Algebrallisten toimintojen rajat: määritelmät, ominaisuudet, menetelmät, trigonometria, lauseet

Algebrallisen funktion raja on yksi laskennan ja analyysin peruskäsitteistä, joka koskee tiettyä tulopistettä lähestyvän funktion käyttäytymistä.

Funktion kartoituslähtö f (x) jokaiselle tulolle x. Tällä toiminnolla on raja L tulopisteessä s kun f (x) “Lähellä” L: tä milloin x lähellä s.

Joten toisin sanoen, f (x) lähestyy L Kun x lähestyy myös kohti s.

Lisäksi jos f käytetään jokaiseen tuloon tarpeeksi lähellä s, tulos on tulos, joka on (mielivaltaisesti) lähellä L.

Tiedätkö?
Vaikka se on implisiittinen laskennan kehitykseen 1600- ja 1700-luvuilla, moderni käsite rajasta Uudesta toiminnasta keskusteli Bolzano vuonna 1817, joka esitteli epsilon-delta-tekniikan perusteet. Mutta hänen töitään ei tunneta hänen elinaikanaan. –sc: wikipedia

Jos tulo on kiinni päällä s osoittautuu kartoitetuksi hyvin erilaisiin lähtöihin kuin toimintoon f sanotaan olevan rajaton.

Rajan määritelmä on muotoiltu virallisesti 1800-luvulta lähtien.

Algebrallisten toimintojen rajojen käsite

Raja voidaan määritellä menemällä rajaan, mikä on lähellä, mutta jota ei voida saavuttaa.

Matemaattisella kielellä tähän tilaan voidaan viitata raja.

Raja on matemaattinen käsite, jossa jonkin sanotaan olevan "lähellä" tai "lähellä" tietyn luvun arvoa. Rajat voivat olla funktion muodossa, jonka koodialue on "melkein" tai "lähellä" tietyn luonnollisen luvun arvoa.

Miksi rajaa pitäisi olla? Koska raja ilmaisee funktion, kun tietty raja saavutetaan.

Miksi sinun pitäisi lähestyä sitä? Koska funktiota ei yleensä määritellä tietyissä pisteissä.

Vaikka toimintoa ei usein määritetä tietyssä vaiheessa, se voidaan silti selvittää mitä arvoa funktio lähestyy, jos tiettyyn pisteeseen lähestytään, nimittäin raja.

Matemaattisella kielellä rajoitukset kirjoitetaan seuraavasti:

Toisin sanoen, jos x lähestyy a: ta, mutta x ei ole yhtä suuri kuin a, f (x) lähestyy L. Voimme nähdä x: n lähestymisen a: lle kahdelta puolelta, nimittäin vasemmalta puolelta ja myös oikealta puolelta tai sanalla muuten x voi lähestyä vasemmalta ja oikealta suunnalta niin, että se tuottaa vasemman rajan ja rajan oikein.

Joten yllä olevasta kuvauksesta saat seuraavan kaavan esimerkin:

Kun x-arvo on lähellä 1:

Tässä on graafinen kuva:

Yllä olevaa kuvaa tarkasteltaessa se voidaan jakaa:

• Jos x lähestyy 1 vasemmalta, niin f (x) arvo lähestyy 2
  
• Jos x lähestyy 1 oikealta, niin f (x) arvo lähestyy 2
  
• Joten, jos x lähestyy 1, niin f (x) arvo lähestyy 2
  

Lause tai lausunto

Funktion sanotaan olevan raja, jos vasemmalla ja oikealla rajalla on sama arvo. Joten jos vasen ja oikea raja eivät ole samat, raja-arvoa ei ole.

Määritelmä ja rajalause. Kuten edellä on kuvattu, raja yhteisellä kielellä tarkoittaa rajaa.

Kun opiskelemme matematiikkaa, jotkut opettajat sanovat, että raja on lähestymistapa.

Tämän raja-arvon mukaan funktio f (x) lähestyy tiettyä arvoa, jos x lähestyy tiettyä arvoa.

Tämä likiarvo on rajoitettu kahden hyvin pienen positiivisen luvun välillä epsilon ja delta.

Näiden kahden pienen positiivisen luvun suhde tiivistetään rajan määritelmässä.

Algebrallisten toimintojen rajaominaisuudet

Jos n on positiivinen kokonaisluku, k vakio, f ja g on funktio, jolla on raja c, silloin käytetään joitain seuraavista ominaisuuksista.

Erilaisia ​​menetelmiä raja-algebran ratkaisemiseksi

On olemassa useita menetelmiä tai tapoja ratkaista algebrallisia rajoja, mukaan lukien:

• Korvausmenetelmä
• Faktorointimenetelmä
• Menetelmä jakamiseksi nimittäjän korkeimmalla eksponentilla
• Menetelmä kerrotaan yhteisellä tekijällä

Tässä selitämme menetelmät yksitellen. Kuuntele tarkkaan, kyllä.

Algebrallisen funktion raja-arvon määrittäminen

Algebrallisen funktion rajan määrittämiseksi on 2 tyyppiä, mukaan lukien:

Ensimmäinen muoto:

Ja toinen muoto on:

1. Korvausmenetelmä

Korvausmenetelmä korvaa vain tietyn arvon lähellä olevat muuttujat niiden algebrallisilla toiminnoilla.

Esimerkiksi:

Joten algebrallisen rajatoiminnon arvo on:

2. Faktorointimenetelmä

Faktorointimenetelmää käytetään, kun raja-arvon tuottavaa menetelmää tai korvausmenetelmää ei voida määritellä.

Esimerkiksi:

Kerroinmenetelmää käytetään määrittämällä yhteinen kerroin osoittajan ja nimittäjän välillä.

Toisen raja-muodon suhteen on olemassa useita menetelmiä funktion raja-arvon määrittämiseksi algebra on menetelmä tai menetelmä jakamiseksi nimittäjän suurimmalla teholla ja menetelmä kerrottuna kertoimella ystävät.

3. Menetelmä nimittäjän suurimman voiman jakamiseksi

Esimerkiksi:

Määritä alla olevan rajan algebrallisen funktion raja-arvo:

Osoittimen ja nimittäjän teho tehtävässä on 2, joten

niin, Algebrallisen funktion raja-arvo on

Esimerkkikysymys 2.

Määritä alla olevan rajan algebrallisen funktion raja-arvo:

Osoittimen ja nimittäjän teho tehtävässä on 3, joten

Joten algebrallisen funktion rajan arvo on:

4. Menetelmä kertomiseen yhdistettyjen tekijöiden kanssa

Tätä menetelmää käytetään, jos korvausmenetelmä tuottaa välittömästi irrationaalisen raja-arvon.

Funktio kerrotaan sen yhteisellä juurella, jotta rajamuoto ei ole irrationaalinen, jotta arvojen suora korvaaminen voidaan tehdä uudelleen. x → c .

Esimerkiksi:

Rajattomien algebrallisten toimintojen rajat

Kun käytetään algebrallisia toimintoja, joskus on myös x: n arvo, joka lähestyy ääretöntä (∞).

Siksi, jos funktio korvataan, se tuottaa epävarman arvon.

Rajaa käytettäessä on useita lakeja tai rajalausekkeita, joihin sinun on kiinnitettävä huomiota. Jos n on kokonaisluku, k on vakio, funktio f ja funktio g ovat funktioita, joiden raja-arvo on lähellä lukua c, niin:

Ja on kaksi tapaa ratkaista ääretön muotoisen algebrallisen funktion raja, mukaan lukien:

1. Jaa korkeimmalla arvolla

Tätä menetelmää käytetään lomakkeen rajatoiminnossa .

Tämä menetelmä tai menetelmä voidaan tehdä jakamalla osoittaja f (x) ja nimittäjä g (x) muuttujalla xⁿ suurin funktioiden f (x) ja g (x) sisältämä teho. Ja sitten vasta sitten voimme korvata sen x → ∞.

Esimerkiksi:

2. Kerrotaan yhdistelmämuodot

Tätä menetelmää käytetään lomakkeen rajatoimintoon . Tämä menetelmä tai menetelmä voidaan ratkaista kertomalla yhdistemuoto, nimittäin:

Jatka sitten jakamista ensimmäisellä menetelmällä, nimittäin jakamalla korkeimmalla voimalla.

Esimerkiksi:

Jaa seuraavaksi osoittaja ja nimittäjä x: n suurimpaan tehoon, joka on x¹:

Trigonometristen toimintojen rajat

Rajoja voidaan käyttää myös trigonometrisissä toiminnoissa. Ratkaisu on sama kuin algebrallinen rajatoiminto. Seuraavan selityksen ymmärtämiseksi sinun on kuitenkin ensin ymmärrettävä trigonometrian käsite.

Ratkaisua tämän funktion rajaan trigonometriassa voidaan käyttää tekemällä joitain muutoksia sini-, kosini- ja tangentin muotoon.

Trigonometristen toimintojen rajalla on kolme yleistä muotoa, mukaan lukien:

1. Lomake

Tässä muodossa trigonometrisen funktion f (x) raja johtuu c: n arvon korvaamisesta x: ksi trigonometrian avulla.

Esimerkiksi:

Jos c = 0, trigonometrian rajojen kaava on seuraava:

2. Lomake

Tässä muodossa raja saadaan kahden eri trigonometrian suhteesta.

Jos nämä kaksi trigonometriaa korvataan suoraan c: n arvolla, se tuottaa f (c) = 0 ja g (c) = 0.

Joten trigonometrisen rajan arvosta tulee määrittelemätön luku . Ratkaisu on sama kuin raja-algebrallisen funktion, nimittäin factoring.

Esimerkkejä tästä lomakkeesta ovat:

3. Lomake

Tässä muodossa raja saadaan trigonometristen ja algebrallisten toimintojen vertailusta.

Jos se korvataan suoraan, se tuottaa määrittelemättömän luvun. Tässä muodossa se tehdään johdannaisten käsitteellä. Tämän rajan peruskaava on:

Yllä olevan peruskaavan perusteella, jos sitä kehitetään edelleen, siitä tulee seuraava kaava:

Esimerkki ongelmista ja keskustelu

Kuinka toimia määrittelemättömillä toimintorajoilla Sienet

On aikoja, jolloin x: n korvaaminen a: lla lim f (x) x → a: ssa tekee f (x): stä määrittelemättömän arvon tai f (a) tuottaa muodon 0/0, / ∞ tai 0.∞.

Jos näin on, ratkaisu on muodossa f (x). Yritä yksinkertaistaa sitä, jotta raja-arvo voidaan määrittää.

Lomakeraja 0/0

Lomake 0/0 voi esiintyä:

Kun kohtaamme tällaisen lomakkeen, yritä säätää toimintoa, kunnes löydämme osan, jonka voimme ylittää.

Jos se on neliöllisen yhtälön muodossa, voimme kokeilla factoringia tai yhdistämisen avulla, ja älä unohda, että on sääntö a²-b² = (a + b) (a-b).

Tässä annamme esimerkin:

/ ∞. Lomake

Rajamuoto / ∞ tapahtuu polynomifunktiolla seuraavasti:

Esimerkki ongelmista:

Yritä määrittää alla oleva raja-arvo:

Vastaus:

Tässä on lyhyt yhteenveto muodon / ∞ matemaattisesta rajakaavasta

• Kun m
• Jos m = n, niin L = a / p
• Jos m> n, niin L =

Rajoituslomake (∞-∞)

Lomake (∞-∞) esiintyy usein kansallisten tenttien aikana.

Kysymyksen muoto on hyvin, on olemassa useita erilaisia. Mutta ratkaisu ei ole kaukana yksinkertaistamisesta. Tässä annamme esimerkkejä kysymyksistä, jotka otimme vuoden 2013 kansallisesta tentistä.

Vuoden 2013 kansalliset tenttikysymykset.

Aseta raja

Jos syötät x -> 1, lomake on (∞-∞). Ja-to-lomakkeen poistamiseksi meidän on yksinkertaistettava lomake,

Nopea kaava ratkaisee ääretön raja

Nopeaa kaavaa ensimmäisen äärettömyysrajan ratkaisemiseksi voidaan käyttää äärettömien rajaongelmien muodostamiseen murto-muodossa.

Jotta löydettäisiin ääretön raja murto-muodossa, meidän on otettava huomioon vain kunkin laskurin ja nimittäjän suurin voima.

On 3 mahdollisuutta, joita voi tapahtua.

• Ensinnäkin osoittajan suurin voima on pienempi kuin nimittäjän korkein arvo.
• Toiseksi, osoittajan korkein sijoitus on sama kuin nimittäjän korkein.
• Kolmanneksi, osoittajan korkein sijoitus on korkeampi kuin nimittäjän korkein.

Kolmas kaava rajattomalle raja-arvolle murto-osassa voidaan nähdä alla olevasta yhtälöstä.

Esimerkki ongelmista:

Raja-arvo: On …..

A. – ∞

B. – 5

C. 0

D. 5

E. ∞

Keskustelu:

Osoittimen korkein sijoitusarvo on 3 ja nimittäjän suurin arvo 2 (m> n). Joten raja-arvo on.

Vastaus: E

Näin ollen tällä kertaa lyhyt katsaus, jonka voimme välittää. Toivottavasti yllä olevaa katsausta voidaan käyttää oppimateriaalina.