Matemaattisten toimintojen rajat: trigonometria, ääretön, esimerkkiongelmat

Matematiikan raja on matematiikan alan käsite, jota käytetään yleisesti kuvaamaan funktion ominaisuutta.

Kun argumentti lähestyy pistettä äärettömässä tai sekvenssin luonnetta, kun indeksi lähestyy ääretöntä.

Rajaa käytetään yleisesti laskennassa ja muissa matemaattisen analyysin haaroissa, joita käytetään johdannaisten ja laajennusten löytämiseen.

Matematiikassa raja-arvoja aletaan yleensä tutkia, kun lasketaan johdanto.

Funktion rajat

Jos f(x) on todellinen tehtävä ja c on reaaliluku, niin kaava on:

Sitten yhtä suuri kuin f(x) voimme tehdä niin, että sillä on arvo mahdollisimman lähellä arvoa L luomalla arvoa x lähellä c.

Yllä olevassa esimerkissä f(x) jos x lähestyy c, tuo on L. Meidän on kuitenkin muistettava, jos edellinen lause pätee f(c) ≠ L. Itse asiassa toiminto f(x) ei tarvitse määritellä uudelleen pisteessä c.

Tässä on toinen esimerkki, joka kuvaa ominaisuutta.

Esimerkiksi:

Kun x lähellä arvoa 2. Tässä esimerkissä f(x) on määritelty selkeästi kohdassa 2 ja arvo on sama kuin raja, joka on 0,4:

Jos x mitä lähempänä 2, arvo f(x) on lähellä 0,4, joten

Missä tapauksessa f kutsutaan jatkuvaksi klo x = c. Tässä tapauksessa näin ei kuitenkaan aina ole.

Esimerkiksi:

Raja g(x) Ajallaan x lähempänä 2, joka on 0,4 (sama kuin f(x), mutta : g epäjatkuva kohdassa x = 2.

Tai voidaan ottaa esimerkki missä f(x) ei ole määritelty kohdassa x = c:

Tässä esimerkissä kerrallaan x lähellä 1, f(x) ei ole määritelty kohdassa x = 1 mutta raja pysyy samana kuin 2, koska sitä enemmän x sitten lähellä 1 f(x) on lähestymässä 2: ta:

Joten voimme päätellä, että:

Sitten x voidaan tehdä mahdollisimman lähelle 1, kunhan se ei ole aivan sama kuin 1, siis rajaf (x)} f (x) on 2.

Rajan virallinen määritelmä

Muodollinen määritelmä Raja määritelty jos f on funktio, joka on määritelty avoimella aikavälillä, joka sisältää pisteen  (lukuun ottamatta mahdollista kohtaa ) yhtä hyvin kuin L on reaaliluku. Jotta;

Se tarkoittaa, että jokaiselle saamme> 0, joka on kaikille x missä 0 x - c | , niin se tulee voimaan | f (x) - L | <

Toiminnon raja äärettömässä

Rajan käsite milloin x lähestyy ääretöntä, sekä positiivinen että negatiivinen on käsite, joka liittyy rajaan milloin x lähellä numeroa.

Tämä ei tarkoita eroa x äärettömyydestä tulee pieni, koska ääretön ei ole luku.

Pikemminkin se tarkoittaa sitä x olla hyvin suuri äärettömään tai hyvin pieni negatiiviseen ääretön.

Harkitse esimerkiksi seuraavaa toimintoa:

1. f(100) = 1.9802
2. f(1000) = 1.9980
3. f(10000) = 1.9998

Eli enemmän x kasvaa, sitten arvo f(x) on lähellä arvoa 2. Yllä olevassa esimerkissä voimme sanoa, että:

Linjaraja

Harkitse seuraavia jaksoja: 1,79, 1,799, 1,7999 ...

Voimme nähdä, ovatko edellä olevat hissit lähestymässä lukua 1.8, joka on linjan raja.

Esimerkiksi muodollisesti x₁, x₂,… On reaalilukujen sarja. Sanomme reaalilukuja (L) kuten raja tämän rivin ja kirjoita se seuraavasti:

mikä tarkoittaa: Jokaiselle reaaliluvulle> 0 on luonnollinen luku n joten kaikesta: n > n, |x_n − L| < ε.

Tekijä Intuitiivinen mikä tarkoittaa, että jos loppujen lopuksi kaikki jakson elementit lähestyvät haluamallamme rajalla, koska absoluuttinen arvo |x_n − L| on välinen etäisyys x ja myös L.

Kaikilla sekvensseillä ei ole rajoja. Jos jotain, kutsumme sitä lähentyvä. Ja jos ei, sitä kutsutaan erilainen.

Konvergenttisekvenssi voidaan osoittaa, että sillä on vain yksi raja.

Sekvenssirajat ja toimintarajat liittyvät läheisesti toisiinsa. Toisaalta sekvenssin raja on yksinkertaisesti raja-arvo rajattomalle funktiolle, joka on määritelty suhteessa luonnollisiin lukuihin.

Mutta toisaalta funktion raja f päällä x, jos sellainen on, on yhtä suuri kuin sekvenssin raja x_n = f(x + 1/n).

Algebrallisten toimintojen rajat

Algebrallisen funktion raja on yksi laskennan ja analyysin peruskäsitteistä, joka koskee tiettyä tulopistettä lähestyvän funktion käyttäytymistä.

Funktion kartoituslähtö f (x) jokaiselle tulolle x. Tällä toiminnolla on raja L tulopisteessä s kun f (x) “Lähellä” L: tä milloin x lähellä s.

Joten toisin sanoen, f (x) lähestyy L Kun x lähestyy myös kohti s.

Lisäksi jos f käytetään jokaiseen tuloon tarpeeksi lähellä s, tulos on tulos, joka on (mielivaltaisesti) lähellä L.

Tiedätkö?
Vaikka se on implisiittinen laskennan kehitykseen 1600- ja 1700-luvuilla, moderni käsite rajasta Uudesta toiminnasta keskusteli Bolzano vuonna 1817, joka esitteli epsilon-delta-tekniikan perusteet. Mutta hänen töitään ei tunneta hänen elinaikanaan. –sc: wikipedia

Jos tulo on kiinni päällä s osoittautuu kartoitetuksi hyvin erilaisiin lähtöihin kuin toimintoon f sanotaan olevan rajaton.

Rajan määritelmä on muotoiltu virallisesti 1800-luvulta lähtien.

Algebrallisten toimintojen rajojen käsite

Raja voidaan määritellä menemällä rajaan, mikä on lähellä, mutta jota ei voida saavuttaa.

Matemaattisella kielellä tähän tilaan voidaan viitata raja.

Raja on matemaattinen käsite, jossa jonkin sanotaan olevan "lähellä" tai "lähellä" tietyn luvun arvoa. Rajat voivat olla funktion muodossa, jonka koodialue on "melkein" tai "lähellä" tietyn luonnollisen luvun arvoa.

Miksi rajaa pitäisi olla? Koska raja ilmaisee funktion, kun tietty raja saavutetaan.

Miksi sinun pitäisi lähestyä sitä? Koska funktiota ei yleensä määritellä tietyissä pisteissä.

Vaikka toimintoa ei usein määritetä tietyssä vaiheessa, se voidaan silti selvittää mitä arvoa funktio lähestyy, jos tiettyyn pisteeseen lähestytään, nimittäin raja.

Matemaattisella kielellä rajoitukset kirjoitetaan seuraavasti:

Toisin sanoen, jos x lähestyy a: ta, mutta x ei ole yhtä suuri kuin a, f (x) lähestyy L. Voimme nähdä x: n lähestymisen a: lle kahdelta puolelta, nimittäin vasemmalta puolelta ja myös oikealta puolelta tai sanalla muuten x voi lähestyä vasemmalta ja oikealta suunnalta niin, että se tuottaa vasemman rajan ja rajan oikein.

Joten yllä olevasta kuvauksesta saat seuraavan kaavan esimerkin:

Kun x-arvo on lähellä 1:

Tässä on graafinen kuva:

Yllä olevaa kuvaa tarkasteltaessa se voidaan jakaa:

• Jos x lähestyy 1 vasemmalta, niin f (x) arvo lähestyy 2
  
• Jos x lähestyy 1 oikealta, niin f (x) arvo lähestyy 2
  
• Joten, jos x lähestyy 1, niin f (x) arvo lähestyy 2
  

Lause tai lausunto

Funktion sanotaan olevan raja, jos vasemmalla ja oikealla rajalla on sama arvo. Joten jos vasen ja oikea raja eivät ole samat, raja-arvoa ei ole.

Määritelmä ja rajalause. Kuten edellä on kuvattu, raja yhteisellä kielellä tarkoittaa rajaa.

Kun opiskelemme matematiikkaa, jotkut opettajat sanovat, että raja on lähestymistapa.

Tämän raja-arvon mukaan funktio f (x) lähestyy tiettyä arvoa, jos x lähestyy tiettyä arvoa.

Tämä likiarvo on rajoitettu kahden hyvin pienen positiivisen luvun välillä epsilon ja delta.

Näiden kahden pienen positiivisen luvun suhde tiivistetään rajan määritelmässä.

Algebrallisten toimintojen rajojen ominaisuudet

Jos n on positiivinen kokonaisluku, k vakio, f ja g on funktio, jolla on raja c, jotkut seuraavista ominaisuuksista ovat voimassa.

Eräisten algebrallisten rajaratkaisumenetelmien tyypit

On olemassa useita menetelmiä tai tapoja ratkaista algebrallisia rajoja, mukaan lukien:

• Korvausmenetelmä
• Faktorointimenetelmä
• Menetelmä jakamiseksi nimittäjän korkeimmalla eksponentilla
• Menetelmä kerrotaan yhteisellä tekijällä

Tässä kerrotaan menetelmät yksitellen. Kuuntele tarkkaan, kyllä.

Algebrallisen funktion raja-arvon määrittäminen

Algebrallisen funktion rajan määrittämiseksi on 2 tyyppiä, mukaan lukien:

Ensimmäinen muoto:

Ja toinen muoto on:

1. Korvausmenetelmä

Korvausmenetelmä korvaa vain tietyn arvon lähellä olevat muuttujat niiden algebrallisilla toiminnoilla.

Esimerkiksi:

Joten algebrallisen raja-funktion arvo on:

2. Faktorointimenetelmä

Faktointimenetelmää käytetään, jos raja-arvon tuottavaa menetelmää tai korvausmenetelmää ei voida määritellä.

Esimerkiksi:

Kerroinmenetelmää käytetään määrittämällä yhteinen kerroin osoittajan ja nimittäjän välillä.

Toisen raja-muodon suhteen on olemassa useita menetelmiä funktion raja-arvon määrittämiseksi algebra on menetelmä tai menetelmä jakamiseksi nimittäjän suurimmalla teholla ja menetelmä kertoimella kerroin ystävät.

3. Menetelmä nimittäjän korkeimman voiman jakamiseksi

Esimerkiksi:

Määritä alla olevan rajan algebrallisen funktion raja-arvo:

Osoittimen ja nimittäjän teho tehtävässä on 2, joten

jotta, Algebrallisen funktion raja-arvo on

Esimerkkikysymys 2.

Määritä alla olevan rajan algebrallisen funktion raja-arvo:

Osoittimen ja nimittäjän teho tehtävässä on 3, joten

Joten algebrallisen funktion rajan arvo on:

4. Menetelmä kertomiseen yhdistettyjen tekijöiden kanssa

Tätä menetelmää käytetään, jos korvausmenetelmä tuottaa välittömästi irrationaalisen raja-arvon.

Funktio kerrotaan sen yhteisellä juurella, jotta rajamuoto ei ole irrationaalinen, jotta arvojen suora korvaaminen voidaan tehdä uudelleen. x → c .

Esimerkiksi:

Rajattomien algebrallisten toimintojen rajat

Kun käytetään algebrallisia funktioita, joskus on myös x: n arvo, joka lähestyy ääretöntä (∞).

Siksi, jos funktio korvataan, se tuottaa epävarman arvon.

Rajaa käytettäessä on kiinnitettävä huomiota useisiin lakeihin tai rajalausekkeisiin. Jos n on kokonaisluku, k on vakio, funktio f ja funktio g ovat funktioita, joiden raja-arvo on lähellä lukua c, niin:

Ja on olemassa kaksi tapaa ratkaista äärettömän algebran funktion raja, mukaan lukien:

1. Jaa korkeimmalla arvolla

Tätä menetelmää käytetään lomakkeen rajatoiminnossa .

Tämä menetelmä voidaan tehdä jakamalla osoittaja f (x) ja nimittäjä g (x) muuttujalla xⁿ suurin funktioiden f (x) ja g (x) sisältämä teho. Ja sitten vasta sitten voimme korvata sen x → ∞.

Esimerkiksi:

2. Kerrotaan yhdistelmämuodot

Tätä menetelmää käytetään lomakkeen rajatoimintoon . Tämä menetelmä tai menetelmä voidaan ratkaista kertomalla yhdistemuoto, nimittäin:

Jatka sitten jakamista ensimmäisellä menetelmällä, nimittäin jakamalla korkeimmalla voimalla.

Esimerkiksi:

Jaa seuraavaksi osoittaja ja nimittäjä x: n suurimpaan tehoon, joka on x¹:

Trigonometristen toimintojen rajat

Rajoja voidaan käyttää myös trigonometrisissä toiminnoissa. Ratkaisu on sama kuin algebrallinen rajatoiminto. Seuraavan selityksen ymmärtämiseksi sinun on kuitenkin ensin ymmärrettävä trigonometrian käsite.

Ratkaisua tämän funktion rajaan trigonometriassa voidaan käyttää tekemällä joitain muutoksia sini-, kosini- ja tangentin muotoon.

Trigonometristen toimintojen rajalla on kolme yleistä muotoa, mukaan lukien:

1. Lomake

Tässä muodossa trigonometrisen funktion f (x) raja johtuu c: n arvon korvaamisesta trigonometrian avulla x: ksi.

Esimerkiksi:

Jos c = 0, trigonometrian rajojen kaava on seuraava:

2. Lomake

Tässä muodossa raja saadaan kahden eri trigonometrian suhteesta.

Jos nämä kaksi trigonometriaa korvataan suoraan c: n arvolla, se tuottaa f (c) = 0 ja g (c) = 0.

Joten trigonometrisen rajan arvosta tulee määrittelemätön luku . Ratkaisu on sama kuin raja-algebrallisen funktion, nimittäin factoring.

Esimerkkejä tästä lomakkeesta ovat:

3. Lomake

Tässä muodossa raja saadaan trigonometristen ja algebrallisten toimintojen vertailusta.

Jos se korvataan suoraan, se tuottaa määrittelemättömän luvun. Tässä muodossa se tehdään johdannaisten käsitteellä. Tämän rajan peruskaava on:

Yllä olevan peruskaavan perusteella, jos sitä kehitetään edelleen, siitä tulee seuraava kaava:

Esimerkki ongelmista ja keskustelu

Kuinka toimia määrittelemättömillä toimintorajoilla Sienet

On aikoja, jolloin x: n korvaaminen a: lla lim f (x) x → a: ssa tekee f (x): stä määrittelemättömän arvon tai f (a) tuottaa muodon 0/0, / ∞ tai 0.∞.

Jos näin on, ratkaisu on muodossa f (x). Yritä yksinkertaistaa, jotta raja-arvo voidaan määrittää.

Lomakeraja 0/0

Lomake 0/0 voi esiintyä:

Kun kohtaamme tällaisen muodon, yritä säätää toimintoa, kunnes löydämme osan, jonka voimme ylittää.

Jos se on neliöllisen yhtälön muodossa, voimme kokeilla factoringia tai yhdistämisen avulla, ja älä unohda, että on sääntö a²-b² = (a + b) (a-b).

Tässä annamme esimerkin:

/ ∞. Lomake

Rajamuoto / ∞ tapahtuu polynomifunktiolla seuraavasti:

Esimerkki ongelmista:

Yritä määrittää alla oleva raja-arvo:

Vastaus:

Tässä on lyhyt yhteenveto muodon / ∞ matemaattisesta rajakaavasta

• Kun m
• Jos m = n, niin L = a / p
• Jos m> n, niin L =

Rajoituslomake (∞-∞)

Lomake (∞-∞) esiintyy usein kansallisten tenttien aikana.

Kysymyksen muoto on hyvin, on olemassa useita erilaisia. Mutta ratkaisu ei ole kaukana yksinkertaistamisesta. Tässä annamme esimerkkejä kysymyksistä, jotka otimme vuoden 2013 kansallisesta tentistä.

Vuoden 2013 kansalliset tenttikysymykset.

Aseta raja

Jos syötät x -> 1, lomake on (∞-∞). Ja-to-lomakkeen poistamiseksi meidän on yksinkertaistettava lomake,

Nopea kaava ratkaisee ääretön raja

Nopeaa kaavaa ensimmäisen äärettömyysrajan ratkaisemiseksi voidaan käyttää äärettömien rajaongelmien muodostamiseen murto-muodossa.

Jotta löydettäisiin ääretön raja murto-muodossa, meidän on otettava huomioon vain kunkin laskurin ja nimittäjän suurin voima.

On 3 mahdollisuutta, joita voi tapahtua.

• Ensinnäkin osoittajan suurin voima on pienempi kuin nimittäjän korkein arvo.
• Toiseksi, osoittajan korkein sijoitus on sama kuin nimittäjän korkein.
• Kolmanneksi, osoittajan korkein sijoitus on korkeampi kuin nimittäjän korkein.

Kolmas kaava rajattomalle raja-arvolle murto-osassa voidaan nähdä alla olevasta yhtälöstä.

Esimerkki ongelmista:

Raja-arvo: On …..

A. – ∞

B. – 5

C. 0

D. 5

E. ∞

Keskustelu:

Osoittimen korkein sijoitusarvo on 3 ja nimittäjän korkein arvo 2 (m> n). Joten raja-arvo on.

Vastaus: E

Tällä kertaa lyhyt katsaus, jonka voimme kertoa matemaattisista rajoista. Toivottavasti yllä olevaa matemaattisen rajan tarkistusta voidaan käyttää oppimateriaalina.