Algebrallisten funktioiden johdannaiset: Perusjohdannaiset, kaavat, tehtävät, keskustelu

Algebrallisen funktion derivaatti on edellisen funktion toinen funktio, esimerkiksi funktiosta f tulee f ', jolla on epäsäännöllinen arvo.

Periaatteessa johdannaisten käsitettä käytetään usein jokapäiväisessä elämässämme.

Olkoon se matematiikassa tai muissa tieteissä.

Itse johdannaisen tehtävä, jonka tiedämme usein, on laskea käyrän tai funktion ja nopeuden tangentti.

Paitsi että johdannaisten käsitettä käytetään usein myös organismien kasvunopeuden (biologia), marginaalivoiton (taloustiede), lankatiheyden (fysiikka) ja erotusnopeuden (kemia) löytämisessä.

Kaikilla näillä toiminnoilla on periaatteessa sama käsite, nimittäin johdannaisten käsite. Lisätietoja, Älä viitsi vilkaise alla olevia arvosteluja:

Määritelmä 

Määritelmä johdannainen

Johdannainen tai tunnetaan myös nimellä johdannainen on mittaus siitä, kuinka funktio muuttuu tuloarvon muuttuessa.

Johdannaisessa ilmoitetaan yleensä, kuinka yksi suure muuttuu toisen määrän muutoksen seurauksena.

Esimerkiksi: johdettu kohteen sijainnista, joka sitten liikkuu ajan suhteen, on kohteen hetkellinen nopeus.

Johdannaisen löytämisprosessia kutsutaan erilaistuminen. Ja johdannaisen vastavuoroista kutsutaan nimellä Laskeutumista estävä.

Peruslauseessa tai laskelausunnossa todetaan, että antivivatiivisuus on sama kuin integraatio.

Johdannaiset ja integraalit ovat kaksi tärkeää funktiota laskennassa.

• (x)
• (sin x) '= cos x
• (cos x) '= -sin x
• (ruskea x) = sek² x
• y 'on ensimmäisen johdannaisen symboli.
• y "on toisen johdannaisen symboli.
• y ”on kolmannen johdannaisen symboli.

Muut symbolit y 'ja y "lisäksi ovat

Johdannaisfunktion määritelmä

Algebralliset funktiojohdannaiskaavat

1. Tehofunktion johdannainen kaava

Funktion johdannainen on voiman muotoinen, sen derivaatti voi käyttää kaavaa: seuraavasti:

Joten tehofunktion derivaatan kaava on:

2. Kaava funktion tulon johdannaiselle

Johdannaisfunktion f (x) kaava, joka muodostetaan funktioiden u (x) ja v (x) kertomasta, on seuraava:

Joten funktion johdannaisen kaava on:

f '(x) = u'v + uv'

3. Kaava funktion johdannaiselle

Joten funktion johdannaisen kaava on:

4. Funktion pangkat tehojohdannaiskaava

Muista, jos f (x) = xⁿ, siksi:

Joten funktion johdannaisen kaava on:

f '(x) = nu (n - 1). u '

4. Trigonometriset johdannaiskaavat

Johdannaisen määritelmän perusteella voimme saada useita trigonometrisiä derivaattokaavoja, nimittäin seuraavat: (x: n funktioilla u ja v), mukaan lukien: y '=

1. y = sin x → y '= cos x
2. y = cos x → y '= -sin x
3. y = tan x → y ’= s² x
4. y = pinnasänky x → y ’= -csc² x
5. y = sek x → y '
6. y = csc x → y ’= csc × pinnasänky x
7. y = syntiⁿ xy '= n synti^n-1 × cos x
8. y = cosⁿ x → y '= -n cos^n-1 × syn x
9. y = sin u → y '= u' cos u
10. y = cos u → y '= u' sin u
11. y = tan u → y ’= ui sek² u
12. y = pinnasänky u → y ’= -u’ csc² u
13. y = sec u → y ’= u’ sec u tan u
14. y = csc u → y ’= u’ csc u pinnasänky u
15. y = syntiⁿ u → y '= n.u' synti^n-1 cos u
16. y = cosⁿ u → y '= -n.u' cos^n-1 . sin u

Algebran funktioiden johdannaiset

Määritelmä johdannainen

Funktion f (x) derivaatti x: n suhteen määritetään seuraavasti:

edellyttäen, että raja on olemassa.

Johdannaismerkintä

Ensimmäisen funktion y = f (x) johdannainen x: lle voidaan kirjoittaa seuraavasti:

• y '= f'x lagrange
• leibniz
• D._xy = D_x[f (x)] ⇒ euleri

Edellä olevasta määritelmästä voimme johtaa joitain johdannaiskaavoja seuraavasti:

1. f (x) = k f '(x) = 0
2. f (x) = k x f '(x) = k
3. f (x) = xⁿ f '(x) = nx^n-1
4. f (x) = k u (x) f '(x) = k u' (x)
5. f (x) = u (x) ± v (x) f '(x) = u' (x) ± v '(x)

Juuren tai murtoluvun sisältävän funktion johdannaisen löytämiseksi ensimmäinen vaihe, joka meidän on tehtävä, on muuntaa funktio eksponenteiksi.

Tässä on joitain usein käytettyjen juurien ja eksponenttien ominaisuuksia:

• x^m. xⁿ = x^{m + n}
• x^m/ xⁿ = x^{M N}
• 1 / xⁿ = x^-n
• x = x^1/2
• ⁿxm = x^{M N}

Esimerkki:

Tehtävä 1.

Etsi f (x) = x√x: n johdannainen

Vastaus:

f (x) = x√x = x. x^1/2 = x^3/2

f (x) = x^3/2 →

Kysymys 2.

Määritä johdannainen

Vastaus:

Kahden toiminnon kertominen ja jakaminen

Oletetaan, että y = uv, y: n johdannainen voidaan ilmaista seuraavasti:

y '= u'v + uv'

Oletetaan, että y = u / v, niin y: n johdannainen voidaan ilmaista seuraavasti:

Esimerkki ongelmista.

Tehtävä 1.

Johdannainen f (x) = (2x + 3) (x² + 2) nimittäin:

Vastaus:

Esimerkiksi:

u = 2x + 3 u '= 2
v = x² + 2 v '= 2x

f '(x) = u' v + u v '
f '(x) = 2 (x² + 2) + (2x + 3) 2x
f '(x) = 2x² + 4 + 4x² + 6x
f '(x) = 6x² + 6x + 4

Ketjusääntö

Jos y = f (u), jossa u on funktio, joka voidaan johtaa x: stä, niin y: n johdannainen x: n suhteen voidaan ilmaista muodossa:

Yllä olevasta ketjusäännön käsitteestä sitten y = uⁿ, saavat:

Yleensä se voidaan sanoa seuraavasti:

Jos f (x) = [u (x)]ⁿ missä u (x) on funktio, joka voidaan johtaa x: stä, niin:

f '(x) = n [u (x)]^n-1. u '(x)

Esimerkki ongelmista.

Tehtävä 1.

Etsi johdannainen f (x) = (2x + 1)⁴

Vastaus:

Esimerkiksi:

u (x) = 2x + 1 u '(x) = 2
n = 4
f '(x) = n [u (x)]^n-1. u '(x)
f '(x) = 4 (2x + 1)^4-1 . 2
f '(x) = 8 (2x + 1)³ 

Kysymys 2.

Etsi johdannainen y = (x² 3x)⁷

Vastaus:

y '= 7 (x² 3x)^7-1 . (2x 3)
y '= (14x21). (x² 3x)⁶

Harjoittele kysymyksiä ja keskustelua

Tehtävä 1.

Etsi funktion derivaatti f(x) = 2x(x4 – 5).

Vastaus:

Oletetaan jos u(x) = 2x ja v(x) = x4-5, sitten:

u‘ (x) = 2 ja v‘ (x) sitten = 4x3

Tällä tavalla saadaan kuvaus ja tulokset:

f ‘(x) = u ‘(x).v(x) + u(x).v ’(x) = 2(x4 – 5) + 2x(4x3 ) = 2x4 – 10 + 8x4 = 10x4 – 10

Kysymys 2. Algebralliset funktiojohdannaiset ongelmat

Ensimmäisen funktion derivaatti tuo on …

Vastaus:

Tämä ongelma on muodon y = au funktio-ongelmaⁿ josta voidaan keskustella ja ratkaista käyttämällä kaavaa y '= n. a. u^n-1. Sitten:

Joten johdannainen on:

Tehtävä 3. Trigonometristen funktioiden johdannaiset

Määritä ensimmäinen johdannainen:

Vastaus:

Yllä olevan ongelman ratkaisemiseksi voimme käyttää sekakaavaa, nimittäin:

ja voi käyttää myös kaavaa y '= n. olet syntiä^n-1 u. cos u

niin:

Tehtävä 4.

Johdannainen f (x) = (x - 1)²(2x + 3) on…

Vastaus:

Esimerkiksi:

u = (x 1)² u '= 2x 2
v = 2x + 3 v '= 2

f '(x) = u'v + uv'
f ’(x) = (2x 2) (2x + 3) + (x 1)². 2
f '(x) = 4x² + 2x 6 + 2 (x² 2x + 1)
f '(x) = 4x² + 2x 6 + 2x² 4x + 2
f '(x) = 6x² 2x 4
f '(x) = (x 1) (6x + 4) tai
f '(x) = (2x 2) (3x + 2)

Kysymys 5.

Jos f (x) = x² - (1 / x) + 1, niin f '(x) =... .

A. x - x²
B. x + x²
C. 2x - x^-2 + 1
D. 2x - x² – 1
E. 2x + x^-2

Vastaus:

f (x) = x² - (1 / x) + 1

= x² - x^-1 + 1

f '(x) = 2x - (- 1) x^-1-1

= 2x + x^-2

Vastaus: E

Siten lyhyt katsaus algebrallisten toimintojen johdannaisiin, jotka voimme välittää. Toivottavasti yllä olevaa katsausta voidaan käyttää oppimateriaalina.