Fonctions quadratiques: fonctions, formules, graphiques paraboliques, problèmes

Une fonction quadratique, également connue sous le nom de fonction polynomiale, est une fonction avec la puissance d'exposant la plus élevée de 2.

En général, la forme générale d'une fonction quadratique est f(x)=ax²+bx+c ou alors y=ax²+bx+c.

Une fonction est toujours liée au graphe de la fonction. De même avec la fonction quadratique.

Le graphique d'une fonction quadratique a la forme d'une parabole. Pour tracer un graphique d'une fonction quadratique, il est nécessaire de déterminer le point d'intersection avec les axes de coordonnées ainsi que les points extrêmes.

Comme pour les autres désignations des points extrêmes, à savoir le point culminant ou le point maximum ou minimum. Et maintenant, nous discutons de chacun à partir de ce point. Découvrez la discussion suivante.

Intersection avec l'axe de coordonnées

Le point d'intersection avec l'axe X est obtenu en déterminant la valeur de la variable x dans la fonction quadratique. Si la valeur de la variable y est égale à zéro, alors le point d'intersection (x .) sera obtenu₁,0) et (x₂,0).

quel x₁ et x₂ sont les racines de l'équation quadratique.

Mais vous devez vous rappeler que les différentes racines d'une équation quadratique dépendent du discriminant.

Si le discriminant est égal à zéro alors une seule racine sera obtenue et cela signifie qu'il n'y a qu'un seul point d'intersection avec l'axe X.

Si la valeur discriminante est inférieure à zéro, l'équation quadratique n'a pas de racines réelles, ce qui signifie qu'elle n'a pas d'intersection avec l'axe X.

Le point d'intersection avec l'axe Y est obtenu en trouvant la valeur de y dans la fonction quadratique si la valeur de la variable x est égale à zéro, de sorte que le point (0,y) est obtenu.₁).

Point extrême

Le point extrême d'une fonction quadratique est une coordonnée où l'abscisse est la valeur de l'axe de symétrie et l'ordonnée est la valeur extrême.

Paires de coordonnées de points extrêmes dans la fonction quadratique y=ax²+bx+c est comme ça.

D est le discriminant

D=b²-4ac

Comme nous l'avons mentionné plus haut,

est l'axe de symétrie et est la valeur extrême de la fonction quadratique.

Démonstration de la formule du point extrême pour les fonctions quadratiques

Nous pouvons obtenir le point extrême du concept de la dérivée première.

Le point extrême de la fonction quadratique y=ax² + bx + c est obtenu en le diminuant d'abord, puis le résultat de la dérivée est égal à zéro, y' = 0, vous obtiendrez donc la forme suivante :

Voici les étapes pour tracer un graphique de la fonction quadratique y=ax²+bx+c

1. Déterminer le point d'intersection avec les axes de coordonnées.
   • Le point d'intersection avec l'axe X si y = 0.
     (aucun pour les fonctions quadratiques qui ont D<0).
   • Le point d'intersection avec l'axe Y si x = 0.
2. Déterminer le point extrême, c'est-à-dire

Exemple de problèmes :

Disséquons ensemble la fonction quadratique de f(x)=x²-6x+8

Le point d'intersection avec l'axe X

Rappelez-vous que le point d'intersection avec l'axe X sera obtenu si la valeur de y = 0, alors à partir de cela, il sera obtenu la forme de l'équation quadratique x²-6x+8=0.

Pour s'assurer que l'équation quadratique ci-dessus a des racines, la première étape consiste à déterminer d'abord le discriminant.

D=b²-4ac=(-6)²-4(1)(8)=36-32=4

Puisque le discriminant est 4 (positif), l'équation quadratique doit avoir deux racines réelles distinctes.

Cela signifie que la fonction quadratique ci-dessus a deux points d'intersection avec l'axe X. Le point d'intersection avec l'axe X est obtenu à partir des racines de l'équation quadratique.

X²-6x+8=0
(x-2)(x-4)=0
x=2 ou x=4

Ainsi, les points d'intersection avec l'axe X sont (2,0) et (4,0)

Intersection avec l'axe Y.

Le point d'intersection avec l'axe Y sera obtenu si la valeur x = 0.
y=x²-6x+8
y=0²-6(0)+8=8

Ainsi, le point d'intersection avec l'axe Y est (0,8)

Point extrême

Le point extrême de la fonction quadratique f(x)=ax²+bx+c c'est-à-dire

Cela signifie que pour la fonction quadratique f(x)=x²-6x+8 points extrêmes sont comme ci-dessous :

L'axe de symétrie est x=3 et la valeur extrême est -1.

A partir des informations sur le point d'intersection avec l'axe X, le point d'intersection avec l'axe Y, et aussi les points extrêmes, nous pouvons tracer un graphique de la fonction quadratique.

Les étapes, après avoir obtenu le point d'intersection avec l'axe X, le point d'intersection avec l'axe Y, et aussi le point extrême. Dessinez ensuite les points en coordonnées cartésiennes, puis connectez-les avec une courbe lisse.

Dans l'exemple de problème ci-dessus, la fonction quadratique f(x)=x²-6x+8 a l'intersection avec l'axe X (2,0) et (4,0), l'intersection avec l'axe Y (0,8) et le point extrême (3,-1).

Une image de ces points en coordonnées cartésiennes est dans la figure ci-dessous.

Reliez ensuite les points avec une courbe lisse, de sorte que la courbe de fonction quadratique f(x)=x. sera obtenue²-6x+8 comme suit :

Propriétés de la courbe parabolique

1. Basé sur le coefficient "ɑ"

La valeur de a a une fonction déterminante de la direction d'ouverture d'un graphe.

• Si a > 0, la parabole s'ouvre vers le haut alors que le point de retournement est minimum donc elle a une valeur minimum.
• Si a < 0, la parabole s'ouvre vers le bas alors que le point de retournement est maximum donc elle a une valeur maximum.

2. Basé sur le coefficient "b"

La valeur de b a une fonction déterminante pour déterminer la position de l'axe de symétrie sur le graphique.

• Pour a et b de même signe (a > 0, b > 0) ou (a < 0, b <0) alors l'axe de symétrie est à gauche de l'axe des y.
• Pour a et b de signes différents (a < 0, b > 0) ou (a > 0, b < 0) alors l'axe de symétrie est à droite de l'axe des y.

3. Basé sur le coefficient "c"

La valeur de c a une fonction déterminante du point d'intersection avec l'axe des y.

• Si c > 0, le graphe de la parabole se coupe sur l'axe des y positif.
• Si c < 0, le graphique de la parabole coupe l'axe des ordonnées négatives.

4. Basé sur D = b² – 4ac (discriminant)

• Si D > 0 l'équation quadratique a deux racines réelles distinctes.
  La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points. Pour que D soit un carré parfait, les deux racines sont rationnelles, tandis que D n'est pas un carré parfait, donc les deux racines sont des racines irrationnelles.
• Si D = 0, l'équation quadratique a deux racines égales (racines jumelles), est réelle et est également rationnelle. La parabole sera tangente à l'axe des x.
• Si D < 0, l'équation quadratique n'a pas de racines réelles ou les deux racines ne sont pas réelles (imaginaires). La parabole ne se coupera pas et ne touchera pas l'axe des x.
  • Pour D < 0, a > 0, la parabole sera toujours au-dessus de l'axe des x ou communément appelée définie positive.
  • Pour D < 0, < 0, la parabole sera toujours sous l'axe des x ou communément appelée définie négative.

Compiler une fonction quadratique

1. S'il se coupe sur l'axe des x en (x₁,0) et (x₂,0), alors la formule qui s'applique est: y = ƒ (x) = (x – x₁) (x – x₂).
2. Si le sommet (x_p, oui_p) alors la formule qui s'applique est: y = ƒ (x) = (x – x_p)² + oui_p.
3. Si tangente à l'axe des x en (x₁,0) alors la formule qui s'applique est: y = ƒ (x) = (x – x₁)²

Relation de ligne avec la parabole

Basé sur D = b² – 4ac, la position de la droite sur la parabole se divise en 3 sortes, dont :

1. D > 0 signifie que la ligne coupera la parabole en deux points.
2. D = 0 signifie que la ligne coupe la parabole en un point (interceptions)
3. D < 0 signifie que la ligne ne se coupe pas et ne touchera pas la parabole.

Exemples de questions et discussion

Problème 1 :

Si la fonction f(x)=px²-(p+1)x-6 atteint la valeur la plus élevée pour x=-1, puis détermine la valeur de p.

Répondre:

x=-1 est l'axe de symétrie, la formule est -b/2a.

Signification: -b/2a=-1
-(-(p+1))/2(p)=-1
p+1=-2p
3p=-1
p=-1/3

Problème 2:

Déterminer le point extrême ainsi que le point d'intersection avec l'axe X pour la fonction quadratique
f(x)=x²-20x+75.

Répondre:
Le point extrême de la formule :

Le point d'intersection avec l'axe X si y=0 pour la fonction quadratique y=x²-20x+75 points extrêmes :

Le point d'intersection avec l'axe X

X²-20x+75=0
(x-5)(x-15)=0
x=5 ou x=15 donc les points d'intersection sont (5,0) et (15,0)

Problème 3 :
Les coordonnées du point de retournement du graphique de la fonction quadratique y=x²+4x-6 est…

Répondre:

Les coordonnées inverses de la formule sont :

Problème 4:

On sait que f(x) = -x² + 5x + c, si l'ordonnée du pic est 6 alors la valeur de c est...

Répondre:

L'ordonnée du sommet, la formule: -D/4a
-(5²-4(-1)c)/4(-1) = 6
-(25+4c)/-4=6
-(25+4c)=-24
25+4c=24
4c=-1
c=-1/4

Ensuite, nous donnerons un exemple de question sur SNMPTN et aussi UN En ce qui concerne les fonctions quadratiques, examinez attentivement la discussion ci-dessous :

Problème 1. (MADAS SNMPTN 2012)

Si l'image ci-dessous est un graphique d'une fonction quadratique f avec un sommet (-2.0) et passant par le point (0,-4) alors la valeur de f(-5) est …

1. -7
2. -8
3. -9
4. -10
5. -11

Répondre:

On sait que le sommet (x_p, oui_p) = (-2,0), passant par le point (x, y) = (0,-4)

La formule appropriée si le sommet est connu est :

y = f(x) = a(x-x_p )² + oui_p

Pour trouver la valeur de a, alors :

y = f(x) = a(x-x_p)² + oui_p
y = a(x+2)² + 0
-4 = un (0+2)² + 0
-4 = 4a
a = -1

Ainsi vous obtiendrez :
f(x) = -(x + 2)², avec f(-5)
f(-5) = -(-5 + 2)² = -9

Alors, la réponse est: C

Question 2. (MatDas SBMPTN 2013)

Si le graphe de la fonction quadratique f(x) = ax² + bx + c a un sommet (8,4) et coupe l'axe des abscisses alors ...

1. a > 0, b > 0 et c > 0
2. a < 0, b < 0 et c > 0
3. a < 0, b > 0 et c < 0
4. a > 0, b > 0 et c < 0
5. a < 0, b > 0 et c > 0

Répondre:

On sait que le sommet est (8,4), donc le graphe s'ouvre vers le bas, alors :

un < 0
X_p = -b/2a = 8, car a < 0 → b > 0
D = b² – 4ac, la condition de coupe de l'axe x est négative D > 0 car b > 0 et a < 0, alors :
b² – 4ac > 0
(+) – 4(-)c > 0
c > 0

La réponse est donc: E

Problème 3. (Science Mathématiques SBMPTN 2014)

On sait qu'une parabole est symétrique par rapport à la droite x = -2 et la tangente à la parabole est au point (0,1) parallèle à la droite 4x + y = 4. Le sommet de la parabole est...

1. (-2,-3)
2. (-2,-2)
3. (-2,0)
4. (-2,1)
5. (-2,5)

Répondre:

Soit l'équation de la parabole y = ax² + bx + c parabole symétrique à la droite x_p = -2 puis déterminer x_p = -b/2a =-2 → b = 4

ligne 4x+y = 4 → m_g = -4
Parce qu'il est parallèle alors m_parabole = m_ligne = -4
m_parabole = oui
2ax + b = -4 jusqu'au point (0,1)
2a(0) + b = -4
b = -4

Pour déterminer x_p Andy_p:
b = 4a
-4 = 4a
a = -1

Équation parabolique y = ax² + bx + c est: h comme suit
y = -x² – 4x + c par le point (0,1)
1 = -0² – 4(0) + c
c = 1

Ensuite, il peut être calculé y = -x² – 4x + 1
X_p = -b/2a = -(-4)/2(-1) = -2 et y_p = -(-2)² – 4(-2) +1= 5

Donc le sommet de la parabole est (-2,5)

La réponse est donc: E

Problème 4. (ONU 2008)

Le graphique de la fonction quadratique qui passe par les points A(1,0), B(3,0) et C(0,-6) est …

1. y = 2x² + 8x – 6
2. y = -2x² + 8x – 6
3. y = 2x² – 8x + 6
4. y = -2x² – 8x – 6
5. y = -x²+ 4x – 6

Répondre:

Pour le point C (0,-6) → x = 0, y = – 6

Pour les points A (1,0) et B (3,0) → x₁ = 1, x₂ = 3

Alors la formule qui s'applique est y = a (x – x₁)(x – x₂)

y = a(x – 1)(x – 3)
– 6 = (0 – 1)(0 – 3)
– 6 = 3a
a = – 2

Déterminez la fonction quadratique de la manière suivante :

y = a(x – x₁)(x – x₂)
y = – 2(x – 1)(x – 3)
y = – 2(x² – 4x + 3)
y = – 2x² + 8x – 6

La réponse est donc: B

Question 5. (ONU 2007)

Regardez les images !

L'équation du graphique de la fonction quadratique de la figure est...