लघुगणक: गुण, लघुगणक समीकरण, शर्तें, पहाड़ियाँ, समस्याएँ

लोगारित्म एक गणितीय संक्रिया है जहां यह संक्रिया घातांक या घात के प्रतिलोम (या प्रतिलोम) का संक्रिया है। इस लघुगणकीय सूत्र में आधार या मूलधन सामान्यतः अक्षर a के रूप में होता है।

या यह भी उल्लेख किया गया है कि क्या यह लघुगणक एक विलोम है या इसमें प्रयुक्त शक्ति (घातांक) का विलोम है आधार संख्या का घातांक ज्ञात कीजिए.

लघुगणक को अंग्रेजी में कहते हैं लघुगणक

तो संक्षेप में, लघुगणक का अध्ययन करके, हम ज्ञात घातांक वाली संख्या की घात ज्ञात कर सकते हैं।

लोगारित्म

जब आप यह जान लेते हैं कि लघुगणक क्या है, तो आप भी इस लघुगणक के सामान्य रूप को जानने के लिए बाध्य हैं।

यहाँ लघुगणक का सामान्य रूप है:

लघुगणक का सामान्य रूप:

यदि एक^नहीं = एक्स तो ^एलॉगएक्स = एन

जानकारी:

a: आधार है, जिसकी निम्नलिखित शर्तें हैं: a > 0 और a 1.

x: वह संख्या है जिसे एल्गोरिथम ढूंढ रहा है (संख्या), शर्तें हैं: x> 1

n: लघुगणक की शक्ति है।

अब आपके लिए नीचे दिए गए उदाहरण प्रश्नों को देखने का समय है ताकि आप ऊपर दिए गए विवरण को बेहतर ढंग से समझ सकें:

1. जब 3² = 9, तो लघुगणक रूप में यह बदल जाएगा ³लॉग 9 = 2
2. जब 2³ = 8, तो लघुगणक रूप में यह बदल जाएगा ²लॉग 8 = 3
3. जब 5³ = 125, तो लघुगणक रूप में यह बदल जाएगा ⁵लॉग 125 = 3

आप कैसे हैं? अब मैं समझने लगा हूँ सही?

कुंआ, आम तौर पर यहां, आप अभी भी अक्सर यह निर्धारित करने में भ्रम का अनुभव करेंगे कि कौन सी संख्या आधार है और कौन सी संख्या अंक है।

लोगारित्म एक गणितीय संक्रिया है जिसमें घातांक या घात का विलोम होता है।

लघुगणक का मूल सूत्र: b^सी = a को के रूप में लिखा जाता है ^खलॉग ए = सी (बी को बेस लॉगरिदम कहा जाता है)।

है न?

शांत हो जाओ दोस्तों, आपको जो कुंजी याद रखनी है वह है if आधार संख्या यह है आधार, 'लॉग' चिह्न से पहले शीर्ष पर स्थित है। तथा संख्यारैंक परिणाम इसे कहा जाता है नंबर, 'लॉग' शब्द के बाद सबसे नीचे स्थित है. आसान सही?

लघुगणक समीकरण

लघुगणक समीकरणए एक समीकरण है जिसमें चर लघुगणक का आधार है।

इस लघुगणक को एक गणितीय संक्रिया के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है जो घातांक या एक घात का प्रतिलोम (या प्रतिलोम) है।

उदाहरण संख्या 

यहाँ हम लघुगणकीय संख्याओं के कुछ उदाहरण देंगे, जिनमें निम्नलिखित शामिल हैं:

इसके बाद, लघुगणक में भी कुछ गुण होते हैं जो अपेक्षित आपको समझने के लिए, यहां. अनिवार्य क्यों?

ऐसा इसलिए है क्योंकि ये विशेषताएँ बाद में लॉगरिदमिक समस्याओं पर आसानी से काम करने का आपका प्रावधान बन जाएँगी।

लघुगणक के गुणों को समझे बिना आप लघुगणक समस्याओं पर कार्य नहीं कर पाएंगे, आपको पता है!

फिर, कुछ भी नरक लघुगणक के गुण क्या हैं? आ जाओ, नीचे दी गई समीक्षाओं पर ध्यान दें।

लघुगणक गुण

लघुगणक के कुछ गुण निम्नलिखित हैं जिन्हें आपको अवश्य समझना चाहिए, जिनमें शामिल हैं:

उपरोक्त कुछ गुणों के अलावा, लघुगणक समीकरणों के कुछ गुण भी हैं, जिनमें शामिल हैं:

लघुगणक समीकरणों के गुण

लघुगणक समीकरण के भी कुछ विशेष गुण होते हैं, ये गुण इस प्रकार हैं:

1. गुणन के लघुगणक गुण 

गुणन का लघुगणकीय गुण दो अन्य लघुगणकों के योग का परिणाम है जिसमें दो अंकों का मान प्रारंभिक अंकीय मान का एक गुणनखंड होता है।

^एलॉग पी. क्यू = ^एलॉग पी + ^एलॉग क्यू

इस एक गुण के लिए कई शर्तें हैं, जैसे: a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0.

2. लघुगणक गुणन

लॉगरिदम का गुणन लॉगरिदम की एक संपत्ति है जिसे लॉगरिदम बी से गुणा किया जा सकता है यदि लॉगरिदम का संख्यात्मक मान लॉगरिदम बी की आधार संख्या के बराबर है।

गुणन का परिणाम एक नया लघुगणक है जिसका आधार संख्या लघुगणक a के बराबर है। और लॉगरिदम बी के समान संख्यात्मक मान है।

^एलॉग बी एक्स ^खलॉगसी = ^एलॉग सी

इस एक विशेषता के लिए कई शर्तें हैं, अर्थात्: a > 0, a \ne 1.

3. प्रभाग की प्रकृति 

विभाजन का लघुगणक गुण दो अन्य लघुगणकों को घटाने का परिणाम है जहां दो अंकों का मान प्रारंभिक लघुगणक संख्यात्मक मान का एक अंश या विभाजन है।

^एलॉग पी/क्यू: ^एलॉग पी - ^एलॉग क्यू

इस एक गुण के लिए कई शर्तें हैं, जैसे: a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0.

4. व्युत्क्रम तुलनीय लक्षण

व्युत्क्रमानुपाती लघुगणक संपत्ति अन्य लघुगणक वाली एक संपत्ति है जिसमें आधार संख्या और अंक विनिमेय होते हैं।

^एलॉगब = 1/^खलॉग ए

इस एक विशेषता के लिए कई शर्तें हैं, अर्थात्: a > 0, a \ne 1.

5. विपरीत चिन्ह 

विपरीत चिन्ह का लघुगणक गुण एक लघुगणक वाला गुण है जिसका अंक प्रारंभिक लघुगणक संख्यात्मक मान का एक व्युत्क्रम अंश है।

^एलॉग पी/क्यू = - ^एलॉग पी/क्यू

इस एक गुण के लिए कई शर्तें हैं, जैसे: a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0.

6. शक्तियों की प्रकृति 

शक्तियों का लघुगणकीय गुण एक ऐसा गुण है जिसका संख्यात्मक मान एक घातांक है। और एक गुणक को शक्ति जारी करके एक नए लघुगणक के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है।

^एलॉग बी^पी = पी. ^एलॉग बी

इस एक विशेषता के लिए कई शर्तें हैं, अर्थात्: a > 0, a \ne 1, b > 0

7. लॉगरिदमिक प्रिंसिपल नंबर की शक्ति 

किसी आधार संख्या की लघुगणकीय घात की घात वह गुण है जहाँ आधार संख्या का मान a. है घातांक (शक्ति) जिसे किसी संख्या की शक्ति को हटाकर एक नए लघुगणक के रूप में उपयोग किया जा सकता है विभाजक।

ए^पीलॉगब = 1/पी^एलॉग बी

इस एक विशेषता के लिए कई शर्तें हैं, अर्थात्: a > 0, a \ne 1.

8. संख्यात्मक शक्तियों की तुलना में लघुगणक प्रधान संख्याएं 

आधार संख्या का वह गुण जो अंकगणित की घात के समानुपाती होता है, वह गुण होता है जिसका संख्यात्मक मान a. होता है आधार संख्या के मान का घातांक (शक्ति) जिसका परिणाम मान अंक के घात के मान के समान हो उस।

^एलॉग ए^पी = पी

इस एक विशेषता के लिए कई शर्तें हैं, अर्थात्: a > 0 और a \ne 1.

9. पद 

लघुगणक की शक्ति उन संख्याओं के गुणों में से एक है जिनकी शक्तियाँ लघुगणक के रूप में होती हैं। शक्ति मान का परिणाम वह मान होता है जहां अंकगणित लघुगणक से आता है।

ए ^एलॉग एम = एम

इस एक विशेषता के लिए कई शर्तें हैं, अर्थात्: a > 0, a \ne 1, m > 0.

10. लॉगरिदमिक बेस बदलना 

इस लघुगणक के आधार को बदलने की प्रकृति को भी दो लघुगणक की तुलना में तोड़ा जा सकता है।

^पीलॉग क्यू = ^एलॉग पी/^ए लॉग क्यू

इस एक विशेषता के लिए कई शर्तें हैं, अर्थात्: a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0

लॉगरिदमिक समीकरण फॉर्मूला

ऊपर दिए गए विवरण के आधार पर, लघुगणक एक गणितीय संक्रिया है जो घातांक या घात का विलोम है।

लियान के बीच घातांकीय रूप के लघुगणक का एक उदाहरण: a^ख = c यदि लघुगणकीय संकेतन में व्यक्त किया जाए तो यह होगा ^एलॉगसी = बी।

बयान इस प्रकार है:

• a आधार या आधार संख्या है।
• b लघुगणक का परिणाम या श्रेणी है।
• c लघुगणक का अंक या डोमेन है।

नोट्स के साथ:

इससे पहले कि हम लघुगणक के सूत्र के बारे में और चर्चा करें, यदि लेखन है, तो आपके लिए यह समझना आवश्यक है ^एलॉग बी का मतलब लॉग के समान है_ए बी

लॉगरिदमिक समीकरण के लिए सूत्र, दूसरों के बीच में है:

लघुगणक समीकरण सूत्र:

अगर हमारे पास है ^एलॉगफ (एक्स) = ^एलॉग g(x), फिर f(x) = g(x) ।
कुछ शर्तों के साथ जैसे: a > 0, a 1, f (x) > 0, g (x) > 0 ।

लघुगणक असमानताएँ:

अगर हमारे पास लॉग f(x) >. है ^एlog g(x) तो हमारे पास दो अवस्थाएँ हैं, अर्थात्:

पहला, जब a>0 का अर्थ है: f (x) > g (x)
दूसरा, समय 0. पर

नमूना प्रश्न और चर्चा

निम्नलिखित में, हम प्रश्नों के साथ-साथ उनकी चर्चा के कुछ उदाहरण प्रदान करेंगे। ध्यान से सुनो, हाँ।

नमूना प्रश्न 1-3

1. ²लॉग 4 + ²लॉग 8 =

2. ²लॉग 32 =

3. जब पता चलता है ²लॉग 8 = मी और ²log 7 = n, तो का मान ज्ञात कीजिए ¹⁶लॉग 14!

उत्तर:

समस्या १.

पहला कदम जो हमें करना है वह है चेक आधार.

ऊपर दिए गए लघुगणक के दो समीकरणों का आधार मान समान है, जो कि 2 है।

इसलिए, हम परिणाम खोजने के लिए लघुगणक की दूसरी संपत्ति का उपयोग कर सकते हैं।

ताकि, ²लॉग 4 + ²लॉग 8 = ²लॉग (4 × 8) = ²लॉग 32 = 5। याद कीजिए! लघुगणक का उद्देश्य शक्ति का पता लगाना है।

तो, 32 के घात का क्या 2? जवाब कोई और नहीं बल्कि 5. है. आसान है ना?

प्रश्न 2।

आइए प्रश्न संख्या 2 पर चलते हैं।

प्रश्न संख्या 2 में, हम इसे तुरंत नहीं कर सकते, क्योंकि आप निश्चित रूप से 8 की घात का मान ज्ञात करने में भ्रम का अनुभव करेंगे जिसके परिणामस्वरूप 32 होगा। फिर कैसे?

अगर हम समस्या को और करीब से देखें, तो 8 2. की शक्ति का परिणाम है³ और 32 भी जो 2. की शक्ति का परिणाम है⁵.

इसलिए, हम लघुगणकीय रूप को इसमें बदल सकते हैं:

⁸लॉग 32 = ²³लॉग 2

= 5/3 ²लॉग २ (प्रॉपर्टी नंबर ६ का प्रयोग करें)

= 5/3(1) = 5/3

समस्या 3.

आप लोग कैसे हैं? क्या आप अभी तक उत्साहित होने लगे हैं?

कुंआ, प्रश्न संख्या ३ की चर्चा में यह आपको और भी उत्साहित कर देगा !

आपको यह जानने की जरूरत है कि प्रश्न संख्या 3 से मॉडल अक्सर राष्ट्रीय परीक्षा प्रश्नों या विश्वविद्यालय चयन प्रश्नों में मिल जाएगा आपको पता है.

पहली नज़र में यह काफी जटिल लगता है, हाँ, लेकिन अगर आप पहले से ही अवधारणा को समझते हैं, तो यह समस्या करना बहुत आसान होगा।

यदि आपको इस तरह का कोई समस्या मॉडल मिलता है, तो आप संख्या 4 के लघुगणकीय गुण का उपयोग करके इसका मान ज्ञात कर सकते हैं।

तो, प्रक्रिया होगी:

²लॉग 8 = मी और ²लॉग 7 = एन, ¹⁶लॉग 14?

¹⁶लॉग 14 = ²लॉग 14/ ²लॉग 16

ध्यान दें:

कौन सा आधार चुनने के लिए, हम सीधे उस संख्या को देख सकते हैं जो समस्या में सबसे अधिक बार दिखाई देती है। तो हम जानते हैं कि संख्या 2 2 गुना, 8 जितनी 1 बार, और 7 जितनी 1 बार आती है।

जो संख्या सबसे अधिक दिखाई देती है वह कोई और नहीं बल्कि 2 है, इसलिए हम आधार के रूप में 2 को चुनते हैं। समझ गया?

= ²लॉग्स (7 x 2)/ ²लॉग (8 x 2)

फिर हम अंक का वर्णन करें.

आइए इसे समस्या में पहले से मौजूद रूप में बदलने का प्रयास करें। क्या मतलब?

यहां लोग, ज्ञात प्रश्न पर ²लॉग 8 और भी ²लॉग 7. चूँकि संख्याएँ 8 और 7 दोनों हैं, हम 14 को 7 × 2 और 16 को 8 × 2 में तोड़ते हैं ताकि हम अंतिम परिणाम देख सकें।

= ²लॉग 7 + ²लॉग 2/ ²लॉग 8 + ²लॉग 2 (प्रॉपर्टी नंबर 2 का उपयोग करें)

= एन + 1/एम + 1

एक और उदाहरण प्रश्न।

समस्या 1.(EBTANAS '98)

ज्ञात है ³लॉग 5 = एक्स और ³लॉग 7 = वाई। value के मान की गणना करें ³लॉग 245 ^1/2! (ईबीटीएनएएस '98)

उत्तर:

³लॉग 245 ^½ = ³लॉग (5 x 49) ^½

³लॉग 245 ^½ = ³लॉग ((5) ^½ एक्स(49) ^½)

³लॉग 245 ^½ = ³लॉग (5) ^½ + ³लॉग (7 .)²) ^½

³लॉग 245 ^½ = ½( ³लॉग 5 + ³लॉग 7)

³लॉग 245 ^½ = (एक्स + वाई)

तो, का मान ³लॉग 245 ^½ यानी (एक्स + वाई)।

प्रश्न 2। (यूएमपीटीएन '97)

अगर बी = ए⁴, a और b के मान धनात्मक हैं, तो value का मान ^एलॉग बी - ^खलॉग ए यानी???

उत्तर:

यह ज्ञात है कि यदि b = a⁴, तो हम इसे होने वाली गणना में स्थानापन्न कर सकते हैं:

^एलॉग बी - ^खलोगा = ^एलॉग ए⁴ - ए⁴ लॉग ए

^एलॉग बी - ^खलोगा = 4 (^एलोगा) - 1/4( ^एलॉग ए)

^एलॉग बी - ^खलोगा = 4 - 1/4

^एलॉग बी - ^खलोगा = 3^3/4

तो, का मान ^एलॉग बी - ^खलॉग इन प्रश्न संख्या 2 3 है^3/4.

समस्या 3. (यूएमपीटीएन '97)

अगर ^एलॉग्स (1- ³log 1/27) = 2, फिर a के मान की गणना करें।

उत्तर:

यदि हम मान 2 को एक लघुगणक में बनाते हैं जहाँ लघुगणक की आधार संख्या a हो जाती है ^एलॉग ए²= 2, तो हम पाते हैं:

^एलॉग्स (1- ³लॉग 1/27) = 2

^एलॉग्स (1- ³लॉग 1/27) = ^एलॉग ए²

दो लघुगणक का संख्यात्मक मान एक समीकरण हो सकता है, अर्थात्:

1- ³लॉग 1/27 = ए²

³लॉग 3 - ³लॉग 1/27 = ए²

³लॉग 3 - ³लॉग 3^(-3) = ए²

³लॉग 3/3^-3 = ए²

³लॉग 3⁴ = ए²

4 = ए²

अतः हमें a = 2 का मान प्राप्त होता है।

समस्या 4.

यदि यह ज्ञात हो कि 2log 8 = a और 2log 4 = b. फिर 6log 14. का मान परिकलित करें

ए। 1 /2
बी (1+2) / (2+1)
सी। (ए+1) / (बी+2)
डी (1+ए) / (1+बी)

उत्तर:

2 लघुगणक के लिए 8 = a

= (लॉग 8 / लॉग 2) = ए =
= लॉग 8 = एक लॉग 2

2 लघुगणक के लिए 4 = b

= (लॉग 4 / लॉग 2) = बी =
= लॉग 4 = बी लॉग 2

तो, 16 लॉग 8 = (लॉग 16) / (लॉग 68)
= (लॉग 2.8) / (लॉग २.४)
= (लॉग 2 + लॉग 8) / (लॉग 2 + लॉग 4)
= (लॉग 2 + ए लॉग ए) / (लॉग 2 + बी लॉग बी)
= लॉग 2 (1+ ए) / लॉग 2 (1+ बी)
= (1+ए) / (1+बी)

तो, उपरोक्त उदाहरण समस्या में 6 लॉग 14 का मान (1+a) / (1+b) है। (डी)

प्रश्न 5.

(3log 5 - 3 log 15 + 3log 9) का मान है ?

ए। 2
बी 1
सी। 4
डी 5

उत्तर:

(३लोग ५ - ३लोग १५ + ३लोग ९
= ३लॉग्स (५. 9) / 15
= ३लोग ४५/१५
= ३लोग ३
=1

तो, 3log 5 - 3log 15 + 3log 9 का मान 1 है। (बी)

प्रश्न 6.

नीचे लघुगणक समस्या में मान की गणना करें:

1. (२लोग ४) + (२लोग ८)
2. (२लोग २√२) + (२लोग ४√२)

उत्तर:

1. (2log 4 + 2log 8) = (2log 4) x 8 = 2log 3 के घात 2 = 5 power

2. (2log 2√2 + 2log 4√2) = (2log 2√2) x (4√2) = 2log 16 = 4

तो, उपरोक्त प्रत्येक लघुगणक समस्या का मान 5 और 4 है।

प्रश्न 7.

नीचे लघुगणक समस्या में मान की गणना करें:

1. २लोग ५ x ५लोग ६४
2. 2 लॉग्स 25 x 5लॉग्स 3 x 3लॉग्स 32

उत्तर:

1. (२लोग ५) x (५लोग ६४) = २लोग ६४ = २लोग २६ = ६

2. (2log 25) x (5log 3) x (3log 32) =(2log 52) x (5log 3) x (3log 25)
= 2. (२लोग ५) एक्स (५लोग ३) एक्स ५। (३लॉग २)
= 2 x 5 x (2log 5) x (5log 3) x (3log 2)
= १० x (२ लॉग २) = १० x १ = १०

अतः उपरोक्त प्रश्न का मान 6 और 10 है।

प्रश्न 8.

लॉग 25 + लॉग 5 + लॉग 80 के मान की गणना करें...

उत्तर:

लॉग 25 + लॉग 5 + लॉग 80
= लॉग (25 x 5 x 80)
= लॉग 10000
= लॉग 104
= 4

समस्या 9.

यह ज्ञात है कि लघुगणक 3 = 0.332 और लघुगणक 2 = 0.225। तो प्रश्न का लॉग 18 है….

ए। 0,889
बी 0,556
सी। 0,677
डी 0,876

उत्तर:

मालूम:

• लॉग 3 = 0.332
• लॉग २ = ०.२२५

पूछा:

• लॉग १८ =….?

उत्तर:

लॉग 18 = लॉग 9. लॉग 2
लॉग 18 = (लॉग 3.लॉग 3)। लॉग 2
लॉग 18 = 2. (0,332) + (0,225)
लॉग 18 = 0.664 + 0.225
लॉग 18 = 0.889

अतः उपरोक्त प्रश्न में लघुगणक 18 का मान 0.889 है। (ए)

प्रश्न 10.

निम्नलिखित घातांक को लघुगणकीय रूप में परिवर्तित करें:

1.  24 = 16
2.  58 = 675
3.  27 = 48

उत्तर:

* घातांक को लघुगणकीय रूप में इस प्रकार रूपांतरित करें:

यदि ba = c का मान है, तो ब्लॉग c = a का मान।

1.  २४ = १६ → २लोग १६ = ४
2.  ५८ = ६७५ → ५लोग ६७५ = ८
3.  २७ = ४८ → २लोग ४८ = ७

इस प्रकार इस बार एक संक्षिप्त समीक्षा जो हम बता सकते हैं। उम्मीद है कि उपरोक्त समीक्षा का उपयोग आपकी अध्ययन सामग्री के रूप में किया जा सकता है।