Logaritmit: Ominaisuudet, logaritmiset yhtälöt, olosuhteet, mäet, ongelmat

Logaritmi on matemaattinen operaatio, jossa tämä toiminta on eksponentin tai tehon käänteisen (tai käänteisen) toimintaa. Tämän logaritmisen kaavan perusta tai pääoma on yleensä a-kirjaimen muodossa.

Tai mainitaan myös, jos tämä logaritmi on käänteinen vai käänteinen käytetyssä tehossa (eksponentissa) määritä perusluvun eksponentti.

Englanniksi logaritmia kutsutaan logaritmi.

Joten pohjimmiltaan tutkimalla logaritmeja voimme löytää luvun voiman tunnetulla eksponentilla.

Logaritmi

Kun tiedät mikä logaritmi on, sinun on myös tiedettävä tämän logaritmin yleinen muoto.

Tässä on logaritmin yleinen muoto:

Logaritmin yleinen muoto:

Josⁿ = x sitten ^alogx = n

Tiedot:

a: on perusta, jolla on seuraavat ehdot: a> 0 ja a 1.

x: on luku, jota algoritmi etsii (numero), ehdot ovat: x> 1

n: on logaritmin voima.

Nyt on aika tarkastella alla olevia esimerkkikysymyksiä, jotta ymmärrät paremmin yllä olevaa kuvausta:

1. Kun 3² = 9, sitten se muuttuu logaritmisessa muodossa ³log 9 = 2
2. Kun 2³ = 8, sitten se muuttuu logaritmisessa muodossa ²log 8 = 3
3. Kun 5³ = 125, sitten se muuttuu logaritmisessa muodossa ⁵log 125 = 3

Mitä kuuluu? Nyt olen alkanut ymmärtää oikein?

Hyvin, yleensä tässä, koet silti usein sekaannusta määritellessäsi, mikä luku on perusta ja mikä luku on numero.

Logaritmi on matemaattinen operaatio, jossa eksponentin tai voiman käänteinen arvo on.

Logaritmin peruskaava: b^c = a kirjoitetaan ^blog a = c (b: tä kutsutaan peruslogaritmiksi).

Eikö olekin?

Rauhoitu kaverit, avain sinun täytyy vain muistaa, jos perusnumero se on pohja, sijaitsee yläosassa ennen log-merkkiä. Ja määräsijoitus tulos sitä kutsutaan nimellä numerus, sijaitsee alareunassa sanan "loki" jälkeen. Helppo oikein?

Logaritmiset yhtälöt

Logaritminen yhtälöa on yhtälö, jossa muuttuja on logaritmin perusta.

Tämä logaritmi voidaan määritellä myös matemaattiseksi operaatioksi, joka on eksponentin tai tehon käänteinen (tai käänteinen) muoto.

Esimerkki Määrä 

Tässä annamme joitain esimerkkejä logaritmisista numeroista, mukaan lukien seuraavat:

Seuraavaksi logaritmeilla on myös joitain ominaisuuksia Edellytetään jotta ymmärrät, tässä. Miksi pakollinen?

Tämä johtuu siitä, että näistä ominaisuuksista tulee myöhemmin tarjontaasi logaritmisten ongelmien käsittelyssä helposti.

Et ymmärrä logaritmien ominaisuuksia, et voi työskennellä logaritmiongelmien kanssa, tiedät kyllä!

Sitten mitä tahansa helvetti Mitkä ovat logaritmin ominaisuudet? Älä viitsi, ota huomioon alla olevat arvostelut.

Logaritmiset ominaisuudet

Seuraavassa on joitain sinun ymmärrettäviä logaritmien ominaisuuksia, mukaan lukien:

Joidenkin yllä olevien ominaisuuksien lisäksi on myös joitain logaritmisten yhtälöiden ominaisuuksia, mukaan lukien:

Logaritmisten yhtälöiden ominaisuudet

Logaritmisella yhtälöllä on myös joitain erityisominaisuuksia, nämä ominaisuudet ovat seuraavat:

1. Kertomisen logaritmiset ominaisuudet 

Kertomisen logaritminen ominaisuus on seurausta kahden muun logaritmin lisäämisestä, joissa kahden numeron arvo on alkuperäisen numeerisen arvon tekijä.

^alokit s. q = ^alog p + ^aloki q

Tällä yhdellä piirteellä on useita ehtoja, nimittäin: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

2. Logaritminen kertolasku

Logaritmien kertolasku on logaritmin a ominaisuus, joka voidaan kertoa logaritmilla b, jos logaritmin a numeerinen arvo on yhtä suuri kuin logaritmin b perusnumero.

Kertomisen tulos on uusi logaritmi, jonka perusnumero on yhtä suuri kuin logaritmi a. Ja sillä on sama numeerinen arvo kuin logaritmilla b.

^alog b x ^blogc = ^aloki c

Tällä yhdellä piirteellä on useita ehtoja, nimittäin: a> 0, a \ ne 1.

3. Jaon luonne 

Jakamisen logaritminen ominaisuus on seurausta kahden muun logaritmin vähentämisestä, joissa kahden numeron arvo on murto tai jako alkuperäisestä logaritmin numeerisesta arvosta.

^aloki p / q: ^aloki p - ^aloki q

Tällä yhdellä piirteellä on useita ehtoja, nimittäin: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

4. Käänteisesti vertailukelpoiset piirteet

Käänteissuhteellinen logaritmiominaisuus on ominaisuus muiden logaritmien kanssa, joilla on perusnumero ja numero vaihdettavissa.

^alogb = 1 /^bloki a

Tällä yhdellä piirteellä on useita ehtoja, nimittäin: a> 0, a \ ne 1.

5. Vastakkaismerkki 

Vastakkaisen merkin logaritminen ominaisuus on ominaisuus, jolla on logaritmi, jonka numero on käänteinen murto alkuperäisestä logaritmin numeerisesta arvosta.

^alog p / q = - ^alog p / q

Tällä yhdellä piirteellä on useita ehtoja, nimittäin: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

6. Valtojen luonne 

Tehojen logaritminen ominaisuus on ominaisuus, jonka lukuarvo on eksponentti. Ja sitä voidaan käyttää uutena logaritmina antamalla teho kertojalle.

^aloki b^s = s. ^aloki b

Tällä yhdellä piirteellä on useita ehtoja, nimittäin: a> 0, a \ ne 1, b> 0

7. Logaritmisten päänumeroiden voima 

Perusnumeron logaritmisen tehon voima on ominaisuus, jossa perusnumeron arvo on a eksponentti (teho), jota voidaan käyttää uutena logaritmina poistamalla numeron teho jakaja.

a^slogb = 1 / p^aloki b

Tällä yhdellä piirteellä on useita ehtoja, nimittäin: a> 0, a \ ne 1.

8. Logaritmiset päänumerot, jotka ovat verrattavissa numeerisiin voimiin 

Perusnumeron ominaisuus, joka on verrannollinen numeron tehoon, on ominaisuus, jonka numeerinen arvo on a perusluvun arvon eksponentti (teho), jolla on sama tulosarvo kuin numeron tehon arvolla että.

^aloki a^s = s

Tällä yhdellä piirteellä on useita ehtoja, nimittäin: a> 0 ja a \ ne 1.

9. Sijoitus 

Logaritmien voima on yksi niiden numeroiden ominaisuuksista, joiden voimat ovat logaritmien muodossa. Tehoarvon tulos on arvo, jossa numero tulee logaritmista.

a ^alog m = m

Tällä yhdellä piirteellä on useita ehtoja, nimittäin: a> 0, a \ ne 1, m> 0.

10. Logaritmisen perustan vaihtaminen 

Tämän logaritmin perustan muuttamisen luonne voidaan jakaa myös kahden logaritmin vertailuun.

^slog q = ^aloki p /^a loki q

Tällä yhdellä piirteellä on useita ehtoja, nimittäin: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0

Logaritminen yhtälökaava

Edellä olevan kuvauksen perusteella logaritmi on matemaattinen operaatio, joka on käänteinen eksponentille tai voimalle.

Esimerkki lianin välisen eksponentiaalimuodon logaritmista: a^b = c, jos se ilmaistaan ​​logaritmisessa merkinnässä, se on ^alogc = b.

Lausunto on seuraava:

• a on perus- tai perusnumero.
• b on logaritmien tulos tai alue.
• c on logaritmin numero tai toimialue.

Muistiinpanoja:

Sinun on ymmärrettävä, ennen kuin keskustelemme tarkemmin logaritmin kaavasta, jos kirjoitetaan ^alog b tarkoittaa samaa kuin loki_a b.

Logaritmisen yhtälön kaava on muun muassa:

Logaritminen yhtälökaava:

Jos meillä on ^alogf (x) = ^alog g (x), sitten f (x) = g (x).
Joillakin ehdoilla, kuten: a> 0, a 1, f (x)> 0, g (x)> 0.

Logaritmiset eriarvoisuudet:

Jos meillä on log f (x)> ^alog g (x), niin meillä on kaksi tilaa:

Ensinnäkin, kun a> 0 tarkoittaa: f (x)> g (x)
Toiseksi ajankohtana 0

Esimerkkikysymykset ja keskustelu

Seuraavassa annamme joitain esimerkkejä kysymyksistä sekä niiden keskustelun. Kuuntele tarkkaan, kyllä.

Esimerkkikysymykset 1-3

1. ²lokit 4 + ²log 8 =

2. ²log 32 =

3. Kun se tiedetään ²log 8 = m ja ²log 7 = n, etsi sitten arvon ¹⁶lokit 14!

Vastaus:

Tehtävä 1.

Ensimmäinen vaihe, joka meidän on tehtävä, on tarkistaa basso.

Edellä olevalla logaritmin kahdella yhtälöllä on ilmeisesti sama perusarvo, joka on 2.

Siksi voimme käyttää logaritmin toista ominaisuutta tuloksen löytämiseen.

jotta, ²lokit 4 + ²log 8 = ²log (4 × 8) = ²lokit 32 = 5. Muistaa! Logaritmin tarkoituksena on löytää voima.

Joten, mitä 2 32: n voimaan? Vastaus on kukaan muu kuin 5. Eikö ole helppoa?

Kysymys 2.

Siirrytään kysymykseen numero 2.

Kysymyksessä numero 2 emme voi tehdä sitä heti, koska koet varmasti sekaannusta löytääksesi arvon 8 arvon, joka johtaa 32: een. Kuinka sitten?

Jos tarkastelemme ongelmaa tarkemmin, 8 on 2: n voiman tulos³ ja myös 32, joka on seurausta 2: n voimasta⁵.

Siksi voimme muuttaa logaritmisen muodon seuraavasti:

⁸log 32 = ²³loki 2

= 5/3 ²loki 2 (käytä kiinteistön numeroa 6)

= 5/3(1) = 5/3

Tehtävä 3.

Kuinka voitte kaverit? Oletko jo alkanut innostua?

Hyvin, kysymyksen numero 3 keskustelussa tämä saa sinut vieläkin innostuneemmaksi!

Sinun on tiedettävä, että kysymyksen numero 3 malli löytyy usein kansallisista koekysymyksistä tai yliopiston valintakysymyksistä tiedät kyllä.

Ensi silmäyksellä se näyttää melko monimutkaiselta, kyllä, mutta jos ymmärrät jo käsitteen, tämä ongelma on erittäin helppo tehdä.

Jos löydät tällaisen ongelmamallin, voit löytää sen arvon käyttämällä numeron 4 logaritmista ominaisuutta.

Joten prosessi on:

²log 8 = m ja ²log 7 = n, ¹⁶lokit 14?

¹⁶log 14 = ²loki 14 / ²loki 16

merkintä:

Valitaksemme perustan voimme tarkastella suoraan numeroa, joka esiintyy useimmiten ongelmassa. Joten tiedämme, että numero 2 esiintyy 2 kertaa, 8 yhtä paljon ja 7 yhtä paljon.

Eniten esiintyvä numero ei ole kukaan muu kuin 2, joten valitsemme perustaksi 2. Sain sen?

= ²lokit (7 x 2) / ²lokit (8 x 2)

Sitten me kuvaile numeroa.

Yritetään muuttaa se jo tehtävässä olevaan muotoon. Mitä tarkoitat?

tässä kaverit, tunnetusta kysymyksestä ²loki 8 ja myös ²lokit 7. Koska luvut ovat sekä 8 että 7, hajotamme 14 7 × 2: ksi ja 16 8 × 2: ksi, jotta voimme nähdä lopputuloksen.

= ²loki 7 + ²loki 2 / ²log 8 + ²loki 2 (käytä ominaisuuden numeroa 2)

= n + 1 / m + 1

Toinen esimerkkikysymys.

Tehtävä 1. (EBTANAS '98)

Tunnetaan ³log 5 = x ja ³log 7 = y. Laske arvo ³lokit 245 ^1/2! (EBTANAS '98)

Vastaus:

³lokit 245 ^½ = ³lokit (5 x 49) ^½

³lokit 245 ^½ = ³lokit ((5) ^½ x (49) ^½)

³lokit 245 ^½ = ³tukit (5) ^½ + ³lokit (7²) ^½

³lokit 245 ^½ = ½( ³log 5 + ³lokit 7)

³lokit 245 ^½ = (x + y)

Joten arvo ³lokit 245 ^½ eli (x + y).

Kysymys 2. (UMPTN '97)

Jos b = a⁴, arvot a ja b ovat positiivisia, sitten arvo ^aloki b - ^bkirjaa ie eli?

Vastaus:

Tiedetään, onko b = a⁴, niin voimme korvata sen laskennassa seuraavasti:

^aloki b - ^bloga = ^aloki a⁴ - a⁴ loki a

^aloki b - ^bloga = 4 (^aloga) - 1/4 ( ^alokit a)

^aloki b - ^bloga = 4 - 1/4

^aloki b - ^bloga = 3^3/4

Joten arvo ^aloki b - ^bkirjaa kysymys numero 2 on 3^3/4.

Tehtävä 3. (UMPTN '97)

Jos ^alokit (1- ³log 1/27) = 2, laske sitten a: n arvo.

Vastaus:

Jos teemme arvosta 2 logaritmin, jossa logaritmin perusnumero on, tulee ^aloki a²= 2, niin saamme:

^alokit (1- ³log 1/27) = 2

^alokit (1- ³tukit 1/27) = ^aloki a²

Kahden logaritmin numeerinen arvo voi olla yhtälö, nimittäin:

1- ³log 1/27 = a²

³lokit 3 - ³log 1/27 = a²

³lokit 3 - ³loki 3^(-3) = a²

³lokit 3/3^-3 = a²

³loki 3⁴ = a²

4 = a²

Joten saamme arvon a = 2.

Tehtävä 4.

Jos tiedetään, että 2log 8 = a ja 2log 4 = b. Laske sitten 6log 14 arvo

a. 1 /2
b. (1+2) / (2+1)
c. (a + 1) / (b + 2)
d. (1 + a) / (1 + b)

Vastaus:

2 log 8 = a

= (log 8 / log 2) = a
= loki 8 = loki 2

2 log 4 = b

= (log 4 / log 2) = b
= log 4 = b log 2

Joten 16 lokia 8 = (log 16) / (log68)
= (log 2.8) / (log 2.4)
= (log 2 + log 8) / (log 2 + log 4)
= (log 2 + a log a) / (log 2 + b loki b)
= log2 (1+ a) / log 2 (1+ b)
= (1 + a) / (1 + b)

Joten 6 log 14: n arvo yllä olevassa esimerkin tehtävässä on (1 + a) / (1 + b). (D)

Kysymys 5.

(3log 5-3 log 15 + 3log 9) arvo on?

a. 2
b. 1
c. 4
d. 5

Vastaus:

(3log 5-3log 15 + 3log 9
= 3 lokia (5. 9) / 15
= 3log 45/15
= 3log 3
=1

Joten 3log 5 - 3log 15 + 3log 9: n arvo on 1. (B)

Kysymys 6.

Laske arvo alla olevasta logaritmiongelmasta:

1. (2log 4) + (2log 8)
2. (2log 2√2) + (2log 4√2)

Vastaus:

1. (2log 4 + 2log 8) = (2log 4) x 8 = 2log 3 asteikolla 2 = 5

2. (2log 2√2 + 2log 4√2) = (2log 2√2) x (4√2) = 2log 16 = 4

Joten jokaisen yllä olevan logaritmiongelman arvo on 5 ja 4.

Kysymys 7.

Laske arvo alla olevasta logaritmiongelmasta:

1. 2log 5 x 5log 64
2. 2 lokia 25 x 5 lokia 3 x 3 lokia 32

Vastaus:

1. (2log 5) x (5log 64) = 2log 64 = 2log 26 = 6

2. (2log 25) x (5log 3) x (3log 32) = (2log 52) x (5log 3) x (3log 25)
= 2. (2log 5) x (5log 3) x 5. (3lokia 2)
= 2 x 5 x (2 log 5) x (5 log 3) x (3 log 2)
= 10 x (2 log 2) = 10 x 1 = 10

Joten yllä olevan kysymyksen arvo on 6 ja 10.

Kysymys 8.

Laske log 25 + log 5 + log 80 arvo on ...

Vastaus:

loki 25 + loki 5 + log 80
= loki (25 x 5 x 80)
= lokit 10000
= loki 104
= 4

Tehtävä 9.

Tiedetään, että log 3 = 0,332 ja log 2 = 0,225. Tällöin kysymyksen loki 18 on….

a. 0,889
b. 0,556
c. 0,677
d. 0,876

Vastaus:

Tunnettu:

• Loki 3 = 0,332
• Loki 2 = 0,225

Kysyi:

• log 18 =….?

Vastaus:

Lokit 18 = lokit 9. loki 2
Loki 18 = (loki 3. loki 3). loki 2
Lokit 18 = 2. (0,332) + (0,225)
Loki 18 = 0,664 + 0,225
Loki 18 = 0,889

Joten log 18: n arvo yllä olevassa kysymyksessä on 0,889. (A)

Kysymys 10.

Muunna seuraavat eksponentit logaritmiseen muotoon:

1.  24 = 16
2.  58 = 675
3.  27 = 48

Vastaus:

* Muunna eksponentit logaritmisessa muodossa seuraavasti:

Jos arvo ba = c, niin blogin arvo c = a.

1.  24 = 16 → 2 log 16 = 4
2.  58 = 675 → 5 log 675 = 8
3.  27 = 48 → 2 log 48 = 7

Näin ollen tällä kertaa lyhyt katsaus, jonka voimme välittää. Toivottavasti yllä olevaa katsausta voidaan käyttää oppimateriaalina.