क्या आप एक घन की विशेषताएँ बता सकते हैं?

एक घन की छह भुजाएँ होती हैं जो समान आकार (सर्वांगसम) होती हैं, जिसमें आठ शीर्ष और बारह किनारे होते हैं जो समान लंबाई के होते हैं।

उपरोक्त घन को हम ABCD.EFGH घन नाम दे सकते हैं। आगे हम घनों को लागू करने के कुछ उदाहरणों के बारे में जानेंगे।

रोजमर्रा की जिंदगी में क्यूब्स

हम कई वस्तुओं का सामना करते हैं जो क्यूब्स के समान होती हैं। क्या आपने कभी एकाधिकार या सांप सीढ़ी खेला है?

इस खेल में हम ऐसे पासों का उपयोग करते हैं जिनका आकार घन जैसा होता है।

पासे की छह भुजाएँ होती हैं, जिनमें से प्रत्येक भुजा पर 1 - 6 का पासा होता है। आगे हम किनारों, अंतरिक्ष विकर्णों, विकर्ण तलों और घन जालों पर चर्चा करेंगे।

क्यूब रिब्स

ऊपर चित्र 1 में घन को फिर से देखें।

घन ABCD.EFGH में कितने किनारे हैं?

  • घन में 12 किनारे होते हैं।
  • एक घन के किनारों की लंबाई समान होती है।
  • एबी पसलियां पसलियों सीडी, ईएफ और जीएच के समानांतर।
  • पसलियां BC, AD, EH और FG पसलियों के समानांतर हैं।
  • AE पसलियां BF, CG और DH पसलियों के समानांतर होती हैं।
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अंतरिक्ष घन के विकर्ण

निम्न चित्र को देखें।

अंतरिक्ष घन के विकर्ण
चित्र 2। अंतरिक्ष घन के विकर्ण

एक घन में चार अंतरिक्ष विकर्ण होते हैं जो दो विपरीत कोनों को जोड़ते हैं।

एजी, बीएच, सीई और डीएफ सहित ऐसे स्थान हैं।

मान लीजिए घन के किनारे की लंबाई है आर, फिर क्यूबिकल स्पेस के विकर्ण की लंबाई यानी

एसी = √(एबी2 + ई.पू2) = √(आर2 + आर2) = √(2r2) = आर √2

एजी = √ (एसी2 + सीजी2) = √((आर √2)2 + आर2) = √(3r2) = आर √3

तो, किनारों के साथ घन के अंतरिक्ष विकर्ण की लंबाई आर है आर √3.

घन के विकर्ण

नीचे घन के विकर्णों में से एक पर विचार करें।

घन के विकर्ण
चित्र तीन। घन के विकर्ण

छवि घन के विकर्ण विमानों में से एक है, अर्थात् विकर्ण विमान ABGH।

क्या आप अन्य विकर्णों के नाम बता सकते हैं?

अन्य घन विकर्ण विमान सीडीईएफ, एडीजीएफ, बीसीएचई, एसीजीई और बीएफएचडी विकर्ण विमान हैं। तो घन में 6 विकर्ण क्षेत्र हैं।

एक घन के विकर्णों का क्षेत्रफल समान होता है। मान लीजिए घन के किनारे की लंबाई है आर, फिर विकर्ण क्षेत्र का क्षेत्रफल (जैसे ABGH का विकर्ण क्षेत्र):

एक विकर्ण घन के क्षेत्रफल का सूत्र

बीजी = √ (बीसी2 + सीजी2) = √(आर2 + आर2) = √(2r2) = आर √2

विकर्ण क्षेत्र = एबी एक्स बीजी

विकर्ण क्षेत्र = आर एक्स आर √2 = आर2 √2

जानकारी:

r: घन के किनारे की लंबाई

घन जाल

क्यूब्स के कई ग्रिड बनाए जा सकते हैं। इस लेख में, हम क्यूब नेट के दो उदाहरण पेश करेंगे।

निम्नलिखित घनों के जालों पर विचार कीजिए।

घन ग्रिड
चित्रा 4। घन जाल

घन के दो जालों में, एक ही रंग के भाग घन की भुजाएँ होती हैं जो एक दूसरे के सामने होती हैं।

क्यूब्स का नेट छह बराबर (सर्वांगसम) वर्गों से बना है।

दूसरे क्यूब नेट में I से VI तक के कोड होते हैं।

वर्ग I, वर्ग IV के विपरीत है, वर्ग II, वर्ग V के विपरीत है, और वर्ग III, वर्ग VI के विपरीत है।

आगे, हम घन पर कुछ सूत्रों की व्याख्या करेंगे।

घन सूत्र

इस खंड में प्रस्तुत किए जाने वाले सूत्रों में घन के सतह क्षेत्र और घन की मात्रा के सूत्र शामिल हैं।

एक घन का सतही क्षेत्रफल

निम्न चित्र को देखें।

एक घन का सतही क्षेत्रफल
चित्रा 5। एक घन का सतही क्षेत्रफल

पहले हम घन जालों के बारे में चर्चा कर चुके हैं। घनों के जाल का उपयोग करके हम किसी घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र ज्ञात कर सकते हैं।

घन छह वर्ग भुजाओं से बना है। मान लीजिए घन के किनारे की लंबाई है आर, तो सतह क्षेत्र है:

एक घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र

क्षेत्रफल I = क्षेत्रफल II = क्षेत्रफल III = क्षेत्रफल IV = क्षेत्रफल V = क्षेत्रफल VI = वर्ग का क्षेत्रफल

वर्ग का क्षेत्रफल = r x r

एक घन का सतही क्षेत्रफल = क्षेत्रफल I + क्षेत्रफल II + क्षेत्रफल III + क्षेत्रफल IV + क्षेत्रफल V + क्षेत्रफल VI

एलपी = (आरएक्सआर) + (आरएक्सआर) + (आरएक्सआर) + (आरएक्सआर) + (आरएक्सआर) +(आरएक्सआर)

एलपी = 6 x आर एक्स आर = 6r2

जानकारी:

  • एलपी: घन का सतह क्षेत्र
  • r: घन के किनारे की लंबाई

आगे घन के आयतन के बारे में बताया गया है।

क्यूब वॉल्यूम

निम्न चित्र को देखें

क्यूब वॉल्यूम
चित्रा 5। क्यूब वॉल्यूम

ऊपर दी गई तस्वीर में भुजाओं की लम्बाई वाला एक घन ABCD.EFGH है आर.

सामान्य तौर पर, एक प्रिज्म का आयतन आधार का क्षेत्रफल प्रिज्म की ऊंचाई से गुणा होता है।

क्‍योंकि घन का आधार भुजाओं की लंबाई वाला एक वर्ग है आर, तो आधार का क्षेत्रफल है आर2.

क्यूब वॉल्यूम फॉर्मूला

घन का आयतन = आधार का क्षेत्रफल x ऊँचाई

घन का आयतन = वर्ग x ऊँचाई का क्षेत्रफल

वी = आर2 एक्स आर

वी = आर3

जानकारी:

  • V: घन का आयतन
  • आर : घन के किनारे की लंबाई

निम्नलिखित अभ्यास प्रश्न करें।

प्रश्न और चर्चा

8 सेमी भुजा वाले एक घन पर विचार करें। परिभाषित करना:

  1. घन स्थान का विकर्ण आकार,
  2. घन के विकर्ण का क्षेत्रफल,
  3. घन का सतह क्षेत्र, और
  4. घन मात्रा

बहस

  • अंतरिक्ष का विकर्ण आकार

अंतरिक्ष विकर्ण = आर √3 = 8√3 सेमी

  • विकर्ण क्षेत्र

विकर्ण क्षेत्र = आर2 √2 = 82 √2 = 64 √2 सेमी2

  • घन का सतह क्षेत्र

एलपी = 6 x आर2 = 6 x 82 = 6 x 64 सेमी2 = 384 सेमी2

  • घन मात्रा

वी = आर3 = 83 = 512 सेमी3

आइए इस आलेख में घन सामग्री को सारांशित करें।

निष्कर्ष

  • एक घन छह वर्ग भुजाओं से घिरा एक ज्यामितीय आकृति है।
  • एक घन में 12 किनारे होते हैं जिनकी लंबाई समान होती है।
  • एक घन में चार सर्वांगसम स्थान विकर्ण होते हैं।
  • घन के छह समान (सर्वांगसम) विकर्ण फलक होते हैं।
  • क्यूब्स में विभिन्न ग्रिड होते हैं।

यदि किनारों वाला घन है आर, इसलिए:

  • अंतरिक्ष का विकर्ण है आर √3
  • विकर्ण का क्षेत्रफल है आर2 √2
  • घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल 6 x r है2
  • घन का आयतन r है3.

बस इतनी ही जानकारी दी जा सकती है। आशा है कि यह उपयोगी है।

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