Système de trois équations linéaires variables: fonctionnalités, composants, méthodes de résolution et exemples de problèmes
Système de trois équations linéaires variables: fonctionnalités, composants, méthodes de résolution et exemples de problèmes – Qu'entend-on par un système de trois équations variables? À propos du knowledge.co.id en discutera et bien sûr aussi les choses qui l'entourent. Regardons ensemble la discussion dans l'article ci-dessous pour mieux la comprendre.
Système de trois équations linéaires variables: fonctionnalités, composants, méthodes de résolution et exemples de problèmes
Le système d'équations à trois variables ou communément abrégé en SPLTV est un ensemble d'équations linéaires à trois variables. Une équation linéaire est caractérisée par le fait que l'exponentielle la plus élevée des variables de l'équation est un. De plus, le signe reliant les équations est un signe égal.
En architecture, il existe des calculs mathématiques pour la construction de bâtiments, dont l'un est un système d'équations linéaires. Un système d'équations linéaires est utile pour déterminer les coordonnées des points d'intersection. Des coordonnées précises sont essentielles pour produire un bâtiment qui correspond à l'esquisse. Dans cet article, nous discuterons d'un système de trois équations linéaires variables (SPLTV).
Système de trois équations linéaires variables - est une forme étendue d'un système de deux équations linéaires variables (SPLDV). Qui, dans un système à trois variables d'équations linéaires se compose de trois équations, chaque équation a trois variables (par exemple x, y et z).
Le système d'équations linéaires à trois variables se compose de plusieurs équations linéaires à trois variables. La forme générale de l'équation linéaire à trois variables est la suivante.
hache + par + cz = d
a, b, c et d sont des nombres réels, mais a, b et c ne peuvent pas tous être 0. Cette équation a plusieurs solutions. Une solution peut être obtenue en comparant des valeurs arbitraires à deux variables pour déterminer la valeur de la troisième variable.
Caractéristiques d'un système d'équations linéaires à trois variables
Une équation est appelée un système à trois variables d'équations linéaires si elle a les caractéristiques suivantes :
- Utilisation d'une relation de signe égal (=)
- A trois variables
- Les trois variables ont un degré un (rang un)
Trois composants du système d'équations linéaires variables
Contient trois composants ou éléments qui sont toujours liés à un système à trois variables d'équations linéaires.
Les trois composants sont: les termes, les variables, les coefficients et les constantes. Ce qui suit est une explication de chacun des composants SPLTV.
Groupe ethnique
Le terme fait partie d'une forme algébrique composée de variables, de coefficients et de constantes. Chaque terme est séparé en ajoutant ou en soustrayant des signes de ponctuation.
Exemple:
6x – y + 4z + 7 = 0, alors les termes de l'équation sont 6x, -y, 4z et 7.
Variable
Les variables sont des variables ou des substituts d'un nombre qui sont généralement désignés par l'utilisation de lettres telles que x, y et z.
Exemple:
Yulisa a 2 pommes, 5 mangues et 6 oranges. Si on écrit sous la forme d'une équation alors :
Par exemple: pommes = x, mangues = y et oranges = z, donc l'équation est 2x + 5y + 6z.
Coefficient
Le coefficient est un nombre qui exprime le nombre de variables du même type.
Le coefficient est également appelé nombre devant la variable, car l'écriture d'une équation pour le coefficient se trouve devant la variable.
Exemple:
Gilang a 2 pommes, 5 mangues et 6 oranges. Si on l'écrit sous la forme d'une équation alors :
Par exemple: pommes = x, mangues = y et oranges = z, donc l'équation est 2x + 5y + 6z.
À partir de cette équation, on peut voir que 2, 5 et 6 sont des coefficients où 2 est le coefficient x, 5 est le coefficient y et 6 est le coefficient z.
Constant
Une constante est un nombre qui n'est pas suivi d'une variable, il aura donc une valeur fixe ou constante quelle que soit la valeur de la variable ou des variables.
Exemple:
2x + 5y + 6z + 7 = 0, à partir de cette équation la constante est 7. En effet, 7 a une valeur fixe et n'est affecté par aucune variable.
Méthode de résolution d'un système de trois équations linéaires variables
Une valeur (x, y, z) est un ensemble de solutions à un système d'équations linéaires à trois variables si la valeur (x, y, z) satisfait les trois équations dans SPLTV. L'ensemble des solutions SPLTV peut être déterminé de deux manières, à savoir la méthode de substitution et la méthode d'élimination.
- Méthode de remplacement
La méthode de substitution est une méthode de résolution de systèmes d'équations linéaires en substituant la valeur d'une des variables d'une équation à une autre. Cette méthode est appliquée jusqu'à ce que toutes les valeurs variables soient obtenues dans un système à trois variables d'équations linéaires.
La méthode de substitution est plus facile à utiliser sur SPLTV qui contient une équation avec un coefficient de 0 ou 1. Voici les étapes de résolution avec la méthode de substitution.
- Trouvez une équation qui a une forme simple. Les équations aux formes simples ont des coefficients de 1 ou 0.
- Exprimer une des variables sous la forme de deux autres variables. Par exemple, la variable x est exprimée en fonction de la variable y ou z.
- Remplacez les valeurs variables obtenues à la deuxième étape dans les autres équations de SPLTV, de sorte qu'un système d'équations linéaires à deux variables (SPLDV) soit obtenu.
- Déterminer la solution SPLDV obtenue à l'étape trois.
- Déterminez les valeurs de toutes les variables inconnues.
Essayons de résoudre le problème d'exemple suivant. Déterminez l'ensemble des solutions du système à trois variables d'équations linéaires ci-dessous.
x + y + z = -6 … (1)
x – 2y + z = 3 … (2)
-2x + y + z = 9 … (3)
Premièrement, nous pouvons remplacer l'équation (1) par z = -x – y – 6 par l'équation (4). Ensuite, nous pouvons substituer l'équation (4) à l'équation (2) comme suit.
x - 2y + z = 3
x – 2y + (-x – y – 6) = 3
x – 2y – x – y – 6 = 3
-3a = 9
y = -3
Après cela, nous pouvons substituer l'équation (4) à l'équation (3) comme suit.
-2x + y + (-x – y – 6) = 9
-2x + y – x – y – 6 = 9
-3x = 15
x = -5
Nous avons les valeurs x = -5 et y = -3. Nous pouvons le brancher à l'équation (4) pour obtenir la valeur de z comme suit.
z = -x – y – 6
z = -(-5) – (-3) – 6
z = 5 + 3 – 6
z = 2
Ainsi, nous obtenons l'ensemble de solutions (x, y, z) = (-5, -3, 2)
- Méthode d'élimination
La méthode d'élimination est une méthode de résolution d'un système d'équations linéaires en éliminant l'une des variables dans deux équations. Cette méthode est appliquée jusqu'à ce qu'il ne reste qu'une seule variable.
La méthode d'élimination peut être utilisée pour tous les systèmes à trois variables d'équations linéaires. Mais cette méthode nécessite de longues étapes car chaque étape ne peut éliminer qu'une seule variable. Un minimum de 3 fois la méthode d'élimination est nécessaire pour déterminer l'ensemble des solutions SPLTV. Cette méthode est plus facile lorsqu'elle est combinée avec la méthode de substitution.
Les étapes de résolution à l'aide de la méthode d'élimination sont les suivantes.
- Observez les trois équations sur SPLTV. S'il y a deux équations qui ont la même valeur de coefficient sur la même variable, soustrayez ou additionnez les deux équations pour que la variable ait un coefficient de 0.
- Si aucune des variables n'a le même coefficient, multipliez les deux équations par le nombre qui rend le coefficient d'une variable identique dans les deux équations. Soustrayez ou additionnez les deux équations pour que la variable ait un coefficient de 0.
- Répétez l'étape 2 pour l'autre paire d'équations. Les variables omises à cette étape doivent être les mêmes que les variables omises à l'étape 2.
- Après avoir obtenu deux nouvelles équations à l'étape précédente, déterminez l'ensemble de solutions pour les deux équations à l'aide de la méthode de solution du système à deux variables d'équations linéaires (SPLDV).
- Substituez les valeurs des deux variables obtenues à l'étape 4 dans l'une des équations SPLTV pour obtenir la valeur de la troisième variable.
Nous essaierons d'utiliser la méthode d'élimination dans les questions suivantes. Déterminez l'ensemble des solutions SPLTV !
2x + 3y – z = 20 … (1)
3x + 2y + z = 20 … (2)
X + 4y + 2z = 15 … (3)
SPLTV peut être déterminé l'ensemble des solutions en éliminant la variable z. Tout d'abord, additionnez les équations (1) et (2) pour obtenir :
2x + 3y – z = 20
3x + 2y + z = 20 +
5x + 5a = 40
x + y = 8 … (4)
Ensuite, multipliez 2 dans l'équation (2) et multipliez 1 dans l'équation (1) pour obtenir :
3x + 2y + z = 20 |x2 6x + 4y + 2z = 40
x + 4y + 2z = 15 |x1 x + 4y + 2z = 15 –
5x = 25
x = 5
Après avoir connu la valeur de x, remplacez-la dans l'équation (4) comme suit.
x + y = 8
5 + y = 8
y = 3
Remplacez les valeurs x et y dans l'équation (2) comme suit.
3x + 2y + z = 20
3(5) + 2(3) + z = 20
15 + 6 + z = 20
z = -1
Alors que l'ensemble des solutions pour SPLTV (x, y, z) est (5, 3, -1).
Méthodes combinées ou mixtes
La résolution de systèmes d'équations linéaires à l'aide de méthodes combinées ou mixtes est une manière de résoudre en combinant deux méthodes à la fois.
La méthode en question est la méthode par élimination et la méthode par substitution.
Cette méthode peut être utilisée en utilisant d'abord la méthode de substitution ou par élimination en premier.
Et cette fois, on va essayer une méthode combinée ou mixte avec 2 techniques, à savoir :
Éliminez d'abord, puis utilisez la méthode de substitution.
Substituer d'abord, puis utiliser la méthode d'élimination.
Le processus est presque le même que pour résoudre SPLTV en utilisant la méthode d'élimination et la méthode de substitution.
Afin que vous compreniez mieux comment résoudre SPLTV en utilisant cette combinaison ou ce mélange, nous fournissons ici quelques exemples de questions et leur discussion.
Exemple de problèmes
Problème 1.
Déterminez l'ensemble de solutions SPLTV ci-dessous en utilisant la méthode de substitution :
x - 2y + z = 6
3x + y – 2z = 4
7x – 6y – z = 10
Répondre:
La première étape consiste à déterminer d'abord l'équation la plus simple.
Des trois équations, la première équation est la plus simple. À partir de la première équation, exprimez les variables x en fonction de y et z comme suit :
⇒ x – 2y + z = 6
⇒ x = 2y – z + 6
Remplacez la variable ou les variables x dans la deuxième équation
⇒ 3x + y – 2z = 4
⇒ 3(2y – z + 6) + y – 2z = 4
⇒ 6y – 3z + 18 + y – 2z = 4
⇒ 7y – 5z + 18 = 4
⇒ 7y – 5z = 4 – 18
⇒ 7y – 5z = –14 …………… Éq. (1)
Remplacez la variable x dans la troisième équation
⇒ 7x – 6y – z = 10
⇒ 7(2y – z + 6) – 6y – z = 10
⇒ 14a – 7z + 42 – 6a – z = 10
⇒ 8y – 8z + 42 = 10
⇒ 8y – 8z = 10 – 42
⇒ 8y – 8z = –32
⇒ y – z = –4 ……………… Éq. (2)
Les équations (1) et (2) forment SPLDV y et z :
7a – 5z = –14
y – z = –4
Résolvez ensuite le SPLDV ci-dessus en utilisant la méthode de substitution. Choisissez l'une des équations les plus simples. Dans ce cas, la deuxième équation est l'équation la plus simple.
De la deuxième équation, on obtient :
⇒ y – z = –4
⇒ y = z – 4
Remplacez la variable y dans la première équation
⇒ 7y – 5z = –14
⇒ 7(z – 4) – 5z = –14
⇒ 7z – 28 – 5z = –14
⇒ 2z = –14 + 28
⇒ 2z = 14
⇒ z = 14/2
⇒ z = 7
Substituez la valeur z = 7 dans l'un des SPLDV, par exemple y - z = -4, nous obtenons donc :
⇒ y – z = –4
⇒ y – 7 = –4
⇒ y = –4 + 7
⇒ y = 3
Ensuite, substituez les valeurs y = 3 et z = 7 à l'une des SPLTV, par exemple x – 2y + z = 6 on obtiendra donc :
⇒ x – 2y + z = 6
⇒ x – 2(3) + 7 = 6
⇒ x – 6 + 7 = 6
⇒ x + 1 = 6
⇒ x = 6 – 1
⇒ x = 5
Ainsi, nous obtenons x = 5, y = 3 et z = 7. Alors que l'ensemble des solutions pour le problème SPLTV est {(5, 3, 7)}.
Afin de s'assurer que les valeurs x, y et z obtenues sont correctes, nous pouvons le savoir en substituant les valeurs x, y et z dans les trois SPLTV ci-dessus. Entre autres :
Équation I :
⇒ x – 2y + z = 6
⇒ 5 – 2(3) + 7 = 6
⇒ 5 – 6 + 7 = 6
⇒ 6 = 6 (vrai)
Équation II :
⇒ 3x + y – 2z = 4
⇒ 3(5) + 3 – 2(7) = 4
⇒ 15 + 3 – 14 = 4
⇒ 4 = 4 (vrai)
Équation III :
⇒ 7x – 6y – z = 10
⇒ 7(5) – 6(3) – 7 = 10
⇒ 35 – 18 – 7 = 10
⇒ 10 = 10 (vrai)
À partir des données ci-dessus, on peut vérifier que les valeurs x, y et z que nous obtenons sont correctes et remplissent le système d'équations linéaires des trois variables en question.
Problème 2.
Soit un système d'équations linéaires :
(i) x -3y +z =8
(ii) 2x =3y-z =1
(iii) 3x -2y -2z =7
La valeur x+y+z est
A.-1
B 2
C 3
D. 4
Discussion:
À partir de l'équation (i) x – 3y + z = 8 → x = 3y – z + 8 …. (iv)
Remplacer l'équation (iv) dans l'équation (ii) :
2x + 3y – z = 1
2(3y – z + 8) + 3y – z = 1
6a – 2z + 16 + 3a – z = 1
9a – 3z + 16 = 1
3z = 9a + 15
z = 3y + 5 …. (v)
Remplacer l'équation (iv) dans l'équation (iii) :
3x – 2a – 2z = 7
3(3y – z + 8) – 2y – 2z = 7
9a – 3z + 24 – 2a – 2z = 7
7a – 5z + 24 = 7
5z = 7a + 24 – 7
5z = 7a + 17…. (v)
Remplacer l'équation (v) dans l'équation (vi) :
5z = 7a + 17
5(3a + 5) = 7a + 17
15a + 25 = 7a + 17
15a – 7a = -25 + 17
8a = -8 → y = –1 …. (vii)
Remplacez la valeur de y = – 1 dans l'équation (vi) pour obtenir la valeur z.
5z = 7a + 17
5z = 7( – 1) + 17
5z = – 7 + 17
5z = 10 → z = 2 … (viii)
Remplacez la valeur y = – 1 et z = 2 dans l'équation (i) pour obtenir la valeur x.
x - 3y + z = 8
x – 3(- 1) + 2 = 8
x + 3 + 2 = 8
x + 5 = 8
x = 8 – 5 → x = 3
Les valeurs des trois variables qui satisfont le système d'équations sont obtenues, à savoir x = 3, y = - 1 et z = 2.
Ainsi, la valeur de x + y + z = 3 + (-1) + 2 = 4.
Réponse: D
Étant donné un système d'équations linéaires
(i) = x – 3y +
Discussion:
À partir de l'équation (i) x – 3y + z = 8 → x = 3y – z + 8 …. (iv)
Remplacer l'équation (iv) dans l'équation (ii) :
2x + 3y – z = 1
2(3y – z + 8) + 3y – z = 1
6a – 2z + 16 + 3a – z = 1
9a – 3z + 16 = 1
3z = 9a + 15
z = 3y + 5 …. (v)
Remplacer l'équation (iv) dans l'équation (iii) :
3x – 2a – 2z = 7
3(3y – z + 8) – 2y – 2z = 7
9a – 3z + 24 – 2a – 2z = 7
7a – 5z + 24 = 7
5z = 7a + 24 – 7
5z = 7a + 17…. (v)
Remplacer l'équation (v) dans l'équation (vi) :
5z = 7a + 17
5(3a + 5) = 7a + 17
15a + 25 = 7a + 17
15a – 7a = -25 + 17
8y = -8 → y = – 1 …. (vii)
Remplacez la valeur de y = – 1 dans l'équation (vi) pour obtenir la valeur z.
5z = 7a + 17
5z = 7( – 1) + 17
5z = – 7 + 17
5z = 10 → z = 2 … (viii)
Remplacez la valeur y = – 1 et z = 2 dans l'équation (i) pour obtenir la valeur x.
x - 3y + z = 8
x – 3(- 1) + 2 = 8
x + 3 + 2 = 8
x + 5 = 8
x = 8 – 5 → x = 3
Les valeurs des trois variables qui satisfont le système d'équations sont obtenues, à savoir x = 3, y = - 1 et z = 2.
Ainsi, la valeur de x + y + z = 3 + (-1) + 2 = 4.
Réponse: D
Problème 3.
Déterminez l'ensemble de solutions du système à trois variables d'équations linéaires ci-dessous en utilisant la méthode combinée.
x + 3y + 2z = 16
2x + 4y – 2z = 12
x + y + 4z = 20
Répondre:
Méthode de substitution (SPLTV)
La première étape détermine l'équation la plus simple. À partir des trois équations ci-dessus, nous pouvons voir que la troisième équation est l'équation la plus simple.
À partir de la troisième équation, exprimez la variable z en fonction de y et z comme suit :
⇒ x + y + 4z = 20
⇒ x = 20 – y – 4z ………… Éq. (1)
Ensuite, substituez l'équation (1) ci-dessus dans le premier SPLTV.
⇒ x + 3y + 2z = 16
⇒ (20 – y – 4z) + 3y + 2z = 16
⇒ 2y – 2z + 20 = 16
⇒ 2y – 2z = 16 – 20
⇒ 2y – 2z = –4
⇒ y – z = –2 …………. Pers. (2)
Ensuite, substituez l'équation (1) ci-dessus dans le deuxième SPLTV.
⇒ 2x + 4y – 2z = 12
⇒ 2(20 – y – 4z) + 4y – 2z = 12
⇒ 40 – 2a – 8z + 4a – 2z = 12
⇒ 2a – 10z + 40 = 12
⇒ 2a – 10z = 12 – 40
⇒ 2y – 10z = –28 ………… Éq. (3)
À partir de l'équation (2) et de l'équation (3), nous obtenons les SPLDV y et z comme suit :
y – z = –2
2a – 10z = –28
Méthode d'élimination (SPLDV)
Pour éliminer ou éliminer y, multipliez alors le premier SPLDV par 2 pour que les coefficients y des deux équations soient les mêmes.
Ensuite, nous différencions les deux équations afin d'obtenir des valeurs z comme suit :
y – z = -2 |×2| → 2a – 2z = -4
2y – 10z = -28 |×1| → 2a – 10z = -28
__________ –
8z = 24
z = 3
Pour éliminer z, multipliez le premier SPLDV par 10 afin que les coefficients z dans les deux équations soient les mêmes.
Ensuite, nous soustrayons les deux équations pour obtenir la valeur y comme suit :
y – z = -2 |×10| → 10a – 10z = -20
2y – 10z = -28 |×1| → 2a – 10z = -28
__________ –
8a = 8
z = 1
Jusqu'à ce point, nous obtenons les valeurs y = 1 et z = 3.
La dernière étape consiste à déterminer la valeur de x. La façon de déterminer la valeur x est d'entrer les valeurs y et z dans l'un des SPLTV. Par exemple x + 3y + 2z = 16 on aura donc :
⇒ x + 3y + 2z = 16
⇒ x + 3(1) + 2(3) = 16
⇒ x + 3 + 6 = 16
⇒ x + 9 = 16
⇒ x = 16 – 9
⇒x = 7
De cette façon, nous obtenons les valeurs x = 7, y = 1 et z = 3 de sorte que l'ensemble des solutions SPLTV pour le problème ci-dessus est {(7, 1, 3)}.
Ainsi l'examen de À propos du knowledge.co.id à proposSystème de trois équations linéaires variables, j'espère pouvoir ajouter à votre perspicacité et à vos connaissances. Merci de votre visite et n'oubliez pas de lire d'autres articles
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