Vektorimatematiikka: tyypit, operaatiot, ortogonaaliset projektiot, merkinnät, ongelmat

Matemaattinen vektori on määrä, jolla on suunta, tämä vektori itse voidaan kuvata käyttämällä nuolta, jonka suunta osoittaa vektorin suuntaan. Ja viivan pituuteen viitataan yleensä vektorikokona.

Jos vektori alkaa pisteestä A ja päättyy pisteeseen B, vektori voidaan kirjoittaa pienillä kirjaimilla, joiden yläpuolella on viiva tai nuoli (

tai ). Tai se voidaan tehdä myös tavalla, kuten alla olevassa kuvassa:

Esimerkiksi vektori on vektori, joka alkaa pisteestä A (x₁. y₁) menee pisteeseen B (x₂. y₂) voimme piirtää suorakulmaiset koordinaatit alla.

X-akselin suuntaisen viivan pituus on v₁ = x₂ - x₁ ja y-akselin suuntaisen viivan pituus on v₂ = y₂ - y₁ ovat joitain vektorikomponentteja .

Vektorikomponentit  Voimme kirjoittaa ilmaisevektoreihin algebrallisesti, nimittäin:

Vektorityyppi

Matematiikassa on useita erityisvektoreita, mukaan lukien:

• Aseta vektori
  Vektori, jonka alkupiste on 0 (0,0) ja loppupiste on A
• Nolla vektori
  Vektori, jonka pituus on nolla ja jota merkitään . Nollavektorilla ei ole selkeää vektorisuuntaa.
• Yksikkövektori
  Vektori, jonka pituus on yksi yksikkö. Yksikkövektori tuo on:
  
• perusvektori
  Perusvektori on yksikkövektori, joka on kohtisuorassa toisiinsa nähden. Kaksiulotteisessa vektoritilassa (R²) on kaksi perusvektoria, nimittäin ja . Kolme ulottuvuutta (R³) on kolme perusvektoria, nimittäin , , ja myös .

Erilaisia ​​sekä vektoritoimintoja

Matemaattiset vektorit eivät koostu vain useista tyypeistä, vaan matemaattiset vektorit koostuvat myös useista eri tyypeistä.

Joten seuraavassa annamme useita vektoreita niiden toimintojen kanssa kerralla, katsomme niitä hyvin:

Vektori R2: ssa 

Vektoria edustavan viivasegmentin pituus on merkitty käyttämällä tai voidaan merkitä myös symbolilla ||

Seuraava on vektorin pituus, joka on seuraava:

Itse vektorin pituus on muoto, joka voidaan liittää kulmaan, jonka vektori ja positiivinen akseli voivat helposti muodostaa.

Vektoritoiminta R2: lla 

Vektorien lisääminen ja vähentäminen prosessissa R2 

Tulos on kahden tai useamman vektorin lisäämisen tuloksen nimi.

Tämän vektorin lisääminen itsessään voidaan myös suorittaa algebrallisesti ja se voidaan myös lisätä lisäämällä komponentit, jotka ovat samassa tai seuraavassa paikassa.

Jos:

sitten:

Sitten voimme nähdä itse graafisen summan alla olevasta esimerkkikuvasta:

Tätä vektorivähennystä käsitellään samalla tavalla kuin lisäystä, mukaan lukien seuraava, katso alla oleva esimerkki:

Tämän vektorilisäyksen ominaisuudet ovat seuraavat, katso kaava:

⇒ Vektorikertaus R: ssä² Scalarin kanssa 

Itse vektori voidaan myös kertoa skalaarilla tai reaaliluvulla, joka tuottaa uuden vektorin, jos on vektori ja k on skalaari.

Joten vektorikertoja voidaan merkitä seuraavasti:

Tässä on joitain lisätietoja:

• Jos k> 0, niin vektori on samassa suunnassa kuin vektori .
• Jos k <0, niin vektori on vastakkaiseen suuntaan kuin vektori .
• Jos k = 0, niin vektori on identiteettivektori .

Graafisesti tämä kertolasku voi muuttaa vektorin pituutta, ja se näkyy alla olevassa taulukossa:

Jos algebrallisesti, vektorituote skalaarilla k voimme formuloida seuraavan kaavan kaltaista kaavaa:

Kahden vektorin skalaarinen kertolasku R: ssä²

Kahden vektorin skalaaritulossa sitä voidaan kutsua myös kahden vektorin pistetuloksi, jonka voimme kirjoittaa seuraavasti:

Vektori R: ssä³

Kolmiulotteisessa tilassa (x, y, z) oleva vektori, jossa kahden vektoripisteen välinen etäisyys on R: ssä³ Voit saada selville kehittämällä Pythagorean kaavan.

Jos piste A (x₂. y₂. z₂) ja B (x₂. y₂. z₂) ovat:

Tai jos , jotta:

Vektori voidaan ilmoittaa kahdessa muodossa, nimittäin sarakkeessa

tai rivillä

Vektorit voidaan myös esittää lineaarisina yhdistelminä emäsvektoreista, kuten tai ja tai

seuraavat kokonaan:

Vektoritoiminta R: llä³

Vektoritoiminnot R: llä³ yleensä on sama käsite kuin operaatioilla vektorilla R² lisäksi vähennys ja kertolasku.

Vektorien lisääminen ja vähentäminen R: ssä³

Vektorien summaaminen ja vähentäminen R: ssä³ on sama kuin vektorissa R² nimittäin:

Vektorien kertolasku R: ssä³ skalaarilla

Jos on vektori ja k on skalaari. Sitten vektorikertoimesta tulee:

Kahden vektorin skalaarinen tulo

R: n kaavan lisäksi³, on toinen kaava kahden vektorin skalaaritulolle. Jos ja sitten On:

Vektori kohtisuora projektio

Jos vektori projisoidaan vektoriksi barb ja antoi nimen  kuten alla oleva kuva:

Tunnetaan:

niin:

Vektorin saaminen:

Vektorimerkintä

Kuten yllä selitettiin, tässä oleva vektori esitetään käyttämällä kirjaimia, joille annetaan sen yläpuolella olevan viivan suunta.

Vektorit voidaan ilmaista kahdessa ulottuvuudessa tai jopa kolmessa ulottuvuudessa tai enemmän. Kolmessa ulottuvuudessa ilmaistuna vektorilla on yksikkövektori, joka ilmaistaan ​​i, j ja k: na.

Yksikkövektori on vektori, jonka suuruus on yksi yksikkö ja sen suunta on pääakselia pitkin, nimittäin:

i on yksikkövektori akselin suunnassa x (abskissa)

j on yksikkövektori akselin suunnassa y (ordinaatti)

k on yksikkövektori akselin suunnassa z (hakemus)

kanssa kirves x-suunnan komponenttina ja a_y y-akselin suunnan komponentit ja a_z on z-suunnan komponentti.

Vektorikirjoituslomake:

matematiikassa kirjoitetaan useammin muodossa:

jolloin komponentti numeerisen indeksin muodossa on:

Vektorin pituus (suuri, arvo) kirjoitetaan absoluuttisena merkkinä algebraan

Tai numeerisessa hakemistossa

Jos vektori määritetään koordinaateilla

Sitten vektori AB on esitetty

Vektorin pituus AB

Samaan aikaan vektorin yksikkövektorille, joka ilmaistaan

Ilmaistuna

Esimerkkikysymykset ja keskustelu

Tehtävä 1.

Jos tiedetään, että on piste A (2,4,6), kohta B (6,6,2) ja piste C (p, q, -6). Jos pisteet A, B ja piste C ovat linjassa, selvitä p + q: n arvo!

Vastaus:

Jos pisteet A, B ja C ovat suorassa, niin vektori ja vektori Se voi olla myös yksisuuntainen tai eri suuntiin.

Joten tulee olemaan luku m, joka on moninkertainen ja joka voi muodostaa alla olevan kaltaisen yhtälön:

• m. =

Jos B on pisteiden A ja C välissä, se saadaan seuraavasti:

Joten saat:

Joten voidaan määrittää m: n kerrannaiset yhtälössä:

Joten tulokset, joita saamme, ovat:

Joten voimme tehdä johtopäätökset seuraavasti:

p + q = 10 + 14 = 24

Kysymys 2.

Jos tiedetään, että pisteessä A ja pisteessä B oleva vektori ja pisteessä C oleva vektori Ab: n välinen vektori, kuten alla olevassa kuvassa on esitetty. Etsi vektorin C yhtälö.

Vastaus:

Yllä olevasta kuvasta voimme nähdä, että:

niin:

Siten lyhyt katsaus vektorimatematiikasta, jonka voimme välittää. Toivottavasti yllä olevaa vektorimatematiikan katsausta voidaan käyttää oppimateriaalina.